Егэ по математике профиль разбор 17 задания егэ по математике

Задание 17 Профильного ЕГЭ по математике — это уравнение, система уравнений или неравенство с параметром. Или несколькими параметрами.

Конечно, за один день научиться решать такие задачи невозможно. И все-таки мы немного расскажем о том, как научиться решать задачи с параметрами. С чего начать. И какие вообще есть методы решения задач с параметрами.

Начнем с хорошей новости. Задача 17 (с параметром) оценивается в целых 4 первичных балла ЕГЭ, которые отлично пересчитываются в тестовые.

Если вы полны решимости получить на ЕГЭ заветные 4 первичных балла за задачу 17 (с параметром), не стоит начинать с реальных экзаменационных задач. Ведь мы хотим получить результат, а не разочарование! Поэтому сначала необходимо повторить следующие темы:

1. Элементарные функции и их графики. Парабола, синус, логарифм, арктангенс и все остальные — всех их надо знать «в лицо».

2. Преобразование графиков функций.

3. Построение графиков функций.

4. Базовые элементы для решения задач с параметрами. Да, мы будем рисовать не только привычные функции. Но еще и окружности, ромбики, полуплоскости и всевозможные их комбинации.

5. Что такое параметр. Простые задачи с параметрами.

Только после этого можно переходить к самому простому и наглядному способу решения задач с параметрами — графическому.

Читайте статью, смотрите видеокурс. И помните, что графический метод — хороший, но не единственный.

Потому что, кроме него, есть и другие:

— Квадратные уравнения и неравенства с параметрами.

— Задачи с параметрами. Условия касания.

— Метод оценки в задачах с параметрами.

— Использование четности функций в задачах с параметрами.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 1, задача 17.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 5, задача 17.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 11, задача 17.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 26, задача 17.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 17.

И не думайте, что это все возможные методы решения задач с параметрами. Их намного больше! Мы дали ссылки на те, которые встречаются чаще всего в задачах ЕГЭ.

Несколько мудрых советов о том, как и зачем решать задачи с параметрами.

1. Чтобы на ЕГЭ уверенно справиться с заданием 17, нужно решить не менее 50 задач с параметрами.

2. Настанет момент, когда вы увидите, что задача с параметром похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов.

3. Два самых главных секрета решения задач с параметрами. Готовы узнать? Вот они:

— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной — сделайте замену.

— Если задачу с параметром можно решить графически — решите графически.

4. Сколько бы вы ни занимались задачами с параметрами, каким бы отличником ни стали — всегда найдется задача, над которой вы задумаетесь. Вот такая, например:

Задача 1. При каких значениях a системы  и равносильны?

Две системы уравнений с двумя переменными называются равносильными, если они имеют одни и те же решения, или обе системы не имеют решений.

1) При — системы равносильны, так как обе не имеют решений.

2) При — второе уравнение имеет решение которое является решением первой системы.

3) При 

Система уравнений

Уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом

Решениями системы:

являются две точки, в которых прямая пересекает окружность, заданную уравнением

А вот уравнение задает семейство параллельных прямых

Мы хотим, чтобы две системы были равносильны, то есть чтобы окружность, заданная уравнением , пересекала только одну из этого семейства прямых, а именно прямую , и не имела общих точек с другими прямыми из этого семейства.

Меняя параметр а, мы можем менять радиус окружности. Мы хотим, чтобы окружность радиуса не имела общих точек с прямыми, параллельными прямой , то есть лежала ниже прямой, проходящей через точку А на рисунке, и выше прямой, проходящей через точку В.

Когда же происходит касание в точках A и B?

В случае касания радиус окружности Мы легко находим это из прямоугольного треугольника СОА, где О — начало координат.

Значит, в случае касания , а если — касания не происходит.

Объединяя случаи, получим, что системы равносильны, если

Легко? Если справились — вот еще одна интересная задача:

Задача 2. При каких значениях параметра a найдется такое значение параметра , что система уравнений  имеет ровно три различных решения?

Вот решение этой задачи.

Лучше всего осваивать эту непростую тему на нашем Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов. Или на интенсивах ЕГЭ-Студии в Москве. Удачи, друзья!

Задачи на финансы

17 задание профильного уровня ЕГЭ по математике представляет собой задачу, связанную с финансами, а именно эта задача может быть на проценты, часть долгов и др. Сложность заключается в том, что необходимо рассчитать проценты или часть на длительном промежутке, поэтому данная задача не является прямой аналогией стандартных задач на проценты. Чтобы не говорить об общем, перейдем непосредственно к разбору типовой задачи.

Разбор типовых вариантов заданий №17 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

[su_note note_color=”#defae6″]

15-го  января  планируется  взять  кредит  в  банке  на  шесть  месяцев  в размере  1  млн  рублей.

Условия его возврата таковы:

• 1-го  числа  каждого  месяца  долг  увеличивается  на  r  процентов  по  сравнению  с  концом предыдущего месяца, где r – целое число;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го  числа  каждого  месяца  долг  должен  составлять  некоторую  сумму  в  соответствии  со следующей таблицей.

