Как найти наименьшее значение функции на отрезке 11 задание егэ - ExamHelp.top

Всего: 638 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−4,5; 0].

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Всего: 638 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Задание 12.

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

Для этого мы следуем известному алгоритму:

1. Находим ОДЗ функции.

2. Находим производную функции

3. Приравниваем производную к нулю

4. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:

Если на промежутке I производная функции $f^{prime}(x)>0$ , то функция y=f(x) возрастает на этом промежутке.

Если на промежутке I производная функции $f^{prime}(x)<0$ , то функция y=f(x) убывает на этом промежутке.

5. Находим точки максимума и минимума функции.

В точке максимума функции производная меняет знак с «+» на «-«.

В точке минимума функции производная меняет знак с «-» на «+».

6. Находим значение функции в концах отрезка,

затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
или сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции

Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.

Рассмотрим функцию . График этой функции выглядит так:

В зависимости от того, на каком промежутке мы будем рассматривать функцию, алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения будет различным.

1. Рассмотрим функцию на отрезке

Функция возрастает на этом отрезке, поэтому наибольшее значение она будет принимать в правом конце отрезка: f(0) , а наименьшее — в левом: f(-1) .

2. Рассмотрим функцию на отрезке

Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в точке максимума f(0) , а наименьшее — в одном из концов отрезка, то есть надо найти значения f(-1) и f(1) и выбрать из них наименьшее.

3. Если мы рассмотрим функцию на отрезке , то чтобы найти наибольшее значение, нам нужно будет сравнить значения функции в точке максимума и в правом конце отрезка, то есть f(0) и f(2) .

Чтобы найти наименьшее значение функции, нам нужно будет сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, то есть f(4/3) и f(-1) .

Эти рассуждения очевидны, если перед глазами есть график функции. Но эскиз графика легко нарисовать, проведя исследование функции с помощью производной:

1. ОДЗ функции — множество действительных чисел.

2. $f^{prime}(x)=3x^2-4x$

3. , если x_1=0 или x_2=4/3

Нанесем корни производной на числовую ось и расставим знаки. Теперь поведение функции легко определить, и, следуя за стрелками, символизирующими возрастание — убывание, можно схематично изобразить ее график:

Рассмотрим несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике

1. Задание B15 (№ 26695)

Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

1. Функция определена при всех действительных значениях х

2. $y^{prime}= 15-3cosx$

cosx=5 Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.

y(0)=5

Ответ: 5.

2. Задание B15 (№ 26702)

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [].

1. ОДЗ функции

2. $y^{prime}=3/{cos^2{x}}-3$

Производная равна нулю при , однако, в этих точках она не меняет знак:

$0<cos^2{x}<=1$ , следовательно, $3/{cos^2{x}}>=3$ , значит, $3/{cos^2{x}}-3>=0$ , то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при x=0 .

Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:

$y^{prime}=3/{cos^2{x}}-3={3-3cos^2{x}}/{cos^2{x}}={3sin^2{x}}/{cos^2{x}}=3tg^2{x}>=0$

у(0)=5

Ответ: 5.

3. Задание B15 (№ 26708)

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [].

1. ОДЗ функции :

2. $y^{prime}=2/{cos^2{x}}-4$

3. $2/{cos^2{x}}-4=0$

$cos^2{x}=1/2$ ,

Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.

Промежутку принадлежат два числа: -{pi}/4 и {pi}/4

Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: $y^{prime}(0)=2/{cos^2(0)}-4=-2<0$ . При переходе через точки -{pi}/4 и {pi}/4 производная меняет знак.

Изобразим смену знаков производной функции на координатной прямой:

Очевидно, что точка является точкой минимума ( в ней производная меняет знак с «-» на «+»), и чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке , нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, .

Схитрим: так как результат должен быть целым числом, или конечной десятичной дробью, а таковым на является, следовательно подставим в уравнение функции

Ответ: -1

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать

Firefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник

В (11) задании ЕГЭ нужно уметь находить точки минимума и максимума функции, определять наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

За правильное выполнение задания даётся (1) первичный балл.

