Мотивация
Если вы откроете список всех задач по Планиметрии №16, которые встречались на ЕГЭ по Профилю за всё время его существования, вы удивитесь тому, как сильно она усложнилась, и на сегодняшний день на этой позиции стоит достаточно содержательная геометрическая задача с действительно порой навороченными конструкциями, которые вводят в ступор, начинающих её решать школьников. Всё это еще приправлено тем, что из года в год, на фоне эволюции этой задачи, или из-за этого, процент учеников школ решающих геометрию в ЕГЭ весьма низкий:
Хуже решается только задача по Стереометрии №13. Отсюда комом накатывается мнение, что «№16 решать дано не всем», «лучше меньше баллов, зато точно решу №12», «я нарисовал треугольник, а что делать не вижу дальше» и куча других деструктивных мыслей, которые точно не помогают вам в подготовке к ЕГЭ. По факту, из моего личного опыта, задачи по Геометрии что в ЕГЭ, что в ОГЭ, очень плохо решаются в силу отсутствия какого-то четкого алгоритма действий(как это есть в параметрах, уравнениях и неравенствах, финансовой математике), которые бы точно приводили к конкретным результатам — делай раз, делай два…
Всё правда, нам нужен не просто набор теории и формул с фактами, этого недостаточно. Нам нужна практика, опыт решения задач и стараться чувствовать эту логику при решении задач. И тут я не открою странных лайфхаков, секретных методик, будистких тайн и введьминых приколов. Будем честны, нужно время, конкретная структура и понятный набор ресурсов.
В рамках этой статьи я вложу весь свой преподавательский опыт и свои знания, как человека, который не перестаёт учиться и осваивать новые знания, чтобы помочь вам забрать на экзамене баллы за одну из самых сложных задач.
Начинаем с азов
Давайте представим, что ваша задача поднять с нуля ваши знания по геометрии на приемлемый для ЕГЭ и выше уровень. Нам не обойтись без основ и фундамента, с которым вы встречались со времен 7 класса. Что делаем? Берем учебник Атанасяна, и тут у многих расширятся зрачки и волна ужаса пройдет ледяной лавиной от бровей до мизинцев. На самом деле прошу не пугаться, нам нужен какой-то подробный школьный учебник, в котором будет изложена вся структурированная теория, необходимая и та, что мы можем применять для решения задач. Если у вас есть альтернативный — без проблем, используйте его.
Схема работы следующая: открываем со второй главы и для каждого параграфа нас будут интересовать все доказанные теоремы, а вернее не просто сухой факт, а то откуда он берется и как его доказать. Сначала пробуем сами как-то к этому придти, если не получается, то смотрим на то, какое доказательство приводит автор.
Важно! Мы не сидим тупо перед книжкой, развивая геморрой, мы берем ручку и листочек, и сидим выписываем, конспектируем и пробуем доказывать все указанные теоремы. А после просматриваем задачи в конце, решать все не нужно, только те, которые вам покажутся реально сложными и с наскока не понятными как решать.
Что нам это даст? Мы учимся воспринимать конструкции, понимать логику построения доказательства в геометрии того или иного утверждения, а также мы сами того не подозревая запоминаем всю нужную информацию, которую мы будем применять позже для решения задач №16 на ЕГЭ!
Подумайте сами, математика — это про структуру, логику, и сколько вам нужно времени чтобы зазубрить строчку предложения? 5 ? 10 минут? А на сколько вас хватит держать это всё в голове? Вы забудете при первой же возможности. Нам нужна логика доказательства этого факта, благодаря которой наш мозг будет обучаться новому подходу в мышлении и все что связанно с геометрическими фактами вы запомните намного лучше, если будете реально пытаться доказать простейшие факты из учебника. А также на самом экзамене, уровень стресса которого пробивает все возможные значения, вы будете 100% уверены, что используемый вами факт при решении задачи не вымысел возбужденного воображения.
Сколько нужно на это времени? Если идти со скоростью две главы в день, то около недели.
Как закрепить полученный результат на практике?
Теперь, друг, ты — мощь и сила! Но без практики нам не обойтись поэтому все полученные навыки начинаем применять для решения конкретных задач. Тут нам поможет книга Гордина «Планиметрия».