Найдите  наибольшее  значение  r,  при  котором  общая  сумма  выплат будет  меньше  1,2 млн рублей.

[/su_note]

Алгоритм решения:

1. Рассматриваем, какова величина выплат по кредиту ежемесячно.
2. Определяем долг по каждому месяцу.
3. Находим величину требующихся процентов.
4. Определяем сумму выплат за весь период.
5. Вычисляем процент r суммы выплат долга.
6. Записываем ответ.

Решение:

1. По условию, долг банку ежемесячно должен уменьшаться в таком порядке:

1; 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0.

2. Пусть k = 1 + r / 100, тогда долг каждый месяц равняется:

k; 0,6k; 0,4k; 0,3k; 0,2k; 0,1k.

3. Значит, выплаты со 2-го по 14-е ежемесячно составляют:

k – 0.6; 0.6k – 0.4; 0.4k – 0.3; 0.3k – 0.2; 0.2k – 0.1; 0.1k

4. Вся сумма выплат равна:

По условию, весь размер выплат меньше 1,2 млн руб, следовательно,

Наибольшим целым решением получившегося неравенства является 7. Тогда оно и есть искомое – 7.

Ответ: 7%.

Второй вариант (из Ященко, №1)

[su_note note_color=”#defae6″]

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 160 000 рублей, а во второй год — 240 000 рублей.

[/su_note]

Алгоритм решения задачи:

1. Определяем величину денежного долга.
2. Вычисляем сумму задолженности после первого взноса.
3. Находим величину долга после второго взноса
4. Находим искомый процент.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. В долг было взято 300 000 рублей. По условию сумма долга, подлежащего возврату увеличивается на r%, а значит в  раз. Для выплаты долга необходимо отдать банку 300000∙k.

2. После внесения платежа, равного 160 000 рублей. Остаток долга равняется

 руб.

3. На следующий год остаток тоже возрастет в k раз и составит:

Вносимая сумма равна 240 000 рублей:

 рублей.

4. Поскольку согласно условию эти выплаты погасят весь долг, получаем квадратное уравнение:

Решаем его, с помощью формул дискриминанта и корней:

5 .Среди полученных корней один отрицательный и условию не удовлетворяет. Получаем:

Таким образом, брать кредит планируется под 20% .

Ответ: 20%.

Даниил Романович | Просмотров: 10.8k

За каждым заданием второй части профильного ЕГЭ по математике уже давно закрепилось неофициальное название: так, задание 15 учителя и учащиеся называют экономической задачей. Это название объединяет задачи на кредиты и вклады, а также задачи на оптимизацию.

Эксперт, который проверяет выполненное Вами задание, выставляет баллы в строгом соответствии с критериями, приведёнными в таблице:

Вы, конечно, заметили, что в критериях нет ни слова о способах решения задания, зато подчёркивается, что нужно обосновать решение?

— Оценивается
математическая грамотность, обоснованность и полнота приведённого решения и ответа, а также отсутствие или наличие вычислительных ошибок

— Не оценивается
выбранный Вами способ решения и форма записи.

Что требуется для успешного решения задания 15?

Кредит банка – сумма денежных средств, которую заёмщик обязуется вернуть банку в соответствии с условиями заключённого договора (проценты, сроки промежуточных платежей и др.). Платёж по кредиту состоит из основного долга и процентов. Основной долг — это размер кредита. А проценты — это сумма, которую берет банк за пользование кредитом. 

Банковский вклад (или банковский депозит) — сумма денег, переданная лицом банку с целью получить доход в виде процентов, образующихся в ходе финансовых операций с вкладом. Начисление процентов происходит в соответствии с заключённым договором. Если в договоре по вкладу указан доход 5 % годовых, а вклад составляет S рулей, то это значит, что через год на вкладе будет 1,05S рублей.

Ниже приведены примеры решения задания 15 по математике: на кредиты, на вклады и на оптимизацию.

Пример 1.

Пример 2.(Задание 15 вариант 22 из книги Математика. Подготовка к ЕГЭ-2023. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии 2023 года. Издательство «Легион»)

Решение:

Решение:

Задание №17 – это задание (с 13-19) из 2-й части ЕГЭ по профильной математике. Ответ дается в развернутом виде с полной записью решения и обоснованием, оценивается в 3 балла. 2 часть ЕГЭ профиля математики содержит 19 заданий базового, повышенного и высокого уровня сложности. Так вот, задание 17 относится к повышенному уровню сложности и без серьезной подготовки решить сложно.

Условия задачи даются в довольно специфичном виде, не все данные представлены явно. Поэтому важно наработать навыки интерпретации условий задачи, идентификации исходных данных, определения искомой величины и возможных схем решения. Помочь в этом вам смогут курсы подготовки «Уникум» РУДН по математике. На курсах вы вспомните теорию и практику, получите разбор всех типов заданий и пробных вариантов ЕГЭ по профильной математике.