Пример:

найди точку минимума функции

y=(x+5)2(x−1)+7

Алгоритм выполнения задания

1. Определи тип задания:

найди точку максимума (минимума);
найди точку максимума (минимума) на отрезке;
найди максимальное (минимальное) значение функции;
найди максимальное (минимальное) значение функции на отрезке.

2. Вычисли производную (f’(x)).

3. Реши уравнение (f’(x)=0).

4. Выполни действия в соответствии с типом задания, сделай вывод.

5. Запиши в ответе значение, которое требуется найти.

Как решить задание из примера?

1. В задании нужно найти точку максимума.

2. Производная функции:

y′=2(x+5)(x−1)+x+52=(x+5)(2x−2+x+5)=3(x+5)(x+1).

3. Приравняем производную к нулю и найдём корни уравнения:

4. Найдём промежутки возрастания и убывания функции (рис. (1)). В точке (-1) функция меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.

Рис. (1). Промежутки возрастания и убывания функции

5. Запишем ответ (непосредственно в самом задании — без точки в конце).

Ответ: (-1).

Обрати внимание!

В заданиях «Как на ЕГЭ» ответы записывай в виде целого числа или десятичной дроби без пробелов и точки в конце.

Если получилась обыкновенная дробь и её нельзя перевести в конечную десятичную дробь — ищи ошибку в решении!

Источники:

Рис. 1. Промежутки возрастания и убывания функции. © ЯКласс.

Источник

Задача 1. Найдите точку максимума функции

Решение: + показать

Задача 2. Найдите точку минимума функции

Решение: + показать

Задача 3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Решение: + показать

Задача 4. Найдите наибольшее значение функции $y=2+9x-frac{x^3}{3}$ на отрезке

Решение: + показать

Задача 5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Решение: + показать

Задача 6. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Решение: + показать

Задача 7. Найдите точку максимума функции $y=6+12x-2x^{frac{3}{2}}.$

Решение: + показать

Задача 8. Найдите наибольшее значение функции $y=-frac{2}{3}xsqrt x+3x+8$ на отрезке

Решение: + показать

Задача 9. Найдите точку минимума функции $y=-frac{x^2+25}{x}$ .

Решение: + показать

Задача 10. Найдите наименьшее значение функции $y=frac{x^2+900}{x}$ на

Решение: + показать

Задача 11. Найдите точку максимума функции $y=frac{441}{x}+x+18.$

Решение: + показать

Задача 12. Найдите точку минимума функции $y=(3x^2-15x+15)e^{x-15}.$

Решение: + показать

Задача 13. Найдите точку максимума функции $y=(x+11)^2cdot e^{3-x}.$

Решение: + показать

Задача 14. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Решение: + показать

Задача 15. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Решение: + показать

Задача 16. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $[frac{1}{12};frac{5}{12}].$

Решение: + показать

Задача 17. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $[frac{3}{4};frac{5}{4}].$

Решение: + показать

Задача 18. Найдите наименьшее значение функции $y=e^{2x}-11e^x-1$ на отрезке .

Решение: + показать

Задача 19. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $[0;frac{pi}{2}].$

Решение: + показать

Задача 20. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $[-frac{pi}{3};frac{pi}{3}].$

Решение: + показать

Задача 21. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $[-frac{3pi}{2};0]$ .

Решение: + показать

Задача 22. Найдите наименьшее значение функции $y=4cosx+frac{15}{pi}x+9$ на отрезке $[-frac{2pi}{3};0].$

Решение: + показать

Задача 23. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $[0;frac{pi}{4}].$

Решение: + показать

Задача 24. Найдите точку минимума функции принадлежащую промежутку $(0;frac{pi}{2})$ .

Решение: + показать

* Замечание. Важно!

Не следует считать (могло сложиться такое мнение при разборе примеров выше), что наименьшее (наибольшее) значение функции на отрезке совпадает с минимумом (максимумом) на отрезке!