Схема работы с ней следующая: можете кратко просмотреть задачи данные в качестве разобранных в начале каждой главы, попробовать решить самостоятельно и потом сравнить с данным решением. Далее, переходим на отработку задач первого уровня, тут прям всё решать нет большого смысла, хоть и страшно полезно, но в режиме ограниченного времени сразу смотрим на задачи второго уровня и пытаемся прорешать максимальное количество в каждом разделе. После того как разобрались со вторым уровнем стараемся решить задачи из третьего, но тут уже можно прыгать с задачи на задачу, так как местами именно в третий уровень уже включены задачи чуть сложнее ЕГЭ. И ещё: главы про симметрии, вектора, координаты и повороты можете пропускать, если чувствуете нехватку сил, времени и вдохновения.
Кабанеем
Если со всем предыдущими пунктами справились — Glückwünsch! Поздравляю! У нас как раз есть время чтобы порешать сложные задачи и разобрать другие методы для планиметрии Прасолова. Это поможет вам разобраться с самыми разнообразными методами, которые могут повстречаться вам при решении геометрических задач. Плюс, будет реально посмотреть эту книгу и книгу Ткачука при подготовке уже к ДВИ МГУ, но это совсем другая история))
Уровень: Убийца планиметрии
На этом мы выходим на финальный этап и раз наша цель именно ЕГЭ, то дальше делаем следующее:
Открываем все задачи ЕГЭ с 2014 года и планомерно их прорешиваем. Такая процедура даст нам понимание того, что такое реальные ЕГЭшные задачи, а не Статград, от которого порой хочется сбежать. Плюс нарабатывается навык решения задачи за ограниченное время и правильное оформление всего что вы нарешали.
На этом всё?
На этом этапе я всегда даю себе время на подумать, потому что хочется что-то ещё добавить и впихнуть максимальное количество пользы. Но в данном случае, я в одной статье уместил годы опыта и сотни учеников. Схема рабочая, пользуйтесь.
Всегда рад отзывам и комментариям!
С Пламенной любовью,
Никита Салливан из Умскул.
Как подготовиться к решению заданий ЕГЭ № 16 по планиметрии | 1С:Репетитор
Задача № 16 по планиметрии, которую включает вариант КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня, – объективно одна из самых трудных, если не самая сложная для абитуриентов. Дело в том, что в обычной (не профильной или специализированной) школе планиметрию изучают только в 7–9-х классах, на эту дисциплину отводится два урока в неделю, что совершенно недостаточно для того, чтобы хорошо изучить свойства фигур планиметрии и научиться применять их при решении задач. Кроме того, каждая задача по геометрии уникальна по своему содержанию, поэтому для решения таких задач практически неприменим алгоритмический подход, который является весьма успешным при решении задач по алгебре, в результате многие школьники даже не пытаются решать геометрические задачи. Все это приводит к тому, что и сравнительно несложная задача по планиметрии становится непосильной для выпускников школ.
Ситуацию можно исправить, но потребуется немало сил и времени и, конечно, хорошая методика подготовки. Наша методика основана на концепции известного отечественного методолога и методиста, специалиста по преподаванию геометрии И.Ф. Шарыгина. Суть концепции, которую сам автор называл «геометрией фигуры», заключается в том, что в учебных материалах последовательно разбираются свойства геометрических фигур и их элементов (замечательных линий и точек), начиная от прямоугольного треугольника и заканчивая комбинациями многоугольников и окружностей, причем внимание акцентируется именно на решении задач.
Конечно, для решения геометрических задач большое значение имеет хорошее знание теории, поэтому в наших материалах много кратких видеолекций, суммирующих необходимые теоретические знания . Обучая теории, мы сразу же разбираем опорные задачи, в которых она применяется, осваиваем специальные приемы решения задач – например метод проекций, метод площадей, метод вспомогательной окружности и т. д.
После изучения теории нужно браться за самостоятельное решение задач. При этом можно выбрать приемлемую траекторию продвижения по системе задач. Для менее подготовленных школьников мы рекомендуем решать задачи «по фигурам», то есть в следующем порядке.