Теория

Задание №17 — это текстовые задачи на знание финансовой математики и экономического содержания. Данные задачи можно разделить на несколько типов:

• на проценты, кредиты, вклады и различные их вариации

• на использование экономических моделей (производство, объемы выпускаемой продукции, протяженные во времени, и др.)

В свою очередь задачи на кредиты делятся на 2 типа:

1 тип. Кредиты с равными платежами («аннуитет»).

2 тип. Кредиты с дифференцированными платежами.

Выбор схемы решения задач на кредиты зависит от типа задачи. Поэтому первое, что нужно сделать – это определить ее тип.

При 1 типе задачи схема погашения кредита приводится к виду геометрической прогрессии. После чего применяется формула суммы геометрической прогрессии.

При 2 типе схема платежей по кредиту приводится к виду арифметической прогрессии. После чего применяется формула суммы арифметической прогрессии.

Необходимые знания

Необходимые знания при решении задачи 17:

• проценты

• арифметическая прогрессия

• геометрическая прогрессия

• степенная функция

• логарифмическая функция

• логарифмические уравнения и неравенства

• показательная функция

• показательные уравнения и неравенства

• системы уравнений

Формулы

При решении задачи №17 чаще всего используются следующие формулы:

1.Расчеты с процентами:

Х% от величины а: а*х/100;

• а увеличилась на х%: а*(1+х/100);

• а увеличилась на х% n раз: а*(1+х/100)ⁿ;

• а увеличилась на х%, затем уменьшилась на у%: a*(1+х/100) *(1-y/100).

2.Наращенная сумма при начислении простых %: S = а*(1+n*х/100);

3.Наращенная сумма при начислении сложных %: S = а*(1+х/100)ⁿ,

где а – первоначальная сумма, х – % ставка, n- количество периодов начисления %.

4.Формулы суммы членов арифметической и геометрической прогрессии:

— сумма 1-х n членов арифметической прогрессии, где a1 – 1-й член, an- n-й член, d – шаг.

— сумма 1-х n членов геометрической прогрессии, где b1 – 1-й член, q – знаменатель.

Практика

Разберем 3 задачи.

Пример 1. В августе 2019 года был взят кредит на следующих условиях:

— в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с декабрем предыдущего года;

— долг выплачивается 1 платежом в год с апреля по сентябрь;

— кредит был погашен 3 равными платежами за 3 года и общая сумма выплат оказалась на 78 030 рублей больше суммы взятой в кредит. Определить сумму кредита.

Решение:

Обозначим: х – сумма кредита

а – ежегодный платеж

Схема выплат по кредиту:

((Х*1,3-а) *1,3-а) *1,3-а = 0, т. к. после всех выплат кредит погашен

1,3³ Х-1,3²а-1,3а-а = 0 ═> 1,3³ Х-а*(1,3²+1,3+1)=2,197Х-а*3,99 = 0

Т. к. было 3 равных платежа: а = (78 030+х)/3 = 26 010+х/3

2,197х-(26 010+х/3) *3,99 = 0

2,197х = (26 010+х/3) *3,99

2,197х/3,99 = 26 010+х/3

2,197х/3,99 – х/3 = 26 010

(2,197х-1,33х)/3,99 = 26 010

0,867х/3,99 = 26 010

0,289х/1,33 = 26 010

Х = 119 700

Ответ: 119 700

Пример 2. Антон и Аня одновременно положили в банк равные суммы под 12%. Через год после начисления % Антон внес на свой счет 10 000 руб., а еще через год после начисления % снял с него 10 000 руб. Аня через год после начисления % сняла 10 000 руб., а еще через год также после начисления % внесла на счет 10 000 руб. У кого на счету через три года со времени первоначального вложения окажется большая сумма и на сколько рублей?

Решение:

Обозначим х первоначальную сумму на каждом вкладе

Суммы на счетах через 3 года:

У Антона:

((х*1,12+10 000) *1,12-10 000) *1,12 = 1,12³х+1 344

У Ани:

((х*1,12-10 000) *1,12+10 000) *1,12 = 1,12³х-1 344

Из большей суммы вычтем меньшую:

1,12³х+1 344 – (1,12³х -1 344) = 1 688 руб. – Антон получит на эту сумму больше.

Ответ: у Антона на 1688 руб. больше.

Пример 3. В 2016 году среднемесячный доход на душу населения в регионе А составлял 25 600 руб. и ежегодно увеличивался на 25%. В регионе Б среднемесячный доход на душу населения в 2016 году составлял 36 450 руб. Суммарный доход населения региона Б последующие 3 года ежегодно увеличивался на 16%, а численность населения увеличивалась на n% ежегодно. В 2019 году среднемесячный доход на душу населения в регионах А и Б сравнялся. Найти n.

Решение:

Нужно обратить внимание на то, что для региона А и Б темпы роста даны для разных величин – для А – для среднедушевого дохода, для Б – для общего дохода населения, численность которого росла на протяжение 3 лет.