Например, на рисунке ниже наименьшее значение функции на отрезке достигается на конце отрезка , а именно, в точке .

То есть, вообще говоря, при нахождении наименьшего значения функции на отрезке следует выбрать наименьшую из величин:

1) $y(x_{min})$ (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка

2) ,

При нахождении наибольшего значения функции на отрезке следует выбрать большую из величин:

1) $y(x_{max})$ (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка

2) ,

Но, если, например, на рассматриваемом отрезке функция имеет только один экстремум – минимум и мы ищем наименьшее значение, то отпадает необходимость находить значения функции на концах отрезка.

Аналогично в случае с нахождением наибольшего значения функции на отрезке, на котором содержится только один экстремум – максимум.

В случае же, когда на отрезке рассматриваемом функция не имеет экстремумов, то для нахождения наибольшего/наименьшего значений требуется лишь сравнить эти самые значения функции на концах отрезка и взять наибольшее/наименьшее из них.

Вы можете пройти тест “Исследование функции при помощи производной”

Источник

В этой статье мы разберём нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, интервале, в
бесконечности, а также повторим основные свойства функции и связанные термины.

Что такое функция

Наш мир — это огромная коллекция взаимосвязей, которые порой явно, а порой невидимо влияют на всех, кто в них
участвует. Ваше настроение может влиять на успеваемость в школе, питание — на спортивные достижения, навыки — на
возможность поступить в университет. В физическом мире температура влияет на скорость протекания процесса,
плотность тела — на его способность к плаванию в воде, угол падения лучей — на то, каким образом они будут преломляться, пройдя
через прозрачную призму.

Некоторые из этих взаимоотношений можно описать математически: обозначить участников буквами латинского алфавита и
описать их взаимосвязь через математические действия и знаки.

Функция — это правило, формула или выражение, которое описывает взаимосвязь двух величин.

Как описать зависимость пройденного пути от времени?

Есть ли правило, которое описывает отношение ускорения тела и силы, приложенной к нему? Да:

А что, если нужно вычислить зависимость остатка денег от количества купленных товаров? Пожалуйста:

, где

— остаток денег,

— исходная сумма,

— количество товара,

— стоимость товара за одну единицу.

В каждом из этих выражений есть зависимая и независимая переменные. Зависимая переменная — это и есть функция, а
независимая — аргумент. Так, в нашем последнем примере стоимость товара за одну его единицу
является независимой переменной (цену назначил продавец, и мы на это повлиять никак не можем). Зато остаток в
кошельке поддаётся изменениям — чем меньше мы купим товара, тем больше останется денег. И так в любой зависимости!

Обратите внимание

Зависимая переменная стоит слева от знака «равно» и определяется через выражение, содержащее аргумент.

Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Графическое задание функции

Представьте, что для школьной научной конференции вы готовите доклад о загрязнении окружающей среды. Как вы
думаете, что произведёт больший эффект на аудиторию:

перечисление статистических данных об увеличении количества мусора за последний год;
наглядная демонстрация роста загрязнений в виде графика?

Верно — иллюстрации, фотографии, графики и диаграммы говорят порой громче любых слов! 📈

Для наглядного отображения зависимости одной переменной от другой мы введём систему координат, в которой построим график.
График — это прямая, кривая или ломаная линия, которая была построена чётко по уравнению
(функции).

Как мы уже говорили, функция состоит из зависимой и независимой переменной. В декартовой системе координат
независимая переменная отображается с помощью оси

зависимая — с помощью оси

В зависимости от типа функции график может выглядеть, например, так:

Наибольшее и наименьшее значение функции

На уроках алгебры учитель просит определить наибольшее и наименьшее значение функции. Что он имеет в виду?

Чтобы найти наименьшее или наибольшее значение функции, необходимо понять, какое наименьшее или наибольшее
численное значение принимает

— зависимая переменная.

Наибольшее значение функции

на некотором промежутке

— это значение

которое при любом значении

делает справедливым неравенство

Теперь расшифровка! 😅 Если на данном интервале значение

больше, чем значение

в окрестностях точки

то такой

будет считаться наибольшим значением на данном промежутке.