Сначала – прямоугольный треугольник, медиана в прямоугольном треугольнике, биссектриса в прямоугольном треугольнике, высота в прямоугольном треугольнике . Затем переходим к равнобедренному и произвольному треугольникам, параллелограмму, трапеции и т. д.
Для более сильных школьников предлагается другой путь – систематизация и обобщение свойств геометрических фигур и их элементов.
Прямоугольный треугольник, произвольный треугольник (теорема синусов, теорема косинусов, площади), медиана в прямоугольном треугольнике, медиана в равнобедренном и произвольном треугольнике и т. д.
Описанный подход позволяет нашим ученикам актуализировать свои школьные знания, обобщить и углубить их, систематически сочетая изучение теории с практикой ее применения. Большую помощь в решении задач оказывают пошаговые тренажеры: в геометрической задаче, ход решения которой может быть неочевиден с самого начала, тренажер позволяет сориентироваться в шагах решения, проверить промежуточные вычисления на каждом шаге и обосновать сами шаги нужной теоремой или свойством.
После такой подготовки задачи по планиметрии варианта КИМ ЕГЭ покажутся и не такими уж сложными. Посмотрим, например, как можно «раскусить» следующую довольно непростую, но в то же время изящную задачу, предлагавшуюся на экзамене в 2016–2017 годах.
Пример задачи № 16 по планиметрии:
Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что ∠BAC =∠OBC +∠OCB.
Чертеж 1
- Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.
- Найдите угол OIH, если ∠ABC =55°.
Ответ: 175°.
Решение:
- Посмотрим на чертеж. Если нам предлагают доказать, что четыре точки лежат на одной окружности, то согласно теореме об угле, вписанном в окружность, и следствиям из нее, нужно либо поискать на чертеже 1 равные углы, опирающиеся на один и тот же отрезок (хорду) и расположенные по одну сторону от него, либо углы, сумма которых равна 180° и которые также опираются на один и тот же отрезок, но расположены по разные стороны от него. В нашем случае подходит первый вариант.
- Итак, во-первых, по теореме об угле, вписанном в окружность, ∠BAC =∠OBC +∠OCB=12∠BOC,
но ∠OBC +∠OCB+∠BOC=180°,
то есть ∠BOC+12∠BOC=180°⇔∠BOC=120°⇒∠BAC=60°
- Во-вторых, находим угол между двумя биссектрисами. В нашем случае ∠BIC=90°+12∠BAC=120°.
Этот факт мы доказываем в своем курсе, чтобы на экзамене вы могли без труда им воспользоваться. - Прежде всего найдем все углы треугольника ABC: ∠BAC =60°, ∠ABC =55°, ∠ACB =65°.
- Затем подумаем вот о чем: а не лежит ли точка H на окружности, описанной около треугольника BOC? И это действительно так: обсуждая в нашем курсе свойства высот треугольника, мы обращаем внимание учащихся на тот факт, что угол между высотами – в данном случае ∠BHC =180°-∠BAC=120°, то есть наша догадка верна.
- Теперь осталось правильно расположить точки B, H, I,O, C на окружности (чертеж 2) и вычислить угол OIH. Например, так:
∠OIH=180°-∠HCO,
∠HBO=∠HCB-∠OCB,
∠HCB=90°-∠ABC=35°,
∠OCB=30° ⇒ ∠HBO= ∠HCB — ∠OCB =5° ⇒ ∠OIH=175° — Вот и ответ.
Итого, ∠BOC=∠BIC=120°, следовательно точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.
Оценить свои стартовые знания по планиметрии вы можете с помощью заданий с кратким ответом: №3 и №6 . Если возникнут затруднения, воспользуйтесь подсказками: они помогут справиться с решением. Если же эти задачи вы решаете легко, то приступайте к более сложным (и более увлекательным) задачам по планиметрии.
Регулярно тренируйтесь в решении задач
Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно зарегистрироваться.
Вы можете:
- Начать заниматься бесплатно.
- Получить доступ ко всей теории и тренажерам задачи №16. Это стоит всего 990 рублей.
- Купить доступ к этой задаче в составе экспресс-курса «Геометрия» и научиться решать задачи №14 и №16 на максимальный балл.
Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.
Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.
