Егэ по математике иррациональные неравенства

Иррациональные неравенства

Привет!

Говоря об иррациональности, может показаться, что сложнее иррациональных уравнений есть лишь одна вещь — иррациональные неравенства.

И сейчас ты поймешь, что это не так!

Если ты хорошо разобрался в предыдущих темах (я скажу, в каких в начале статьи), то иррациональные уравнения покажутся тебе легкими.

Мы рассмотрим все виды неравенств и разберем различные примеры, так, чтобы ты смог решить любое иррациональное неравенство. 

Иррациональные неравенства – коротко о главном

Определение

Иррациональное неравенство – это неравенство, содержащее переменную под корнем

Неравенства вида ( sqrt{A}ge sqrt{B})

Например:

Корень нечетной степени можно извлекать из любого числа!

( displaystyle begin{array}{l}sqrt[3]{A}>Btext{ }Leftrightarrow text{ }A>{{B}^{3}}\sqrt[5]{A}<Btext{ }Leftrightarrow text{ }A<{{B}^{5}},end{array}) и т.д.

ОДЗ (Область допустимых значений)

Помнишь, что такое ОДЗ?

ОДЗ (область допустимых значений) неравенства или неравенств – это множество значений переменной, при которых обе части данного неравенства (или неравенств) имеют смысл.

Например, в уравнении ( sqrt{x+2}=3) присутствует квадратный корень. А квадратный корень не имеет смысла, если подкоренное выражение отрицательно.

То есть, в данном случае ОДЗ – это решения неравенства ( x+2ge 0).

Нет необходимости искать ОДЗ в каждой задаче, содержащей корень.

Взять, например, такую задачу:

( sqrt{{{x}^{2}}+3x}>2).

При возведении в квадрат получаем ( {{x}^{2}}+3x>4), то есть подкоренное выражение автоматически неотрицательно! Так зачем лишняя писанина?

Но в некоторых случаях это может быть очень полезно. Более того, иногда можно решить пример, просто найдя ОДЗ. Например:

( sqrt{2{x}-6}>-2).

Но ведь мы помним, что квадратный корень всегда неотрицателен. Поэтому он всегда будет больше ( -2). Значит, решением задачи будет ОДЗ:

( 2{x}-6ge 0text{ }Leftrightarrow text{ }xge 3).

Ответ: ( left[ 3;+infty right)).

Пять видов неравенств и способы их решений

Первый вид неравенств

( sqrt{A}ge sqrt{B})

Естественно, знак неравенства может быть и нестрогим.

Здесь и далее большими буквами ( A), ( B), ( C) и т.д. я буду обозначать не переменные или параметры, а целые выражения, содержащие переменную.

Так, общая запись ( sqrt{A}>sqrt{B}) соответствует, например, уравнению ( sqrt{{{x}^{2}}-{x}-2}>sqrt{{x}-1}).

Здесь ( A={{x}^{2}}-{x}-2) и ( B={x}-1).

Как решить такое неравенство?

Для начала вспомним, что функция ( fleft( x right)=sqrt{x}) – монотонна, то есть, чем больше подкоренное выражение, тем больше сам корень.

Поэтому из двух корней больше тот, у которого подкоренное выражение больше.

Но недаром мы недавно вспоминали про ОДЗ. Есть ли какие-нибудь ограничения в этом неравенстве?

Действительно, чтобы неравенство имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

( sqrt{A}ge sqrt{B}text{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}Age B\Bge 0end{array} right.)

или

( sqrt{A}>sqrt{B}text{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}A>B\Bge 0end{array} right.)

Три примера на закрепление материала:

Пример №1. ( sqrt{{{x}^{2}}-{x}+2}>sqrt{{x}+1})

Пример №2. ( sqrt{2{{x}^{2}}-6{x}-17}ge sqrt{{x}-2})

Пример №3. ( sqrt{2{{x}^{2}}-x-6}le sqrt{3{{x}^{2}}-{8x}})

Решение примера №1

Применим только что выученное правило:

Решение примера №2

( displaystyle sqrt{2{{x}^{2}}-6{x}-17}ge sqrt{{x}-2}text{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}2{{x}^{2}}-6{x}-17ge {x}-2\{x}-2ge 0end{array} right. Leftrightarrow )

Решение примера №3

( displaystyle sqrt{2{{x}^{2}}-{x}-6}le sqrt{3{{x}^{2}}-8x}text{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}3{{x}^{2}}-8xge 2{{x}^{2}}-{x}-6\2{{x}^{2}}-{x}-6ge 0end{array} right.text{ }Leftrightarrow )

( displaystyle Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}left( {x}-6 right)left( {x}-1 right)ge 0\2left( {x}-2 right)left( x+frac{3}{2} right)ge 0end{array} right.).