Наименьшее значение функции

на некотором промежутке

— это значение

которое при любом значении

делает справедливым неравенство

Если на данном интервале значение

меньше, чем значение

в окрестностях точки

то такой

будет считаться наименьшим значением на данном промежутке.

Наибольшее и наименьшее значение функции на графиках

Самый простой способ определить

— рассмотреть график.

Если заданный интервал представлен прямой:

при возрастающей функции: наименьшее значение функция примет при наименьшем аргументе и наоборот, наибольшее
значение функции будет соответствовать наибольшему значению аргумента;
при убывающей функции: наименьшее значение функция примет при наибольшем аргументе и наоборот, наибольшее
значение функции будет соответствовать наименьшему значению аргумента.

Если заданный интервал представлен кривой:

максимальное значение функции выглядит как вершина горы, возвышенности, тогда как минимальное значение мы
можем определить как самую низкую точку относительно этого пика;
минимальное значение функции выглядит как дно низины, оврага, тогда как максимальное значение мы можем
определить как самую высокую точку относительно этого пика.

Возможен и такой вариант, когда горы и овраги встречаются на одном промежутке — тогда мы просто объединяем оба
пункта для нахождения

Помним главное правило: максимальное значение функции всегда представлено самой
высокой точкой относительно оси

минимальное значение функции — самой низкой точкой.

Определение наименьшего и наибольшего значения через производную

Удобен ли способ нахождения

через график? Определённо!
Всегда ли его можно использовать? К сожалению, нет.

Дело в том, что большинство заданий в алгебре на эту тему даются не через график, а через уравнение функции.
Зачастую эти функции сложные, и построение их графиков займёт время. Ошибётесь в построении — допустите ошибку и в
нахождении максимального и минимального значения, а нам это не нужно.

Способ, который не уступает первому в простоте и лаконичности, заключается в определении производной функции и
поиске стационарных точек. Кажется, нам встретились два новых термина — давайте их разберём.

Производная функции — это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно
малом приращении аргумента.

Производная функции показывает, как быстро увеличивается функция

при бесконечно малом увеличении

По сути, найти производную означает провести определённые действия с помощью таблицы производных
функций. Обязательно загляните в нашу статью об этом и изучите материал, а мы пока пойдём дальше.

Стационарная точка — точка, в которой значение аргумента производной функции равно нулю.

Дело в том, что по теореме Ферма в стационарных точках определяется экстремум функции, поэтому можно сделать
вывод, что на некотором промежутке в них можно определить и наибольшее/наименьшее значение функции.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке

Как определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

Найдём область определения данной функции и проверим, входит ли в неё заданный отрезок.
Найдём производную данной функции.
Приравняем производную к нулю и найдём точки, в которых она обращается в нуль (решим уравнение).
Выберем из корней уравнения те точки, которые попадают в заданный промежуток, и вычислим значение функции в
них.
Возьмём точки начала и конца отрезка и найдём значение функции в них.
Сделаем вывод о наибольшем и наименьшем значении функции.

Разберём пару примеров.

Задача 1

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции

на отрезке

Решение:

ОДЗ:
не попадает в промежуток

Найдём значение функции только в крайних точках:
Тогда

является наименьшим значением на данном отрезке, а

наибольшим.

Задача 2

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции

на отрезке

Решение:

ОДЗ:
, но в таком случае знаменатель равен нулю, что невозможно. А значит, производная
не обращается в нуль, стационарных точек нет.
Найдём значение функции в крайних точках отрезка:

— точка максимума на промежутке;

— точка минимума на промежутке.

Наименьшее и наибольшее значение функции на открытом или бесконечном интервале

В чём отличие отрезка от интервала? В отрезке определены крайние точки, в интервале же крайние точки могут не
существовать (например

), или значение функции в них мы рассматривать не будем (на интервале

мы рассмотрим значение функции в окрестностях этих точек, но не в них самих).