Здесь ключевые фразы, чтобы поисковые роботы лучше находили наши советы:
Как решать задание 16 на экзамене ЕГЭ, задачи по планиметрии, решение задач, по планиметрии, методы решения задач, теория по теме «Планиметрия, часть С», пробники ЕГЭ, а основе экзаменов прошлых лет просмотреть, подготовка к ЕГЭ 2018, учимся решать задачи по планиметрии, Планиметрические задачи профильного ЕГЭ, Решение задач по планиметрии, тесты по планиметрии, примеры и решения заданий по теме планиметрии, задачи сопровождаются подробными пояснениями и чертежами, задачи на нахождение углов и радиусов, треугольник, трапеция, параллелограмм, квадрат, ромб, прямоугольник, примеры решения задач ЕГЭ по геометрии, Видеокурс по решению задач по планиметрии, какого радиуса должна быть окружность, тесты для подготовки и самоподготовки к ЕГЭ, КИМ ЕГЭ 2017, подготовка к ЕГЭ, профиль математика, математика профильного уровня, задачи ЕГЭ 2017 по стереометрии, подготовка к ЕГЭ, выпускникам 11 класса, в 2018 году, поступающим в технический вуз, материал для подготовки к ЕГЭ.
Планиметрия – профильный ЕГЭ по математике (оглавление)
Планиметрия плохо дается многим ученикам. На ЕГЭ эта задача №16 – одна из самых сложных задач и многие даже не пытаются за нее браться.
Весь секрет в том, что понимание планиметрии приходит не постепенно, а сразу. Вчера не получалось, а сегодня уже все понятно. Большинству просто не хватает терпения дойти до этого момента.
Надеемся, что ты не такой и не бросишь занятия на полпути. И вот тебе в помощь все, что нужно знать по планиметрии + несколько вебинаров для отработки навыков!
Планиметрия – часть 1. ЕГЭ №3 (бывшая №6)
Если вы плохо знаете планиметрию, начинайте с этой части и смотрите вебинар за вебинаром, ставьте на паузу и решайте задачи вместе с ведущим вебинаров Алексеем Шевчуком.
Помните, планиметрия требует нарешенности. Чтобы научиться решать любую задачу по планиметрии, нужно решать много задач.
Начните с самого начала.
Планиметрия – прямоугольный треугольник
Итак, прямоугольный треугольник, его свойства, площадь и углы прямоугольного треугольника, теорема Пифагора, тригонометрический функции острых углов, медиана и высота.
Планиметрия – равнобедренный треугольник и произвольный треугольник
В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ.
Очень часто все “проблемы” с решением задач на равнобедренный треугольник решаются построением высоты. Также мы научимся решать и “обычные” треугольники.
Убедимся в достоверности утверждении из прошлого урока о прямоугольных треугольниках – очень часто решение задач сводится к нескольким прямоугольным треугольникам.
Вписанная окружность
В этом видео мы узнаем, что такое вписанная окружность, где находится её центр, и другие ее свойства. В какие фигуры можно, а в какие нельзя вписать окружность.
Научимся решать задачи на вписанную окружность – очень важный навык в понимании планиметрии.
Описанная окружность. Многоугольники
Вы этом видео вы узнаете, что такое описанная окружность, где находится её центр, и другие свойства. Около каких фигур можно, а вокруг каких нельзя описать окружность.
Также мы узнаем, что такое правильные многоугольники, и какие у них свойства; как они связаны с описанной окружностью.
Научимся решать задачи из ЕГЭ на описанную окружность и правильные многоугольники.
Что приблизит нас к умению решать любые задачи по планиметрии.
Теорема косинусов и синусов
Универсальный инструмент при решении треугольников – это теоремы косинусов и синусов.
Они подходят для любых треугольников, а не только для прямых (как теорема Пифагора).
А как мы уже знаем, почти любая задача в планиметрии сводится именно к треугольникам.
На этом уроке мы выучим сами теоремы и научимся применять их при решении задач первой части.
Планиметрия – часть 2. ЕГЭ №16
Эта часть планиметрии – для продвинутых, для тех, кто уже хорошо усвоил планиметрию из первой части.