Определим среднемесячный доход на душу населения (Д) для каждого из регионов в 2019 году:

ДА= 25 600*1,25*1,25*1,25 = 25 600*1,25³

ДА= 25 600*1,25*1,25*1,25 = 25 600*1,25³

ДБ= 36 450*1,16*1,16*1,16/(1+n/100) *(1+n/100) *(1+n/100) =36 450*1,16³/(1+n/100)³

— делим на темпы роста численности населения потому, что для региона Б рост дан для суммарного дохода населения, а величина Д рассчитывается на душу населения.

в 2019 году Д регионов сравнялись:

25 600*1,25³=36 450*1,16³/(1+n/100)³═> (1+n/100)³=36 450*1,16³/25 600*1,25³ =729*1,16³/512*1,25³ = 9*1,16³/8*1,25³ =(9*1,16)³/(8*1,25)³= (10,44/10)³═> 1+n/100=10,44/10 = 1,044

n = (1,044-1) *100 = 4,4

Ответ: 4,4

Как видите, решение задач по финансовой математике связано с большим количеством вычислений, которые в итоге сводятся к решению уравнений или системы уравнений. Важно внимательно читать условия, правильно определить тип задачи и схему решения.

Как правило, ответ в задаче должен получиться «красивым», т. е. в виде либо целого числа, либо в виде конечной десятичной дроби. Если ответ получился «некрасивым», это повод внимательно перепроверить решение. При вычислениях часто удобнее иметь дело не десятичными, а с простыми дробями, внимательно проводить сокращение. Полезно повторить таблицу возведения чисел во 2 и 3 степени, что поможет сэкономить время на решение. Вспомните действия со степенями.

И чем больше вариантов заданий №17 ЕГЭ по профильной математике вы решите, тем лучше будете ориентироваться в схемах решений, т.к. все задания сводятся к небольшому количеству типовых вариантов.

Подготовительные курсы ЕГЭ по математике «Уникум» РУДН дают такую возможность. Под руководством преподавателя курсов, вы получите подробный разбор вариантов экзаменационных работ и закрепите навыки их решения.

В задании №17 в ЕГЭ по профильной математике, вместо ожидаемой текстовой задачи на кредиты, иногда встречаются оптимальный выбор. Этот вид задач считается более сложным по сравнению с кредитами. Чтобы хорошо подготовиться к экзамену, нужно научиться их решать.

Тут требуется умение искать наибольшие и наименьшие значения функции, обычно зависящей от нескольких переменных. Эти переменные, как правило, связаны дополнительными условиями.

Вам обязательно понадобится умение искать производные и исследовать функции на экстремумы. Нужно знать, что такое ограниченные, возрастающие и убывающие функции. Если вы умеете решать 12-й и 7-й номера из ЕГЭ, то вам повезло – все необходимое для решения инструменты уже у вас в руках. А те, кто не умеет считать производные, то настоятельно рекомендуем сначала разобраться с первой частью экзамена и только потом переходить на более сложные задачи, такие, как №17.

Основной подход к решению заключается в следующем. Необходимо составить функцию, задающую нужную зависимость – если нужно найти максимальную или минимальную прибыль, значит это должна быть функция, описывающая прибыль, если нужен максимальный выпуск продукции на заводе, значит функция должна задавать количество продукции выпускаемой заводом, нужно найти оптимальное расстояние – наша функция будет описывать расстояние. Внимательно, функция может зависеть сразу от нескольких переменных. После того, как вы смогли записать функцию, нам предстоит ее исследовать.

На самом деле, тут нет какой-то сухой теории, которую можно прочить и научиться решать задачи на оптимальный выбор. Поэтому давайте учиться на примерах. Сначала разберем простые, поймем алгоритм решения, а потом перейдем к более сложным, которые могут встретиться на экзамене.

Пример 1

Пусть у Василия есть завод, который выпускает спичечные коробки. Расходы на производство одного коробка 1 руб, а продает он их за 5 руб. В итоге с каждого коробка Василий получает прибыль 4 руб. Давайте разберемся, сколько нужно производить коробков, чтобы прибыль была наибольшей, если (Х) работников завода может производить в месяц ( N=-left(x-10right)^{2}+500) коробков.

И так, согласно условию задачи, если на заводе Х работников, то они производят ( N=-left(x-10right)^{2}+500) коробков.

А какая прибыль (P) с такого количества? Ответ очевиден, нужно просто прибыль (4 руб) с одного коробка умножить на количество произведенных коробков: ( P=4*(-left(x-10right)^{2}+500)).

Давайте посмотрим при каком количестве работников прибыль Василия будет максимальна. Или другими словами при каком (Х) будет наибольшим (Р). Такое задание часто встречается в 12-м номере ЕГЭ, нужно просто исследовать нашу зависимость прибыли ( P=4*(-left(x-10right)^{2}+500)) от (Х) и найти экстремумы.

