Параллельность в пространстве
- Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
- Если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны.
- Если две прямые в трехмерном пространстве перпендикулярны к одной плоскости, то они параллельны.
- Если прямая a, не лежащая в плоскости $α$, параллельна некоторой прямой $b$, которая лежит в плоскости $α$, то прямая a параллельна плоскости $α$.
- Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
Перпендикулярность в пространстве
- Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90°$.
- Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
- Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны.
- Теорема о трех перпендикулярах: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.
- Если из одной точки проведены к плоскости перпендикуляр и наклонные, то:
- Перпендикуляр короче наклонных.
- Равные наклонные имеют равные проекции на плоскости.
- Большей наклонной соответствует большая проекция на плоскости.
Скрещивающиеся прямые
- Если одна из двух прямых лежит на плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
- Через две скрещивающиеся прямые проходит единственная пара параллельных плоскостей.
- Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.
- Угол между скрещивающимися прямыми – это острый угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.
Многогранники
Введем общие обозначения
$P_{осн}$ — периметр основания;
$S_{осн}$ — площадь основания;
$S_{бок}$ — площадь боковой поверхности;
$S_{п.п}$ — площадь полной поверхности;
$V$ — объем фигуры.
| Название | Определение и свойства фигуры | Обозначения и формулы объема, площади |
| Прямоугольный параллелепипед | 1. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые. 2. Противоположные грани попарно равны и параллельны. 3. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. 4. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты). $B_1D^2=AD^2+DC^2+C_1C^2$ |
$V=a·b·c$, где $a, b$ и $с$ – длина, ширина и высота. $S_{бок}=P_{осн}·c=2(a+b)·c$ $S_{п.п}=2(ab+bc+ac)$. |
| Куб | 1. Противоположные грани попарно параллельны. 2. Все двугранные углы куба – прямые. 3. Диагональ куба в $√3$ раз больше его ребра. $B_1 D=АВ√3$ |
Пусть $а$ — длина ребра куба, $d$ — диагональ куба, тогда справедливы формулы: $V=a^3={d^3}/{3√3}$. $S_{п.п}=6а^2=2d^2$ $R={a√3}/{2}$, где $R$ — радиус сферы, описанной около куба. $r={a}/{2}$, где $r$ — радиус сферы, вписанной в куб. |
| Призма |
Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и $n$-го количества параллелограммов.
|
$S_{бок}=P_{осн}·h$ $S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}$ $V=S_{осн}·h$ |
| Пирамида |
|
Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды. $h_a$ — высота боковой грани (апофема) $S_{бок}={P_{осн}·h_a}/{2}$ $S_{п.п}=S_{бок}+S_{осн}$ $V={1}/{3} S_{осн}·h$ |
| Усеченная пирамида |
|
$V={h(F+f+√{Ff})}/{3}$ Где $F,f$ — площади оснований; $h$ — высота (расстояние между основаниями); Для правильной ус. пирамиды $S_{бок}={(P+p)·a}/{2}$, где $P$ и $p$ – периметры оснований; $а$ – апофема. |
| Цилиндр |
|
$S_{бок.пов.}=2πR·h$ $S_{полной.пов.}=2πR(R+h)$ $V=πR^2·h$ |
| Конус |
|
$S_{бок.пов.}=πR·l$ $S_{полной.пов.}=πR^2+πR·l=πR(R+l)$ $V={πR^2·h}/{3}$ |
| Усеченный конус |
|
$S_{бок}=πl(R+r)$ $S_{п.п.}=π(R^2+r^2+l(R+r))$ $V={πH(R^2+r^2+Rr)}/{3}$ Где $R$ и $r$ – радиусы оснований; $Н$ — высота усеченного конуса. |
| Сфера, шар |
|
$S_{п.п}=4π·R^2=π·d^2$, где $R$ — радиус сферы, $d$ — диаметр сферы $V={4π·R^3}/{3}={π·d^3}/{6}$, где $R$ — радиус шара, $d$ — диаметр шара. |
Тетраэдр
Радиус описанной сферы тетраэдра.
Вокруг тетраэдра можно описать сферу, радиус которой находим по формуле, где $R$ — радиус описанной сферы, $a$ — ребро тетраэдра.
$R={a√6}/{4}$
Радиус вписанной в тетраэдр сферы.
В тетраэдр можно вписать сферу, радиус вписанной сферы находим по формуле, приведенной ниже.
Где $r$ — радиус вписанной в тетраэдр сферы,
$a$ — ребро тетраэдра.