Далее поставим знаки…

Второй вид неравенств

( Asqrt{B}>0) или ( Asqrt{B}<0)

Корень всегда принимает неотрицательные значения, поэтому, он влияет на это неравенство, только если равен нулю. То есть нужно ограничить корень, чтобы он не был равен нулю, а в остальном – дело за выражением ( A).

И не забываем про ОДЗ, подкоренное выражение неотрицательно. А если оно неотрицательно, и при этом не должно быть равно нулю, то оно строго болше нуля:

( Asqrt{B}>0text{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}B>0\A>0end{array} right.)

или

( Asqrt{B}<0text{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}B>0\A<0end{array} right.)

Три примера на закрепление материала

Пример №1. ( xsqrt{x+5}>0)

Пример №2. ( ({{x}^{2}}-{x}-2)cdot sqrt{{x}-2}<0)

Пример №3. ( ({{x}^{2}}-9)sqrt{{{x}^{2}}-4}>0)

Решение примера №1

( xsqrt{x+5}>0)

( left{ begin{array}{l}x+5>0\x>0end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}x>-5\x>0end{array} right.Rightarrow x>0).

Решение примера №2

( ({{x}^{2}}-{x}-2)cdot sqrt{{x}-2}<0)

Решение примера №3

( ({{x}^{2}}-9)sqrt{{{x}^{2}}-4}>0)

Третий вид неравенств

( Asqrt{B}ge 0)

В случае нестрогого неравенства условие, что подкоренное выражение не равно нулю теперь лишнее. Но это только добавило нам проблем, ведь при этом выражение ( displaystyle A) может быть любым. Значит, надо отдельно рассмотреть случай, когда корень равен нулю:

( Asqrt{B}ge 0text{ }Leftrightarrow text{ }left[ begin{array}{l}B=0\left{ begin{array}{l}Age 0\Bge 0end{array} right.end{array} right.)

или

( Asqrt{B}le 0text{ }Leftrightarrow text{ }left[ begin{array}{l}B=0\left{ begin{array}{l}Ale 0\Bge 0end{array} right.end{array} right.)

Три примера на закрепление материала

Пример №1. ( xsqrt{{x}-1}ge 0)

Пример №2. ( left( {{x}^{2}}-4 right)sqrt{x+1}le 0)

Пример №3. ( left( {{x}^{2}}-3{x}-4 right)sqrt{x+1}>0)

Решение примера №1

( xsqrt{{x}-1}ge 0text{ }Leftrightarrow text{ }left[ begin{array}{l}{x}-1=0\left{ begin{array}{l}xge 0\{x}-1ge 0end{array} right.end{array} right.text{ }Leftrightarrow text{ }left[ begin{array}{l}x=1\xge 1end{array} right.text{ }Leftrightarrow text{ }xge 1.).

Решение примера №2

( displaystyle left( {{x}^{2}}-4 right)sqrt{x+1}le 0text{ }Leftrightarrow text{ })

Решение примера №3

( displaystyle left( {{x}^{2}}-3{x}-4 right)sqrt{x+1}>0text{ }Leftrightarrow text{ })

Четвертый вид неравенств

( sqrt{A}le B)

Здесь все немного проще: поскольку корень неотрицателен, то и правая часть этого неравенства должна быть неотрицательной:

( sqrt{A}le Btext{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}Age 0\Bge 0\Ale {{B}^{2}}end{array} right.) или ( sqrt{A}<Btext{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}Age 0\B>0\A<{{B}^{2}}end{array} right.).