Принцип тот же – смотрите вебинар за вебинаром и, самое главное, ставьте на паузу и решайте задачи.
Планиметрия. Подобие треугольников. Задачи на доказательство. ЕГЭ №16
Подобие треугольников. Это одна из самых сложных задачи планиметрии в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников!
Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства.
Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.
В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.
Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.
Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач.
Метод вспомогательной окружности. Из реального ЕГЭ 2016 года
Метод вспомогательной окружности – это очень классный метод, используемый в планиметрии но, к сожалению, он не всегда очевиден. Иногда в задаче нет даже намёка ни на какие окружности, но тем не менее, если догадаться её на рисунке достроить, решение становится в разы проще!
Как минимум, сразу же становятся равными друг другу очень неочевидные углы – те, которые опираются на одну дугу, но без окружности увидеть это было бы нереально сложно. Либо произведения отрезков хорд равны друг другу.
Это очень крутой и удобный метод – но нужно понимать, в каких ситуациях он применяется, ведь далеко не всегда нужно на и без того сложный рисунок лепить ещё и окружность.
Теорема Менелая и Чевы. “Секретный” метод решения самой сложной задачи ЕГЭ по математике
Задача №16. Планиметрия. Одна из самых сложных задач на ЕГЭ. Редко кто (менее 1% учеников!) набирает полные баллы по ней и поэтому грех не воспользоваться шорткатами и лайфхаками, если они есть.
Теорема Менелая и Чевы – один из таких шорткатов. Эти теоремы не входят в стандартную школьную программу, но они невероятно мощный инструмент! Они могут очень-очень упростить решение и сами по себе они красивые и легко запоминаются.
Итак, смотрите видео, учите теорему Менелая и Чевы, используйте ее на ЕГЭ.
Теорема Менелая и Чевы — её уже запретили, наконец, или нет?
Каждый год начинают ходить слухи, что теоремами Менелая и Чевы В ЭТОМ ГОДУ НЕЛЬЗЯ будет пользоваться на ЕГЭ. Правда ли это? Чтобы понять это, достаточно заглянуть в обычный…
Впрочем, смотрите это видео и узнаете, как понять, какими теоремами можно, а какими нельзя пользоваться. А также, на этом вебе мы разберём, что это за теоремы такие, и как ими пользоваться.
Вы узнаете, насколько они крутые и мощные, и насколько экономят нам время в некоторых задачах.
Планиметрия Статград март 2021
Задача №16 из мартовского статграда на планиметрию ничем не удивляет: снова окружность и пропорциональные отрезки в ней, прямоугольные треугольники, вот это всё.
Скучно… Раз-два, и ответ готов!
Но погодите-ка, а почему у нас с вами ответ получился разный? И вроде бы оба делаем всё правильно…
На уроках нашего курса я рассказывал о таких задачах, но их уже давненько не попадалось на ЕГЭ, и все уж думали, что ушла эпоха. Конечно, никакого парадокса в этой задаче нет, нужно всего лишь (ха-ха) быть очень внимательными:)
Смотрите видео, и узнаете, в чём же особенность этой задачи, как её правильно решать и оформлять, а также – как ничего не упустить на экзамене и не потерять баллы!
Планиметрия. Окружности. Задача из олимпиады Физтеха 2020
Планиметрия и окружности! Куда же деться от них в 16 задаче на ЕГЭ?
Те, кто ходил на наш курс подготовки, посвященный 16 задаче, знают, что окружности в задачах на планиметрию попадаются чаще всего.
Иногда вписанные. Иногда описанные. С разными вписанными или описанными фигурами. Иногда одна окружность . Иногда две. Они касаются друг друга или пересекаются друг с другом. Никуда не деться от окружностей – остается только научится их решать и получать удовольствие от красивых задач!
В этом видео мы разберём, что бы вы думали? Задачу 16 из ЕГЭ?
Нет! Пойдём дальше – разберём задачу из олимпиады Физтеха прошлого года.
Стойте, не разбегайтесь! Олимпиады далеко не всегда бывают сложными (особенно, если вы прошли наш курс по 16-й задаче). Эта задача вполне себе ЕГЭ-шного уровня. Про окружности и прямоугольные треугольники.