$r={a√6}/{12}$
Составные многогранники
Задачи на нахождение объема составного многогранника:
- Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
- Найти объем каждого параллелепипеда.
- Сложить объемы.
Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.
— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:
$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$
Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.
— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.
Пример:
Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
Представим данный многогранник как прямую призму с высотой равной $12$.
$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$
$P_{осн}=8+6+6+2+2+4=28$
Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:
$S_1=6·6=36$
$S_2=2·4=8$
$S_осн=36+8=44$
Далее подставим все данные в формулу и найдем площадь поверхности многогранника
$S_{полн.пов.}=28·12+2·44=336+88=424$
Ответ: $424$
— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.
Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.
В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$АС^2+ВС^2=АВ^2$
Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.
Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:
Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
- Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
| $α$ | $30$ | $45$ | $60$ |
| $sinα$ | ${1}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${√3}/{2}$ |
| $cosα$ | ${√3}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${1}/{2}$ |
| $tgα$ | ${√3}/{3}$ | $1$ | $√3$ |
| $ctgα$ | $√3$ | $1$ | ${√3}/{3}$ |
Связь между сторонами правильного n-угольника и радиусами описанной и вписанной окружностей
$АВ=a_n$ — сторона правильного многоугольника
$R$ — радиус описанной окружности
$r$ — радиус вписанной окружности
$n$ — количество сторон и углов
$a_n=2·R·sin{180°}/{n}$;
$r=R·cos{180°}/{n}$;
$a_n=2·r·tg{180°}/{n}$.
Формула нахождения градусной меры угла в правильном многоугольнике:
$α={(n-2)·180°}/{n}$
Формулы площадей треугольников и многоугольников, которые могут находиться в основании многогранников
В основании лежит треугольник
1. $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне а
2. $S={a·b·sinα}/{2}$, где $a, b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
3. $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
4. $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности
5. Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
В основании лежит четырехугольник
Прямоугольник
$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.
Ромб
$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба
$S=a^2·sinα$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.
Трапеция
$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.
Площади правильных многоугольников:
1. Для равностороннего треугольника $S={a^{2}√3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.
2. Квадрат
$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
3. Правильный шестиугольник
Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:
$S=6·S_{треугольника}={6·a^{2}√3}/{4}={3·a^{2}√3}/{2}$, где $а$ — сторона правильного шестиугольника.
Задание 13 Профильного ЕГЭ (Стереометрия) многие старшеклассники считают самой сложной задачей в варианте. И напрасно! Ничего особенного в ней нет. Просто начинать надо вовремя, лучше всего в десятом классе. И конечно, не с самых сложных задач. Действуем по порядку!
1. Подготовительный этап — решение задач по стереометрии из первой части ЕГЭ. Повторите формулы объемов и площадей поверхности многогранников и тел вращения. Посмотрите, как решаются типовые задачи.
2. Повторите необходимую теорию. Вот краткая Программа по стереометрии. Проверьте себя. Все ли вы знаете? В освоении стереометрии вам поможет наш ЕГЭ-Справочник.
3. Посмотрите, как правильно строить чертежи.
4. Выучили теорию? Применяем на практике — строим сечения.
5. Решаем простые задачи по стереометрии. И после этого — переходим к реальным задачам ЕГЭ.
6. Задачи 13 по стереометрии из Профильного ЕГЭ по математике обычно относятся к одному из типов. Смотрите нашу Классификацию задач по стереометрии и методы их решения.
Вот примеры простых подготовительных задач по стереометрии:
1. Высота правильной треугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60 градусов. Найдите расстояние от вершины основания до плоскости противолежащей ей боковой грани.
Посмотреть решение
2. В правильной шестиугольной призме 
, все ребра которой равны 1, точка G — середина ребра 
Найдите угол между прямой АG и плоскостью 
Посмотреть решение
3. В правильной шестиугольной призме 
все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до плоскости 
Посмотреть решение
4. В основании прямой призмы 
лежит ромб. Найти угол между прямыми 
и 
Посмотреть решение
5. Точка E — середина ребра 
куба 
Найдите угол между прямыми 
и 
Посмотреть решение
6. В правильной треугольной призме 
, все рёбра которой равны 
. Найдите расстояние между прямыми 
и 
Посмотреть решение
7. Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 5. Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP.
Посмотреть решение
А теперь — реальные задачи по стереометрии, встретившиеся выпускникам на Профильном ЕГЭ по математике.
8. Точки М и N — середины ребер соответственно АВ и СD треугольной пирамиды АВСD, О — точка пересечения медиан грани АВС.
а) Докажите, что прямая DO проходит через середину отрезка MN.