Три примера на закрепление материала

Пример №1. ( sqrt{15-2x}le x)

Пример №2. ( x+3>sqrt{4x})

Пример №3. ( sqrt{x+7}+3x<4{x}-5)

Решение примера №1

( sqrt{15-2x}le x)

( left{ begin{array}{l}15-2x ge 0\xge 0\15-2xle {{x}^{2}}end{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}x le 7,5\xge 0\{{x}^{2}}+2{x}-15ge 0end{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}x le 7,5\xge 0\({x}-3)cdot ({x}+5)ge 0end{array} right.Rightarrow )

( left{ begin{array}{l}x le 7,5\xge 0\xin (-infty ;left. -5 right]cup left[ 3 right.;+infty )end{array} right.Rightarrow xin left[ 3; right.left. 7,5 right]).

Решение примера №2

( x+3>sqrt{4x})

Решение примера №3

( sqrt{x+7}+3x<4{x}-5)

Пятый вид неравенств

( sqrt{A}ge B)

Рассмотрим пример:

Итак, правило в общем виде:

( sqrt{A}ge Btext{ }Leftrightarrow text{ }left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}Ble 0\Age 0end{array} right.\left{ begin{array}{l}B>0\Age {{B}^{2}}end{array} right.end{array} right.)

А как будет выглядеть это правило, если неравенство строгое? Вот так:

( sqrt{A}>Btext{ }Leftrightarrow text{ }left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}B<0\Age 0end{array} right.\left{ begin{array}{l}Bge 0\A>{{B}^{2}}end{array} right.end{array} right.)

Подумай сам, почему именно так.

Три примера на закрепление материала

Пример №1. ( sqrt{4x+1}ge {x}-1)

Пример №2. ( sqrt{2{x}-1}-sqrt{x+2}<1)

Пример №3. ( displaystyle 3sqrt{6+2{x}-4{{x}^{2}}}+2>8x)

Решение примера №1

( displaystyle sqrt{4x+1}ge {x}-1text{ }Leftrightarrow )

( displaystyle Leftrightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}{x}-1le 0\4x+1ge 0end{array} right.\left{ begin{array}{l}4x+1ge {{x}^{2}}-2x+1\{x}-1>0end{array} right.end{array} right.text{ }Leftrightarrow left[ begin{array}{l}-frac{1}{4}le xle 1\left{ begin{array}{l}xleft( {x}-6 right)le 0\x>1end{array} right.end{array} right.text{ }Leftrightarrow )

( displaystyle Leftrightarrow left[ begin{array}{l}-frac{1}{4}le xle 1\left{ begin{array}{l}0le xle 6\x>1end{array} right.end{array} right.text{ }Leftrightarrow text{ }xin left[ -frac{1}{4};6 right]text{.}).

Решение примера №2

Решение примера №3

( displaystyle 3sqrt{6+2{x}-4{{x}^{2}}}+2>8x)

Корни степени больше 2

Если же корень в неравенстве не квадратный, важна четность его степени.

Корни чётной степени

Корни ( 2), ( 4), ( 6) и т.д. степеней очень похожи друг на друга, и принцип решения уравнений с ними абсолютно одинаковый. Дело в том, что корень четной степени можно всегда привести к квадратному (вспоминаем тему «Корень и его свойства»!):

( displaystyle sqrt[4]{A}le Btext{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}Ale {{B}^{4}}\Bge 0\Age 0end{array} right.).

Корни нечётной степени

С нечетными степенями (( 3), ( 5), …) все намного проще!

Дело в том, что корень нечетной степени можно извлекать из любого числа! (И снова, если ты этого не знал, вспомни тему «Корень и его свойства»!)

Что это значит?

Три примера на закрепление материала

Пример №1. ( displaystyle sqrt[5]{2-x}>-2)

Пример №2. ( displaystyle sqrt[3]{{{x}^{3}}+3x+5}ge x)

Пример №3. ( displaystyle sqrt[3]{{{x}^{2}}-{x}-7}<sqrt[3]{1-x})

( displaystyle sqrt[5]{2-x}>-2text{ }Leftrightarrow text{ }2-x>{{left( -2 right)}^{5}}text{ }Leftrightarrow text{ }2-x>-32text{ }Leftrightarrow text{ }x<34).

Решение примера №3

( displaystyle sqrt[3]{{{x}^{2}}-{x}-7}<sqrt[3]{1-x}text{ }Leftrightarrow text{ }{{x}^{2}}-{x}-7<1-xtext{ }Leftrightarrow )

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+