Готовьтесь и “разминайте” свои теоремы Пифагора, теорему синусов и прочих косинусов.
Разбор задачи №16 (б) из реального варианта ЕГЭ 2021 по профильной математике
Продолжение предыдущего видео. Разбор части (б):
Теперь слово вам…
Как вам наш гид по планиметрии? Что нового вы узнали? Что еще хотите узнать?
Как вам теорема Менелая и Чевы? Один из моих знакомых сказал: “В школе ее от нас утаивали!”. Шутка, в которой есть доля… шутки.
Готовьтесь к планиметрии и забирайте свои 3 балла на ЕГЭ.
Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+
Алексей Шевчук – ведущий мини-групп
математика, информатика, физика
+7 (905) 541-39-06 – WhatsApp/Телеграм для записи
alexei.shevchuk@youclever.org – email для записи
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж – c 2003 года;
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.
Задание №6 профильного уровня ЕГЭ по математике — решение геометрических задач. В данном задании необходимо справиться с задачей по планиметрии на определение углов.
Немного стоит напомнить об углах в окружности, так как в задачах это достаточно популярная тематика.
Задание №6 ЕГЭ по математике профильного уровня
Разбор типовых вариантов заданий №6 ЕГЭ по математике профильного уровня
Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)
Алгоритм решения:
- Выполняем рисунок.
- Определяем вид угла.
- Применяем свойство вписанных углов и вычисляем искомый угол.
- Записываем ответ.
Решение:
- Выполняем рисунок.
- Угол, который нужно найти является центральным. Он опирается на ту же дугу, что и угол АВС.
- Вспомнить правило: «центральный угол в два раза больше вписанного, который опирается на ту же дугу».
- Вписанный угол АВС, согласно условию, равен 320. Тогда центральный угол BOC равен 320∙ 2 = 640
Ответ: 640.
Второй вариант задания
Алгоритм решения:
- Устанавливаем подобие треугольников.
- Используем свойство площадей подобных треугольников.
- Записываем ответ.
Решение:
- DE – средняя линия треугольника, следовательно, все стороны в треугольнике CDE меньше соответствующих сторон в треугольнике ABC. Это означает, что треугольники подобны, и коэффициент подобия равен 2.
- 158 / 4 = 38
Ответ: 38.
Третий вариант задания
Алгоритм решения:
- Отмечаем на рисунке углы, которые ланы в задаче.
- Используем свойство вписанных углов.
- Находим угол АВС.
- Записываем ответ.
Решение:
- Отмечаем углы ABD и CAD на рисунке. Эти углы вписаны в окружность.
- Воспользуемся свойством вписанных в окружность углов: они равны градусной меры дуги, на которую опираются. Тогда угол ABD, опирающийся на дугу AD. Градусная мера ее равна 360∙2=720, второй – угол CAD опирается на дугу CD с градусной мерой 520∙2=1040.
- Дуга AC=AD+CD. Она имеет градусную меру: АС=720+1040=1760, а угол АВС, который на нее опирается, определяется как половина величины дуги: 1760:2=880.
Ответ: 88.
Источник: https://spadilo.ru/zadanie-6-ege-po-matematike-profilnyj/
Планиметрия. Материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике
Знаете ли вы, что задание 16 Профильного ЕГЭ по математике в 2018 и 2019 годах было значительно проще, чем «параметры» или «экономическая» задача? Получается, те, кто не брался за планиметрию на ЕГЭ, добровольно отказались от трех первичных баллов, и кому-то не хватило их для поступления. Да, мы знаем, что в школе планиметрией занимаются мало.
Учим определения, формулы и теоремы. Вспоминаем, что такое синус и что такое косинус острого угла в прямоугольном треугольнике. Учим определения и свойства биссектрисы, медианы и высоты треугольника. И 5 (да, 5) формул площади треугольника. В общем, всё, что необходимо для решения заданий №3 и №6 первой части Профильного ЕГЭ по математике. До второй части и задачи 16 мы тоже дойдем!
Задание 16 из второй части ЕГЭ состоит из пунктов (а) и (б). Пункт (а) — это доказательство. Как правило, доказать нужно не самый тривиальный факт, и нужно уметь это делать. Докажите их все и проверьте, что у вас получилось. После этого вы сможете доказать любое утверждение, которое вам может встретиться на ЕГЭ в задаче 16.