б) Найдите угол между прямыми MN и ВС, если АВСD — правильный тетраэдр.
Посмотреть решение
9. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка 
, причём — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что 
а) Докажите, что угол между прямыми 
и 
равен 
б)Найдите объём цилиндра.
Посмотреть решение
10. В основании призмы 
лежит правильный треугольник, вершина проецируется в центр Q основания АВС.
а) Докажите, что плоскости 
и 
перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямой и плоскостью 
если боковое ребро призмы равно стороне основания.
Посмотреть решение
11. Сечением прямоугольного параллелепипеда 
плоскостью 
, содержащей прямую 
и параллельной прямой АС, является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями и 
, если 
Посмотреть решение
12. На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки М и N соответственно, причем 
Точки P и Q — середины ребер DA и DC соответственно.
а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости.
б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды.
Посмотреть решение
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 6, задача 14
7 лайфхаков для решения задач по стереометрии:
1. Задача по стереометрии не решается без хорошего чертежа! Чертеж строим по линейке, черной ручкой, на клетчатой бумаге, по правилам построения чертежей. На ЕГЭ можно и нужно пользоваться линейкой! А бланк будет в клеточку.
2. Все, что нужно, на чертеже должно быть хорошо видно! Если вам не понравился чертеж — не сидите над ним, бросьте и нарисуйте другой. Одного объемного чертежа будет недостаточно — понадобится один или несколько плоских.
3. Учимся записывать решение кратко. Вспомним основные обозначения
— точка M принадлежит плоскости АВС.
— прямые а и b пересекаются в точке О.
— прямые а и b параллельны.
— прямые а и b перпендикулярны.
4. Почти в каждой задаче по стереометрии встречаются «особенные треугольники»
Давайте вспомним:
— В прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза в 
раз больше катета.
— В треугольнике с углами 30, 60 и 90 градусов гипотенуза в 2 раза больше меньшего катета, а больший катет в раз больше меньшего.
5. Формула для площади прямоугольной проекции фигуры 
помогает найти угол между плоскостями. Здесь 
— угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.
6. Метод объемов помогает найти расстояние от точки до плоскости. Надо выбрать треугольную пирамиду, записать ее объем двумя способами и найти из полученного уравнения нужное расстояние.
7. Сначала изучаем «классику». После этого, если время есть, можно браться и за координатный метод
Почему именно в таком порядке?
Конечно, координатный метод удобен. Однако большинство задач по стереометрии из вариантов ЕГЭ «заточены» под классику.
И если в решении задачи координатным методом вы сделаете арифметическую ошибку — можете потерять все баллы. Эксперт не будет разбираться, правильно ли вы посчитали определитель или смешанное произведение векторов. Потому что эти темы не входят в школьную программу, и составители «конструировали» задачи по стереометрии так, чтобы они решались обычными, «классическими» способами.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задание 13 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
09.03.2023
Площадь поверхности – это суммарная площадь всех поверхностей, которые составляют объемную фигуру.
Призма
1. Призма — это многогранник, у которого две грани (основания) — равные (n)-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, остальные (n) граней (боковые) — параллелограммы. Призмы подразделяются на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон основания.
Высотой призмы называется перпендикуляр, опущенный из точки верхнего основания на плоскость нижнего.
2. Призма, у которой боковое ребро перпендикулярно основанию, называется прямой. Ее боковые грани — прямоугольники, и высота равна боковому ребру.
Прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник, называется правильной. Ее боковые грани, равные прямоугольники.
3. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей ее боковых граней: (S_{бок}= S_1+ S_2+…+ S_n).
Площадь поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей оснований: (S_{полн} = S_{бок}+ 2S_{осн}).
4. Объем произвольной призмы равен произведению площади основания на высоту: (V_{призмы}=S_{осн}cdot h).
Параллелепипед
5. Параллелепипедом называется призма, в основании которой лежит параллелограмм. Противоположные боковые грани параллелепипеда равны.
Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковое ребро перпендикулярно основанию.
Прямоугольный параллелепипед — это прямой параллелепипед, у которого в основании лежит прямоугольник.
Диагональ прямоугольного параллелепипеда выражается через его измерения (ширину, длину и высоту) формулой (d^2=a^2+b^2+c^2).
Куб — параллелепипед, у которого все грани квадраты. Диагональ куба с ребром (a): (d=asqrt{3}).
Пирамида
6. Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань (основание) — (n)—угольник, а остальные (n) граней (боковые) — треугольники с общей вершиной. Пирамиды подразделяются на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон основания.