Вариантов задания интервала может быть множество, но каждый из них сведёт определение

к поиску производной и вычислению пределов в крайних точках, например

Вернёмся на пару шагов назад. А что такое предел функции?

Если говорить коротко, то предел функции — это такое число

, к которому функция стремится, в то время как аргумент стремится достичь числа

Предположим, наша функция представлена уравнением

Найдём предел функции при

подставив это значение вместо

в уравнение:

Это означает, что функция стремится приблизиться к числу

в то время как аргумент тоже приближается к этому значению. В отрыве от настоящего
уравнения мы могли бы представить это так:

Функция может стремиться не только к рациональному
числу, но также и к бесконечности. В таком случае при подстановке бесконечности в функцию возникает
неопределённость, которую необходимо решить разными методами.

В рамках этой статьи мы не можем посвятить этому много времени, поэтому ждём Вас на курсах математики в онлайн-школе
Skysmart — там ни один предел не останется незамеченным. 😉

Вернёмся к функции! Итак, как же определить наибольшее и наименьшее значение на интервале?

Найдём область определения данной функции и проверим, входит ли в неё заданный интервал.
Найдём производную данной функции.
Приравняем производную к нулю и найдём точки, в которых она обращается в нуль (решим уравнение).
Выберем из корней уравнения те точки, которые попадают в заданный промежуток, и вычислим значение функции в
них.
Возьмём крайние точки интервала и вычислим значение предела в этих точках (согласно типу интервала).
Сделаем вывод о наибольшем и наименьшем значении функции.

Для вычисления предела вам поможет сводная таблица, которая учитывает вид интервала:

Если при вычислении одностороннего предела вы получаете бесконечность, то вычислить наибольшее/наименьшее
значение невозможно.

Задача 3

Необходимо найти наибольшее и наименьшее значение функции

на всём промежутке области определения.

Решение:

ОДЗ:
Найдём стационарные точки:
Точка

входит в промежуток области определения и является точкой минимума.
Так как

— парабола, ветви которой направлены вверх, мы не можем определить точку
максимума.

Cегодня мы на славу потрудились и разобрали множество важных вопросов:

что такое функция, какой она бывает;
что такое наименьшее и наибольшее значение функции;
как определить

и

на отрезке;
как находить наименьшее и наибольшее значение функции на интервале;
что такое предел и производная.

Вот и ещё одна тема по математике стала понятнее! А если всё же остались вопросы, спешим ещё раз пригласить вас на уроки математики в Skysmart — мы постараемся ответить на них, закрепить материал и попрактиковаться в решении задач. Обещаем, будет увлекательно и безумно интересно!

Источник

Решение заданий ЕГЭ по теме: «Наибольшее и наименьшее значения функции» Задание 11 ЕГЭ 2022 по математике профильного уровня.

→ скачать презентацию

Для выполнения задания 11 необходимо уметь выполнять действия с функциями

Примеры заданий:

Задание №1. Найдите точку минимума функции y=x³-9x²+12.

Задание №2. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 =𝑥³/4− 27𝑥 + 11 на отрезке −[8; 0].

Задание № 3. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = (𝑥 + 9)² ⋅ (𝑥 − 5) − 5 на отрезке [−19; −5] .

Основные понятия

Точка минимума — такая точка x₀, если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)>f(x₀)

Минимум функции — значение функции в точке минимума x₀

Точка максимума — такая точка x₀ , если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)<f(x₀)

Максимум функции — значение функции в точке максимума x₀

Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.
Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Экстремумы могут существовать только в критических точках. Однако, не все критические точки являются экстремумами.

Теорема (достаточный признак существования экстремума функции).

Критическая точка x₀ является точкой экстремума функции f(x), если при переходе через эту точку производная функции меняет знак, причём, если знак меняется с «плюса» на «минус», то точкой максимума, а если с «минуса» на «плюс», то точкой минимума.

Связанные страницы:

Источник

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 10 минут. Уровень сложности: повышенный.
Средний процент выполнения: 60.8%
Ответом к заданию 11 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.

Разбор сложных заданий в тг-канале