Напомню, что функция принимает наибольшее или наименьшее значения в точках, где ее производная равна 0. Значит ищем производную от (Р) и приравниваем к 0.

$${P}^{’}=(4*(-left(x-10right)^{2}+500))^{‘}= 4cdotleft(-2right)cdotleft(x-10right)$$

Приравниваем (0):

$$4cdotleft(-2right)cdotleft(x-10right)=0$$

И ищем (Х), при котором производная равна (0):

$$ X=10.$$

Что мы такое нашли? При этом значении (Х) (количестве рабочих) прибыль будет либо максимальна, либо минимальна. Это точка экстремума, а какая именно, мы пока не знаем.

Давайте это определим. Напоминаю, если производная отрицательная, то функция убывает, если положительна, то возрастает. Если подставить значения меньшее (10) в нашу производную, например (1):

$$ 4cdotleft(-2right)cdotleft(x-10right) = 4cdotleft(-2right)cdotleft(1-10right)=4*18=72$$

Значение производной получилось больше 0:

$$ {P(x<10)}^{‘}>0$$

Значит при (Х<10) функция возрастает, а при (Х>10) убывает. А значит (Х=10) – это максимум. Мы получили, что максимальная прибыль будет, если на производстве будет задействовано всего 10 рабочих. Как так может быть? Казалось бы, чем больше рабочих, тем больше продукции выпускает завод, а значит и больше прибыль. Но в реальной жизни все не так просто – размеры завода ограничены, и если там будет слишком много людей, то они просто будут мешать друг другу делать свою работу, в результате выпуск продукции начнет снижаться или поднимутся расходы на производство.

Вернемся к задаче, а какая будет максимальная прибыль? Просто подставим (Х=10) в функцию для прибыли:

$$ P=4*(-left(x-10right)^{2}+500)= 4*(-left(10-10right)^{2}+500)=4*500=2000 руб. $$

Только что мы решили первую задачу на оптимальный выбор.

Разберем следующий пример:

Пример 2

Пусть опять у нас есть завод, на котором расходы на производство (y) автомобилей составляет (Q=0,5y^2+y+7) миллионов рублей в месяц. Если продавать каждый автомобиль за (S) тысяч рублей, то при продаже всех произведенных за месяц автомобилей завод получит доход (S*y), а заработает на этом прибыль (доходы минус расходы) — (S*y-Q). Какую наименьшую цену продажи (S) нужно установить, чтобы за 3 месяца завод получил прибыль 75 миллионов рублей?

Первым делом давайте составим функцию, описывающую зависимость прибыли от количества произведенной продукции и цены продажи, которую мы должны установить. Сразу 2 неизвестные!

И так, чтобы посчитать прибыль (P(y,S)), зависящую от (у) и (S), нам нужно стоимость продажи одного автомобиля (S) умножить на количество проданных машин (у), получим общий доход, и вычесть все расходы (Q), которые мы понесли при производстве (в условии, кстати, это написано — подсказка):

$$P(x,S)=S*y-Q=S*y-(0,5*y^2+y+7)=-0,5y^2+(S-1)y-7$$

Проанализируем полученное выражение. Это квадратный многочлен. Если построить график относительно (у), то это уравнение параболы. Как анализировать квадратные многочлены, можно посмотреть тут.

Так как коэффициент перед (y^2) отрицательный, то ветки параболы направлены вниз. То есть, наибольшее значение нашей функции будет в вершине параболы. Можно по известным формулам найти вершину и значение функции и в ней, это и будет максимальное значение. А можно пойти по старому пути, как в примере 1, и посчитать производную. Число (S) будем считать просто за константу, то есть берем производную относительно (у):

$$ {P(x,S)}^{’}={(-0,5y^2+(S-1)y-7)}^{’}=-y+S-1; $$

Приравниваем производную нулю, чтобы найти точки экстремума:

$$-y+S-1=0;$$
$$y=S-1;$$

Так как график исходной функции парабола с ветками вниз, то это точка максимума функции (P(x,S)). Подставим (y=S-1) в нашу функцию:

$$ P(x,S)=-0,5*y^2+(S-1)y-7=-0,5(S-1)^2+(S-1)(S-1)-7=frac{(S-1)^2}{2}-7; $$

Мы получили — какую максимальную прибыль мы можем заработать в зависимости от (S). Другими словами, подставляя различные значения стоимости автомобиля в нашу функцию, получим максимальную прибыль при данной стоимости продажи.

По условию задачи общая прибыль за 3 месяца должна быть не меньше чем 75 миллионов рублей. Запишем это в виде неравенства:

$$ {3*P(S)}_{max}=3*frac{(S-1)^2}{2}-7 ge 75; $$

Осталось только решить это неравенство:

$$(S-1)^2ge64;$$
$$(S-9)(S+7)ge0;$$

(S) отрицательным быть не может, что это тогда за бизнес, где цена продаваемой продукции отрицательна. А значит при (S ge9) прибыль завода будет больше 75 миллионов рублей.

Пример 3

Решим задачу на оптимизацию расстояния:

Два мотоциклиста подъезжают к перекрестку по двум перпендикулярным дорогам. Первый едет со скоростью 40 км/ч и до перекрестка ему осталось ехать 5 км, а скорость второго 30км/ч и ехать до перекрестка 3 км. Через какое время расстояние между мотоциклистами будет наименьшим?