Тетраэдер – другое название треугольной пирамиды.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на основание.
7. Пирамида называется правильной, если ее боковые ребра равны, а в основании лежит правильный многоугольник.
Основание высоты правильной пирамиды совпадает с центром ее основания, углы наклона боковых ребер к основанию равны, двугранные углы при основании равны, все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины к ребру основания.
8. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней: (S_{бок}= S_1+ S_2+…+ S_n).
Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания: (S_{полн} = S_{бок}+ S_{осн}).
9. Объем произвольной пирамиды равен произведению одной трети площади основания на высоту: (V=frac{1}{3} S_{осн}cdot h).
Сфера и шар
10. Сфера — это множество всех точек пространства, равноудаленных от данной точки, называемой центром сферы.
Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с точкой на сфере, или длина этого отрезка.
Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки на сфере.
Диаметр сферы — это хорда, которая проходит через центр сферы. Диаметр сферы равен двум радиусам сферы.
11. Площадь сферы находится по формуле: (S_{сф}=4πR^2).
12. Шаром называется часть пространства, ограниченная сферой, вместе с самой сферой и ее центром. Данная сфера называется поверхностью шара.
Сечение шара с радиусом (R) плоскостью, проходящей через центр шара, называется большим кругом шара. Радиус, хорда, диаметр шара те же, что и его сферы.
13. Объем шара находится по формуле (V_{шара}=frac{4}{3} πR^2).
Цилиндр
14. Цилиндром называется тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг прямой, проходящей через одну из его сторон.
Прямая вращения называется осью цилиндра.
Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами (2r) и (l), где (r) — радиус основания цилиндра, (l) — его образующая.
Образующая цилиндра — отрезок (обозначается (l) или (L)), перпендикулярный основаниям цилиндра и соединяющий точку окружности верхнего основания с точкой окружности нижнего основания.
Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований (обозначается (h) или (H)).
15. Площадь боковой поверхности цилиндра: (S_{бок}=2πrh); (S_{полн} = S_{бок}+ 2S_{осн}=2πrh+2πr^2).
16. Объем цилиндра (V_{цил}=S_{осн} h=πr^2 h).
Конус
17. Конусом называется тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, проходящей через один из его катетов.
Прямая вращения называется осью конуса.
Сечение конуса, проходящее через ось, называется осевым сечением. Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник со стороной основания (2r) боковой стороной (l), где (r) — радиус основания конуса, (l) — его образующая.
Вершина осевого сечения является вершиной конуса.
Образующая конуса (обозначается (l) или (L)) — отрезок, соединяющий вершину конуса и точку окружности основания.
Высотой конуса называется расстояние от вершины конуса до плоскости основания (обозначается (h) или (H)). Высота конуса равна высоте осевого сечения, опущенной на основание.
18. Площадь боковой поверхности конуса: (S_{бок кон}=πrl), (S_{кон}=S_{бок}+S_{осн}=πrl+2πr^2).
19. Объем конуса: (V_{кон}=frac{1}{3}S_{осн}h=frac{1}{3}πr^2 h).
Справочник с основными фактами стереометрии
2. Вникай в доказательства
Готовиться с нами — ЛЕГКО!
Эффективное решение существует!
Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия (планиметрия и стереометрия). Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями.
Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить, выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена.
После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.
({color{red}{textbf{Факт 1. Про параллельность прямых}}})
(bullet) Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
(bullet) Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.
(bullet) Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
(bullet) Если прямая (a) параллельна прямой (b), а та в свою очередь параллельна прямой (c), то (aparallel c).
(bullet) Пусть плоскость (alpha) и (beta) пересекаются по прямой (a), плоскости (beta) и (pi) пересекаются по прямой (b), плоскости (pi) и (alpha) пересекаются по прямой (p). Тогда если (aparallel
b), то (pparallel a) (или (pparallel b)):
({color{red}{textbf{Факт 2. Про параллельность прямой и плоскости}}})
(bullet) Существует три вида взаимного расположения прямой и плоскости:
1. прямая имеет с плоскостью две общие точки (то есть лежит в плоскости);
2. прямая имеет с плоскостью ровно одну общую точку (то есть пересекает плоскость);
3. прямая не имеет с плоскостью общих точек (то есть параллельна плоскости).
(bullet) Если прямая (a), не лежащая в плоскости (pi), параллельна некоторой прямой (p), лежащей в плоскости (pi), то она параллельна данной плоскости.
