Егэ по математике ларин 365 вариант

Задание 1

Решите уравнение $$frac{3^{x^2}-81}{x-2}=0.$$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Ответ: -2

Скрыть

ОДЗ: $$xneq2$$​

$$3x^2=81=3^4$$

​$$x^2=4$$​

$$x=−2​$$

$$​x=2$$​ – не подходит под ОДЗ

Задание 2

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,03. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,03. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Ответ: 0,0579

Скрыть

$$​P(A)=P(A_1+A_2)=P(A_1)+P(A_2)​$$ – вероятность наступления 2-х несовместных событий

$$​A_1$$​ – исправная батарейка забракована системой

$$​A_2$$​ – неисправная батарейка забракована системой

$$​P(A_1)=0,97cdot0,03​$$

$$​P(A_2)=0,03cdot0,96$$

$$P(A)=0,97cdot0,03+0,03cdot0,96=0,0579$$

Задание 3

Ответ: 64

Скрыть

$$P=AB+AC+BC​$$

$$​P=AK+BK+BN+NC+AC​$$

По свойству касательных, проведенных из одной точки

​$$AK=AM​$$

​$$NC=MC​$$

$$​BK=BN=15​$$

​$$AC=AM+MC=AK+NC​$$

Значит

$$​P=17+17+15+15=64$$

Задание 4

Найдите значение выражения $$frac{9^{x+11}cdot2^{3x+8}}{3^{2x+21}cdot4^{x+4}}$$ при $$x = 2$$

Ответ: 12

Скрыть

$$frac{3^{2x+22}cdot2^{3x+8}}{3^{2x+21}cdot2^{2x+8}}=3cdot2^x=12$$

Задание 5

Ответ: 4

Скрыть

Пусть ​$$a$$​ — сторона квадрата

Если диагональ перпендикулярна плоскости основания, то из прямоугольного треугольника мы можем найти диагональ квадрата, который лежит в основании.

$$sqrt{36-14cdot7}=2sqrt{2}=asqrt{2}$$

$$​a=2​$$

$$​S=4$$

Задание 6

Ответ: 1

Скрыть

Точка максимума будет там, где знак производной меняется с “+” на “-”

Задание 7

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону $$v(t)=3sinfrac{pi t}{4}$$ (см/с), где $$t$$ — время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 1,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Ответ: 0,33

Скрыть

$$3cdotsinfrac{pi t}{4}>1,5​$$

$$sinfrac{pi t}{4}>frac{1}{2}$$

$$frac{pi}{6}+2pi n<frac{pi t}{4}<frac{5pi}{6}+2pi n​$$

$$frac{2}{3}+8n<t<frac{10}{3}+8n​$$

​$$n=0​$$

​$$frac{2}{3}<t<3frac{1}{3}​$$

$$frac{2}{3}<t<1​$$

Получаем, что ​$$1−frac{2}{3}=frac{1}{3}approx0,33$$​ доля от первой секунды скорость была больше 1,5

Задание 8

Аркадий продал партию компьютеров, а Борис продал партию принтеров, и их выручка оказалась одинаковой. «Если бы принтер стоил столько же, сколько компьютер, я бы получил 192 млн. рублей» — сказал Борис. «Если бы компьютер стоил столько же, сколько принтер, я бы получил 75 млн. рублей» — ответил Аркадий. На сколько процентов компьютер дороже принтера?

Ответ: 60

Скрыть

Пусть ​$$x, y$$​ – цена принтера и компьютера соответственно, $$​k,n$$​ – кол-во проданных принтеров и компьютеров соответственно.

$$xcdot k=ycdot n$$​

$$left{begin{matrix}
xcdot n=192\
ycdot k=75
end{matrix}right.$$

Решая систему, получаем ​$$frac{x}{y}=1,6$$

$$Rightarrow 60%$$

Задание 9

На рисунке изображен график функции $$f'(x)=acdottg x+b.$$ Найдите $$b.$$

Ответ: -3

Скрыть

$$1=acdottgfrac{pi}{4}+b​$$

$$​−3=acdottg0+b$$

$$​b=−3$$

Задание 10

В одном ресторане в г. Тамбове администратор предлагает гостям сыграть в «Шеш-беш»: гость бросает одновременно 2 игральные кости. Если он выбросит комбинацию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит комплимент от ресторана: чашку кофе или десерт бесплатно. Какова вероятность получить комплимент? Результат округлите до сотых.

Ответ: 0,11

Скрыть

Всего благоприятных вариантов из 36 два: 5,6 и 6,5

Найдем вероятность того, что гостю ни разу не выпала комбинация 5,6:

$$​P(A)=(1-frac{2}{36})cdot(1-frac{2}{36})$$​

​$$P_{иск}=1−P(A)=frac{35}{324}approx0,11$$

Задание 11

Найдите наибольшее значение функции $$y=12sin x-6sqrt{3}x+sqrt{3}pi+6$$ на отрезке $$[0;frac{pi}{2}].$$

Ответ: 12

Скрыть

Найдем критические точки:

$$y’=0​$$

​$$12cos x−6sqrt{3}=0$$​

$$cos x=frac{sqrt{3}}{2}$$​

$$x=pmfrac{pi}{6}+2pi n$$​

Под отрезок попадает только $$x=frac{pi}{6}$$​

Проверкой методом интервалов эта точка и является точкой максимума

$$​y(frac{pi}{6})=12$$

А) Решите уравнение $$frac{4^{x+frac{1}{2}}=2^{x+1}-2^{x+frac{1}{2}}+sqrt{2}}{sin x+sin2x}=0$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[-frac{pi}{2};frac{pi}{2}]$$

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки K, L и М — середины ребер АВ, В₁С₁ и DD₁

А) Докажите, что сечение куба плоскостью KLM является правильным многоугольником.

Б) Найдите расстояние от точки А до плоскости KLM, если ребро куба равно 2.

В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ АС является биссектрисой угла BAD и пересекается с диагональю BD в точке Е. Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность.

А) Докажите, что $$AEcdot AC = ADcdot AB$$

Б) Найдите АЕ, если известно, что ВС=7, СЕ=4.

Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых уравнение

$$|log_5(x^2)-a|-|log_5 x+2a|=(log_5 x)^2$$

имеет ровно четыре решения.

А) Можно ли в выражении $$ln 5 * ln 6 * ln 7 * ln8 * ln10 * ln12 * ln14$$ вместо всех знаков * так расставить знаки “+” и “-“, чтобы в результате получился ноль?

Б) Можно ли в выражении $$ln 6 * ln 7 * ln 8 * ln12 * ln14 * ln 24 * ln 32$$ вместо всех знаков * так расставить знаки “+” и “-“, чтобы в результате получился ноль?

В) Какое наибольшее количество попарно различных чисел можно выбрать из набора $$ln 7, ln 8,…ln 20$$ и расставить знаки “+” и “-“ так, чтобы их сумма стала равна нулю?

Показать ещё…