Для решения задачи нам понадобится теорема Пифагора, ведь мотоциклисты едут по взаимно перпендикулярным дорогам, а значит расстояние между ними — это гипотенуза прямоугольного треугольника, а катеты – это расстояния от каждого мотоциклиста до перекрестка.

Пусть мотоциклисты уже находятся в пути (t) часов. Тогда первый проедет расстояние:

$$S=v*t=40t;$$

До перекрестка осталось ехать

$$S_1=5-40t;$$

А второму:

$$S_2=3-30t;$$

Мы получили прямоугольный треугольник с катетами (S_1) и (S_2). По теореме Пифагора выведем функцию, задающую расстояние между мотоциклистами:

$$L=sqrt{(5-40t)^2+(3-30t)^2}=sqrt{25-400t+1600t^2+9-180t+900t^2}=sqrt{2500t^2-580t+34};$$

Согласно условию задачи, нужно найти такое время (t), чтобы расстояние (L) было наименьшим. Для этого опять возьмем производную и исследуем функцию (L) на экстремум:

$$ {L}^{’}=frac{1}{2*sqrt{2500t^2-580t+34}}*(5000*t-580); $$

Приравниваем нулю:

$$5000*t-580=0;$$
$$t=frac{580}{5000}=frac{29}{250} часа;$$

Так как при (t) меньшем этого числа производная функции отрицательна, а при большем – положительна, то получаем точку минимума и, что расстояние между мотоциклистами будет наименьшим через (frac{29}{250}) часа, это и требовалось найти.

Если бы в задаче нас попросили еще найти это расстояние, то нужно подставить (t=frac{29}{250}) в функцию расстояния (L):

$$L(t=frac{29}{250})=sqrt{(5-40*frac{29}{250})^2+(3-30*frac{29}{250})^2}=(frac{3}{5})км$$

В части с развернутым ответом в ЕГЭ по профильной математике есть уникальный номер, к которому школьник почти готов сразу после освоения материала для первых 12-ти заданий. Речь об экономической задаче под номером 17 в ЕГЭ по математике. Конечно, поготовиться придется, но, если повезет с прототипом, баллы можно урвать почти даром!

Прототипы для 17-го номера делятся на три большие группы: 

• банковские задачи, 
• на ценные бумаги,
• задачи на оптимальный выбор. 

В этой статье мы расскажем, как научить ученика структурировать условие любой банковской задачи, как составить по этим данным математическую модель и найти решение. Расскажем, на что обратить внимание ученика, чтобы школьник не потерял баллы из-за неверного оформления.

Главная трудность — школьник плохо понимает условие, ведь с кредитами и вкладами он пока не сталкивался.

• Как работает процент по кредиту?
• На какую сумму начисляется?
• Из каких частей состоит платеж?
• Как уменьшается долг?

На все эти вопросы вам придется ответить. Это отличная возможность показать пользу уроков математики, ведь 17-ый номер — едва ли не самая прикладная задача за весь школьный курс! 

Например, можно рассказать о том, какие бывают образовательные кредиты. Вы в курсе, что их дают с 14 лет, а платеж первые годы может быть ничтожным? Школьник об этом точно не знает.

С чего начать разбор экономической (банковской) задачи в ЕГЭ по математике

Экзамен немного утрирует реальную ситуацию, в жизни кредит работает сложнее. Однако грустно упускать возможность рассказать школьнику что-то из реальности! Если у вас есть опыт с кредитованием, самое время им поделиться. Если нет, то воспользуйтесь нашим:

• Например, расскажите, что клиенту придется сверх купить страховку на случай потери работоспособности, ведь банк не хочет терять прибыль даже если на заемщика кирпич упадет. Ваши ученики знают, как работает страховка?
• Расскажите о механизме аннуитетного платежа: как часть денег банк забирает себе в качестве дохода, то есть на погашение процентов за пользование кредитом; а на вторую часть уменьшает ваш долг. В реальности это разделение считается по специальной формуле, и совсем не в пользу заемщика.
• Например, по нашему опыту, в ипотеке на 10 лет из 20 тысяч ежемесячного платежа на первых порах всего 5 000 рублей идет в счет уменьшения долга, а 15 000 — забирает себе банк! Но каждый раз платеж чуть ребалансируется, и в счет долга идет чуть больше. Так в последних платежах через 10 лет в счет процентов идет буквально пара сотен, а все остальное гасит долг. 

Хорошая новость в том, что в экзаменационных задачах подобной вакханалии не бывает. Долг и проценты или гасятся равномерно, или по заранее известному алгоритму, достаточно просто внимательно прочитать условие.

Еще одно частое упрощение в ЕГЭ — процент там обычно не годовой, а ежемесячный! То есть своим платежом заемщик гасит набежавший за этот месяц процент и уменьшает долг на заданную величину. Удобно.