(bullet) Пусть прямая (p) параллельна плоскости (mu). Если плоскость (pi) проходит через прямую (p) и пересекает плоскость (mu), то линия пересечения плоскостей (pi) и (mu) — прямая (m) — параллельна прямой (p).
({color{red}{textbf{Факт 3. Про параллельность плоскостей}}})
(bullet) Если две плоскости не имеют общих точек, то они называются параллельными плоскостями.
(bullet) Если две пересекающиеся прямые из одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.
(bullet) Если две параллельные плоскости (alpha) и (beta) пересечены третьей плоскостью (gamma), то линии пересечения плоскостей также параллельны: [alphaparallel beta, alphacap gamma=a,
betacapgamma=b Longrightarrow aparallel b]
(bullet) Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны: [alphaparallel beta, aparallel b Longrightarrow
A_1B_1=A_2B_2]
({color{red}{textbf{Факт 4. Про скрещивающиеся прямые}}})
(bullet) Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
(bullet) Признак:
Пусть прямая (l) лежит в плоскости (lambda). Если прямая (s) пересекает плоскость (lambda) в точке (S), не лежащей на прямой (l), то прямые (l) и (s) скрещиваются.
(bullet) алгоритм нахождения угла между скрещивающимися прямыми (a) и (b):
Шаг 1. Через одну из двух скрещивающихся прямых (a) провести плоскость (pi) параллельно другой прямой (b). Как это сделать: проведем плоскость (beta) через прямую (b) так, чтобы она пересекала прямую (a) в точке (P); через точку (P) проведем прямую (pparallel b); тогда плоскость, проходящая через (a) и (p), и есть плоскость (pi).
Шаг 2. В плоскости (pi) найти угол между прямыми (a) и (p) ((pparallel b)). Угол между ними будет равен углу между скрещивающимися прямыми (a) и (b).
({color{red}{textbf{Факт 5. Про перпендикулярность прямой и плоскости}}})
(bullet) Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
(bullet) Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.
(bullet) Признак: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
({color{red}{textbf{Факт 6. Про расстояния}}})
(bullet) Для того, чтобы найти расстояние между параллельными прямыми, нужно из любой точки одной прямой опустить перпендикуляр на другую прямую. Длина перпендикуляра и есть расстояние между этими прямыми.
(bullet) Для того, чтобы найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой, нужно из любой точки прямой опустить перпендикуляр на эту плоскость. Длина перпендикуляра и есть расстояние между этими прямой и плоскостью.
(bullet) Для того, чтобы найти расстояние между параллельными плоскостями, нужно из любой точки одной плоскости опустить перпендикуляр к другой плоскости. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между параллельными плоскостями.
(bullet) алгоритм нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми (a) и (b):
Шаг 1. Через одну из двух скрещивающихся прямых (a) провести плоскость (pi) параллельно другой прямой (b). Как это сделать: проведем плоскость (beta) через прямую (b) так, чтобы она пересекала прямую (a) в точке (P); через точку (P) проведем прямую (pparallel b); тогда плоскость, проходящая через (a) и (p), и есть плоскость (pi).
Шаг 2. Найдите расстояние от любой точки прямой (b) до плоскости (pi). Это расстояние и есть расстояние между скрещивающимися прямыми (a) и (b).
({color{red}{textbf{Факт 7. Про теорему о трех перпендикулярах (ТТП)}}})
(bullet) Пусть (AH) – перпендикуляр к плоскости (beta). Пусть (AB, BH) – наклонная и ее проекция на плоскость (beta). Тогда прямая (x) в плоскости (beta) будет перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции: [begin{aligned}
&1. AHperp beta, ABperp xquad Rightarrowquad BHperp x\[2ex]
&2. AHperp beta, BHperp xquadRightarrowquad ABperp
xend{aligned}] 
Заметим, что прямая (x) необязательно должна проходить через точку (B). Если она не проходит через точку (B), то строится прямая (x’), проходящая через точку (B) и параллельная (x). Если, например, (x’perp BH), то и (xperp BH).
({color{red}{textbf{Факт 8. Про угол между прямой и плоскостью,
а также угол между плоскостями}}})
(bullet) Угол между наклонной прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Таким образом, данный угол принимает значения из промежутка ((0^circ;90^circ)).
Если прямая лежит в плоскости, то угол между ними считается равным (0^circ). Если прямая перпендикулярна плоскости, то, исходя из определения, угол между ними равен (90^circ).
(bullet) Чтобы найти угол между наклонной прямой и плоскостью, необходимо отметить некоторую точку (A) на этой прямой и провести перпендикуляр (AH) к плоскости. Если (B) – точка пересечения прямой с плоскостью, то (angle ABH) и есть искомый угол.
(bullet) Для того, чтобы найти угол между плоскостями (alpha) и (beta), можно действовать по следующему алгоритму:
Отметить произвольную точку (A) в плоскости (alpha).
Провести (AHperp h), где (h) — линия пересечения плоскостей.
Провести (AB) перпендикулярно плоскости (beta).
Тогда (AB) – перпендикуляр к плоскости (beta), (AH) – наклонная, следовательно, (HB) – проекция. Тогда по ТТП (HBperp h).
Следовательно, (angle AHB) — линейный угол двугранного угла между плоскостями. Градусная мера этого угла и есть градусная мера угла между плоскостями.
Заметим, что мы получили прямоугольный треугольник (triangle AHB) ((angle B=90^circ)). Как правило, находить (angle AHB) удобно из него.
({color{red}{textbf{Факт 9. Про перпендикулярность плоскостей}}})
(bullet) Признак: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. [aperp beta, ain alphaquadRightarrowquad alphaperp beta] 
(bullet) Заметим, что так как через прямую (a) можно провести бесконечное множество плоскостей, то существует бесконечное множество плоскостей, перпендикулярных (beta) (и проходящих через (a)).
Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, — на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.
Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?
- Потому что это расширяет кругозор. Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
- Потому что это развивает интеллект. Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.
Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Введение в стереометрию
Стереометрией называют раздел геометрии, в котором изучают свойства пространственных фигур. Простейшими фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость.
1. Свойства прямых и плоскостей
Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Две прямые в пространстве скрещиваются, если не существует такой плоскости, в которой они обе лежат.
Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой и носкости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
Плоскость и прямая, не принадлежащая плоскости, параллельны, если они не имеют общих точек.
Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-либо прямой, принадлежащей плоскости, то она параллельна и плоскости.
Свойства плоскости и прямой, параллельной плоскости:
1) если плоскость содержит прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой;
2) если через каждую из двух параллельных прямых проведены пересекающиеся плоскости, то линия их пересечения параллельна данным прямым.
Две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.
Признак параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
Свойства прямой, перпендикулярной плоскости.
1) если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости;
2) прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости.
Признак перпендикулярности плоскостей. Если плоскость содержит перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Прямая, пересекающая плоскость, но не перпендикулярная к ней, называется наклонной к плоскости.
Теорема о трех перпендикулярах. Для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна проекции этой наклонной на плоскость.
На рисунке 1 прямая b − наклонная к плоскости, прямая c — проекция этой наклонной на плоскость и поскольку а ┴ с, то a ┴ b
Углом между наклонной и плоскостью называется угол между наклонной и ее проекцией на плоскость. На рисунке 2 прямая b — наклонная к плоскости, прямая a — проекция этой наклонной на плоскость, α — угол между этой наклонной и плоскостью.
Двугранный угол образуется в результате пересечения двух плоскостей. Прямая, полученная в результате пересечения двух плоскостей, называется ребром двугранного угла. Две полуплоскости с общим ребром называются гранями двугранного угла.
Полуплоскость, граница которой совпадает с ребром двугранного угла и которая делит двугранный угол на два равных угла, называется биссекторной плоскостью.
Двугранный угол измеряется соответствующим линейным углом. Линейным углом двугранного угла называется угол между перпендикулярами, проведенными в каждой грани к ребру.
2. Призма
Многогранник, две грани которого равные n — угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней — параллелограммы, называется n-угольной призмой.
Два n — угольника являются основаниями призмы, параллелограммы — боковыми гранями. Стороны граней называются ребрами призмы, а концы ребер — вершинами призмы.
Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, заключенный между основаниями призмы.
Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины оснований, не лежащие в одной грани.
Прямой призмой называется призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований (рис. 3).
Наклонной призмой называется призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований (рис. 4).
Объем и площадь поверхности призмывысоты h находят по формулам:
Площадь боковой поверхности прямой призмы можно вычислить по формуле 
Объем и площадь поверхностинаклонной призмы (рис. 4) можно вычислить также иначе: где Δ PNK — сечение, перпендикулярное ребру l.
Правильной призмой называется прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.
Параллелепипедом называется призма, все грани которой — параллелограммы.
Прямым параллелепипедом называется параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны плоскостям оснований.
Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник.
Свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: d ² = a ² + b ² + c ², где a, b, c— длины ребер, выходящих из одной вершины, d — диагональ параллелепипеда (рис. 3).
Объем прямоугольного параллелепипеданаходят по формуле V = abc.