Мы предлагаем научить школьника упорядочивать данные банковской задачи в ЕГЭ по математике с помощью таблицы. Табличка — не единственный способ решить 17-ый номер, кто-то использует последовательности, кто-то — считает прикладным методом как заправский бухгалтер. Однако наш метод универсален, а значит вы дадите школьнику один алгоритм на все типы банковских задач. Согласитесь, работать с одним алгоритмом проще, чем подбирать разные по ситуации.

Тип 1. Равные платежи

Особенность этого типа заданий в том, что заемщик всегда вносит одинаковые суммы.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Очевидно, что эта схема должна оказаться у школьника в тетради. Ведь вы же знаете: того, чего нет в тетради, и на уроке-то не было!

Заполняем всю табличку. Учитываем обе ситуации из условия. Для наглядности каждую выделим жирной рамкой.

Теперь остался еще один непростой шаг — перейти от структурированных данных к математической модели. Дайте ученику возможность увидеть, что уже почти составил ее.

Мы получили два уравнения, которые подсветили в табличке оранжевым. Объединим их в систему и решим!

Напомните выпускнику о культуре вычислений! Порой эти задачи составлены так, что неудачная последовательность действий сделает их нерешаемыми без калькулятора. Потому не надо спешить делать первое попавшееся действие, пусть школьник тренируется думать на пару ходов вперед.

Например, разделим одно уравнение на другое, ведь так мы избавимся от одной неизвестной S:

Наше решение не зависит от суммы кредита, S сокращается. 

По сути, мы получили уравнение с одной неизвестной, ведь платежи a и b знаем из условия. Выразим k:

Пожалуй, все, проще уже некуда. Подставляем значения!   

Тут можно обратить внимание ученика на то, как составители экзамена на самом деле заботятся о нем! Ведь будь задачка хоть чуть-чуть другой, посчитать без калькулятора было бы невозможно.

Вспоминаем, что k=1+r/100, а найти нам надо r.

Ответ: 10%.

Не забудьте после решения расставить акценты в задаче:

Чтобы решить задачу и получить 3 балла, мы:
— Воспользовались простым алгоритмом упорядочивания данных,
— Составили математическую модель,
— Нашли удобный способ решить ее, ВСЕ!
Это и есть алгоритм решения банковской задачи.

Тип 2. Равномерно убывающий долг

В прошлой задаче заемщик платил одинаковую сумму каждый месяц. Тут ему нужно уменьшать долг на одну и ту же величину. То есть за месяц пользования деньгами банк начислил на них процент, клиент теперь должен чуть больше. Своим платежом он оплатит банку проценты, чтобы заем стал таким, как ДО их начисления. А сверху внесет сумму, которая как раз и пойдет на то самое РАВНОМЕРНОЕ уменьшение долга.  

15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
(Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Тут главный элемент в задаче — равномерно убывающий долг. Если мы взяли сумму S на 39 месяцев, и каждый месяц долг должен быть меньше на одинаковую величину, то что это за величина? Пусть правильный ответ 1/39 S даст ученик.

Проиллюстрируйте школьнику, как здорово работает наш алгоритм. Пусть выпускник проговаривает пункты вслух, а вы их выполняйте. Следите, чтобы каждый шаг подопечный фиксировал в тетради:

Продолжаем заполнять табличку. Пусть дальше пробует выпускник, ведь пока сам не попробуешь, не научишься:

Осталось увязать добытую информацию в уравнение или неравенство. Обратите внимание подопечного на то, что ненужных подробностей в задачах ЕГЭ не бывает! Единственная информация в задаче, которую мы до сих пор не использовали — общая сумма выплат. По условию она на 20% больше суммы кредита, то есть равна 1,2S:

Приведем подобные, вынесем общий множитель за скобку:

Решение в итоге снова не зависит от того, какую сумму взяли в долг. Разделим обе части на S и упростим выражение:

Ответ: 1%.

И снова все по нашему алгоритму, ничего нового, кроме него, мы не используем! Не забудьте излучать восторг, иначе школьник не проникнется мощью вашего метода решения.

Тип 3. Долг, убывающий согласно табличке

Задача похожа на прошлую. Разница лишь в том, что кроме процентов нам каждый месяц придется гасить не равную долю долга, а долю согласно таблице.

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.

Протестируем нашу универсальную табличку в третий раз, доверьте это непростое занятие школьнику. Пусть процессом командует он! По ответам будет ясно, ловит ли он суть.

Отличие от прошлого типа будет лишь в том, что в третий столбец мы будем записывать не равномерно убывающий долг, а перенесем остаток долга из таблицы условия. Чтобы не таскать по решению нули, считать будем в миллионах:

Чтобы долг убывал согласно табличке, нам снова каждый раз придется гасить набежавшие проценты и первые 5 месяцев добавлять сверху 0,1 млн. После останется погасить весь остаток.

Акцентируйте внимание на механизме погашения, для школьника он не всегда очевиден.

«По условию нам снова дана общая сумма выплат, значит достаточно просуммировать оранжевый столбец, и уравнение готово», — вероятно, подумает школьник. Подловите его! Уравнение в этой задаче — прямой путь потерять балл! Сумма выплат должна быть БОЛЬШЕ 1,2 млн. Отразим это в модели с помощью неравенства:

Подопечный должен быть уверен в каждом символе в бланке ответа. Даже не пригодившиеся промежуточные вычисления с ошибкой приведут к катастрофе.

Приведем подобные и вынесем общие множители за скобку:

Последний шаг – не забыть, что по условию процент должен быть целым и округлить в верную сторону.

Ответ: 5%.

Правильная математическая модель — это суперважно! К ней проверяющие обязательно придерутся.

Тип 4. Погашение кредита в два этапа.

По сути, это та же прошлая задача, но месяцев больше

В 2017-2018 учебном году составителей экзамена посетило вдохновение, на свет родился вот этот тип банковских задач. Школьники были в шоке, и от страха завалили 17-ый номер. Хотя всего-то нужно было догадаться воспользоваться знаниями об арифметической прогрессии и достать из условия одно немного неочевидное дано!

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 804 тысячи рублей?

И снова пусть по возможности командует школьник. По крайней мере он уже точно в курсе, что происходит первые 13 месяцев.

Последовательно начисляем процент на остаток долга – считаем выплату – фиксируем остаток долга после выплаты. Сумму кредита возьмем за S.

Научите школьника не спешить с вычислениями. Например, вместо того чтобы написать S-600, мы пишем S-50*12, потому что так удобнее: нам сразу ясно, что речь идет о двенадцатом месяце. Да и потом вычисления будут проще, если мы оставим маленькие числа.

Осталось составить уравнение, и модель готова. В задаче нам снова дали сумму всех выплат:

Как обычно, сгруппируем отдельно слагаемые с r/100, отдельно слагаемые без них:

Вот именно последняя группировка всех платежей в счет долга и оказалась неочевидной. Без нее в задаче остается одна лишняя неизвестная величина, которая рушит все решение.

Осталось привести уравнение к решаемому виду. Для этого надо просуммировать то, что получилось в скобках. Если внимательно приглядеться, то видно, что это сумма арифметической прогрессии:

Посчитаем эту сумму:

Подставляем выражение для суммы в уравнение, заметим, что по условию r=2:

Мы сокращали дробь, пока это было возможно, и в итоге довольно просто получили ответ даже без калькулятора. Ваш подопечный должен научиться также!

Ответ: 700 тысяч.

Зачем использовать формулу суммы прогрессии, если можно посчитать вручную? Все верно, можно. Но это только в данном случае кредит взяли всего на 13 месяцев. А бывают прототипы, когда срок – 21 и больше месяцев. В какой-то момент считать вручную станет совсем долго и неудобно, потому воспользоваться формулой суммы – более универсальный метод.

Чем закончить разбор экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике

Чтобы у ученика окончательно сложилась картинка занятия, пробегитесь еще раз по основным выводам:

• Повторите алгоритм заполнения таблицы и решения задачи (да, пятый раз);
• Повторите типы задач и механизм распределения платежа на проценты и долг;
• Напомните, как важно считать культурно и быть уверенным в каждой циферке в бланке;
• Проговорите, что математическая модель должна точно отражать условие задачи.

Как показывает практика, чем больше повторяешь, тем больше шансов, что в голове выпускника останется хоть что-то.

За что дают баллы?

Знание критериев оценивания экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике поможетученику чувствовать себя увереннее, ведь выставление баллов — это не какая-то магия и не вредность экспертов. Все правила игры прописаны в нормативных документах.

17-ый номер стоит 3 балла. Чтобы узнать, как их присуждают, мы залезли в методические рекомендации для членов предметных комиссий.

Согласно пояснениям из документа, для получения одного балла мало просто обоснованно составить математическую модель по задаче, надо предложить правильный метод ее анализа. 

Два балла получит школьник, который ошибся в вычислениях или не обосновал появление математической модели в решении. Например, согласно методическим рекомендациям, решение на 2 балла выглядит так:

А вот отсутствие промежуточных вычислений хоть и усложняет проверку, но баллы не снимает.

Идеально выполненная первая часть ЕГЭ по профильной математике принесет школьнику всего 62 тестовых балла. Добавим сюда пару ошибок по невнимательности, и останутся совсем крохи — баллов 50, не больше. Для поступления на бюджет мало, а значит необходимо планировать делать вторую часть! Чем раньше школьник это осознает, тем проще будет с ним работать. А банковская задача поможет получить дополнительные баллы с минимальными усилиями.

Однако кредиты – не единственный прототип 17-го номера, и в следующий раз мы расскажем, как научить школьника решать задачи на оптимальный выбор и ценные бумаги. 

Блок 1. Экономические задачи. Кредиты

Блок 2. Экономические задачи. Вклады, сбережения, депозиты

Блок 3. Экономические задачи. Равномерное погашение долга и кредита

Блок 4. Экономические задачи. Задачи на проценты

Блок 5. Задачи на оптимизацию. Производительность

Блок 6. Задачи на оптимизацию. Функция прибыли