Кубом называется прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. Все грани куба — квадраты.
Объем, площадь поверхности и диагональ кубас ребромa находят по формулам:
3. Пирамида
Многогранник, одна грань которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники с общей вершиной, называется пирамидой. Многоугольник называется основанием пирамиды, а треугольники — боковыми гранями.
Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к плоскости основания.
Если все боковые ребра пирамиды равны или наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота опускается в центр описанной окружности.
Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом (двугранные углы при основании равны), то высота опускается в центр вписанной окружности.
Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а высота опускается в центр вписанной и описанной окружности многоугольника, лежащего в основании пирамиды. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины, называется апофемой.
Например, на рисунке 5 изображена правильная треугольная пирамида SABC (тетраэдр): AB = BC = AC = a, OD = r — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, OA = R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC, SO =h — высота
пирамиды, SD = l— апофема, 
— уголнаклона бокового
ребра SA к плоскости основания, 
— уголнаклонабоковой грани SBC к плоскости основания пирамиды.
Треугольная пирамида называется тетраэдром. Тетраэдр называется правильным, если все его ребра равны.
Объем пирамиды и площадь ее поверхностинаходят по формулам:
, где h — высота пирамиды.
Площадь боковой поверхности правильной пирамидынаходят по формуле 
, где 
— апофема пирамиды.
Усеченной пирамидой называется многогранник, вершинами которого служат вершины основания пирамиды и вершины её сечения плоскостью, параллельной основанию пирамиды. Основания усеченной пирамиды − подобные многоугольники.
Объем усеченной пирамидынаходят поформуле 
,где 
и 
— площади оснований, h — высота усеченной пирамиды.
4. Правильные многогранники
Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, у которого все грани − правильные многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.
Грани правильного многогранника могут быть или равносторонними треугольниками, или квадратами, или правильными пятиугольниками.
Если у правильного многогранника грани — правильные треугольники, то соответствующими многогранниками являются правильный тетраэдр (он имеет 4 грани), правильный октаэдр (он имеет 8 граней), правильный икосаэдр (он имеет 20 граней).
Если у правильного многогранника грани — квадраты, то многогранник называется кубом или гексаэдром (он имеет 6 граней).
Если у правильного многогранника грани — правильные пятиугольники, то многогранник называется додекаэдром (он имеет 12 граней).
5.Цилиндр
Цилиндром называется фигура, полученная в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.
На рисунке 6 прямая 
— ось вращения; 
— высота, l — образующая; ABCD— осевое сечение цилиндра, полученного вращением прямоугольник а 
вокруг стороны 
. Объем и площадь поверхности цилиндра находят по формулам: 
где R—радиус основания, h — высота, l — образующая цилиндра.
6.Конус
Конусом называется фигура, полученная в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. На рисунке 7 прямая OB — ось вращения; OB = h — высота, l — образующая; ΔABC — осевое сечение конуса, полученного вращением прямоугольного треугольника OBC вокруг катета OB.
Объем и площадь поверхности конусанаходят по формулам:
, где R — радиус основания, h — высота, l — образующая конуса.
Усеченным конусом называется часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, параллельным плоскости основания.
Площадь поверхности и объем усеченного конусанаходят по формулам:
, где 
и 
— радиусы оснований, h — высота усеченного конуса.
7.Сфера и шар
Сферой называется фигура, полученная в результате вращения полуокружности вокруг ее диаметра.
Площадь сферы радиуса R находят по формуле 
.
Шаром называется фигура, полученная вращением полукруга вокруг его диаметра.
Объем шара радиуса R находят по формуле 
.
Сечение шара плоскостью, проходящей через его центр, называется большим кругом.
Касательной плоскостью к сфере (шару) называется плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку. Эту точку называют точкой касания сферы и плоскости. Касательная плоскость перпендикулярна радиусу сферы в точке касания.
Сферическим (шаровым) сегментом называется часть сферы (шара), отсекаемая плоскостью. Высотой h шарового сегмента называется длина отрезка диаметра, перпендикулярного основанию шарового сегмента, расположенного между этим основанием и сферой (на рис. 8 AB = h).
Площадь сферической поверхности и объем шарового сегментанаходят по формулам:
где R — радиус шара; h — высота сегмента.
Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора вокруг одного из ограничивающих круговой сектор радиусов. Высотой шарового сектора называется высота части его сферической поверхности.
Объем шарового сектора находят по формуле:
где R — радиус шара; h — высота сегмента.
8.Комбинации многогранников и тел вращения
Многогранник и шар
Шар вписан в многогранник, если он касается всех граней многогранника.
Шар описан около многогранника, если все вершины многогранника лежат на поверхности шара.
Решение задач, как правило, необходимо начинать с определения расположения центра шара и радиуса шара.
В прямоугольном параллелепипеде с высотой h и диагональю d центром вписанного и описанного шара является точка пересечения диагоналей параллелепипеда; радиус вписанного шара находят по формуле 
, а радиусописанного шара — по формуле 
В произвольном многограннике центром шара, вписанного в многогранник, является точка пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника, а центром шара, описанного около многогранника, является точка пересечения всех плоскостей, проходящих через середины ребер многогранника и перпендикулярных им.
Комбинация тел вращения
Шар вписан в конус, если он касается основания конуса в его центре, а боковой поверхности — по окружности. Центр шара находится на оси конуса и равноудален от центра основания и образующей конуса.
Шар описан около конуса, если вершина и окружность основания конуса лежат на поверхности шара. Центр шара лежит на прямой, содержащей ось конуса, и равноудален от вершины и точек окружности основания конуса.
Шар вписан в цилиндр, если он касается оснований цилиндра в их центрах, а боковой поверхности цилиндра по большой окружности шара, параллельной основаниям. Центр шара лежит на середине оси цилиндра, а радиус шара находят по формуле 
, где h — высота цилиндра Шар описан около цилиндра, если окружности оснований цилиндра лежат на поверхности шара. Центр шара лежит на середине оси цилиндра, а радиус шара находят по формуле 
, где d — диагональ осевого сечения цилиндра.
Конус вписан в цилиндр, если основание конуса совпадает с одним из оснований цилиндра, а вершина конуса совпадает с центром другого основания цилиндра.
При решении задач целесообразно строить вспомогательное сечение, проходящее через ось цилиндра или конуса и центр шара. При этом в сечении цилиндра будет получаться прямоугольник, в сечении конуса — равнобедренный треугольник, в сечении шара — круг с радиусом, равным радиусу шара.
Задание ЕГЭ №13 (бывшая ЕГЭ №14) по стереометрии считается очень сложным на ЕГЭ. И многие за нее не берутся.
А зря!
Если проходить стереометрию от простого к сложному освоить стереометрию можно. В 2022 году за ЕГЭ №13 дают не 2, а целых 3 балла на ЕГЭ! И вы можете их получить.
Читайте эту статью, смотрите вебинары и решайте задачи вместе с Алексеем Шевчуком и вы полюбите стереометрию.
ЕГЭ 13 Стереометрия. Расстояние между точками и от точки до прямой
Расстояние между точками и от точки до прямой – это первое видео раздела “Стереометрия”, входящее в наш курс подготовки к ЕГЭ (о нем ниже).
В этом видео мы научимся “видеть” 3-мерное пространство и изображать 3-мерные объекты на бумаге (то есть на плоской поверхности).
Затем мы научимся двум основным вещам – находить расстояние между точками на таких рисунках, а также расстояние от точки до прямой.
На этих умениях строится всё дальнейшее изучение стереометрии. В общем это очень важное, базовое видео, с которого нужно начинать изучение стереометрии. Не перескакивайте, не пропускайте его!
Даже если вы знаете стереометрию, вы найдете для себя очень много полезного и нового в этом видео.
ЕГЭ 13 (14). Стереометрия. Разбор варианта профильного ЕГЭ 2020
Нужно великолепно знать основные теоремы планиметрии, уметь рассчитывать расстояния, площади и объемы плоских и объемных фигур.
Но самое сложное, нужно научиться строить доказательства с помощью этих теорем и правильно их записывать.
Давайте этим займемся.
- 00:00 Условие задачи
- 00:25 Как нарисовать шестиугольную пирамиду
- 05:52 Как подписать вершины пирамиды
- 06:24 Как исправить рисунок, если грани пирамиды сливаются
- 10:18 Доказательство пункта А
- 14:13 Запись доказательства пункта А
- 18:50 Доказательство (решение) пункта Б (Найти объем пирамиды)
- 23:45 Запись доказательства (решения) пункта Б
- 26:08 Найдем площадь основания пирамиды (чтобы найти объем) и запишем решение
- 29:18 Нахождение объема пирамиды
- 29:59 На что рекомендуем обратить внимание
Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+
Алексей Шевчук – ведущий мини-групп
математика, информатика, физика
+7 (905) 541-39-06 – WhatsApp/Телеграм для записи
alexei.shevchuk@youclever.org – email для записи
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж – c 2003 года;
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.