Но это не всё. Знаете ли вы, что многие задачи 16 Профильного ЕГЭ строятся по одной из так называемых классических схем? И эти Классические схемы для решения задач по планиметрии (с доказательствами) надо знать.
А для тех, кому скучно на уроке, — два геометрических парадокса. Готовы ли вы поверить, что прямой угол равен тупому? И что катет равен гипотенузе? Попробуйте найти ошибку в этих «доказательствах».
И несколько полезных советов:
- Часто пункт (а) задачи 16 Профильного ЕГЭ содержит подсказку для решения пункта (б).
- Обратите внимание на теорему о секущей и касательной, а также на свойство биссектрисы. Их трудно найти в учебнике. А в задачах ЕГЭ они применяются постоянно.
- Старшеклассники очень любят теорему Фалеса. Но на самом деле применяется она очень редко. Намного чаще применяются три признака подобия треугольников.
- По двум углам,
- По углу и двум прилежащим к нему сторонам,
- По трем пропорциональным сторонам.
- Самое важное – правильная методика подготовки. Не нужно начинать с реальных задач ЕГЭ. Сначала – теория. Затем – доказательство полезных фактов и классических схем. И только после этого – задачи №16 Профильного ЕГЭ.
Источник: https://ege-study.ru/planimetriya/
Планиметрия (Геометрия на плоскости)
Основные теоретические сведения
Треугольник
При решении задач по геометрии помимо всех геометрических формул и свойств, которые будут приведены ниже, нужно очень хорошо помнить основные формулы по тригонометрии. Укажем для начала несколько основных свойств различных типов углов:
- Смежные углы в сумме равны 180 градусов.
- Вертикальные углы равны между собой.
Теперь перейдем к свойствам треугольника. Пусть имеется произвольный треугольник. Запомните, что сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны.
Свойства медиан:
- Все три медианы пересекаются в одной точке.
- Медианы делят треугольник на шесть треугольников одинаковой площади.
- В точке пересечения медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершин.
Важно знать: Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис (все три биссектрисы пересекаются в этой одной точке).
Основное свойство высот треугольника (высота в треугольнике — линия проходящая через некоторую вершину треугольника перпендикулярно противоположной стороне).
Все три высоты в треугольнике пересекаются в одной точке. Положение точки пересечения определяется типом треугольника:
- Если треугольник остроугольный, то точка пересечения высот находится внутри треугольника.
- В прямоугольном треугольнике высоты пересекаются в вершине прямого угла.
- Если треугольник тупоугольный, то точка пересечения высот находится за пределами треугольника.
Центр окружности описанной около треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров. Все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной этой точке. Серединный перпендикуляр — линия проведенная через середину стороны треугольника перпендикулярно ей.
Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т.п.) пропорциональны. Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.
Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Отношение длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Признаки подобия треугольников:
- По двум углам. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
- По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
- По трём сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.
Трапеция
Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.
Некоторые свойства трапеций:
- Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
- В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон находятся на одной прямой.
- Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника. Треугольники, сторонами которых являются основания — подобны, а треугольники, сторонами которых являются боковые стороны — равновелики.
- Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90 градусов, то отрезок соединяющий середины оснований равен полуразности оснований.
- У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
- У равнобедренной трапеции диагонали равны.
- В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований.
Параллелограмм
Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.
Некоторые свойства параллелограмма:
- Противоположные стороны параллелограмма равны.
- Противоположные углы параллелограмма равны.
- Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов.
- Сумма всех углов параллелограмма равна 360 градусов.
- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.
Квадрат
Квадрат — четырёхугольник, у которого все стороны равны, а все углы равны по 90 градусов.
Свойства квадрата – это все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника одновременно.
Ромб и прямоугольник
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойства ромба:
- Ромб является параллелограммом. Его противолежащие стороны попарно параллельны.
- Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.
- Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).
Свойства прямоугольника:
- Диагонали прямоугольника равны.
- Прямоугольник является параллелограммом — его противоположные стороны параллельны.
- Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
- Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его не противоположных сторон (по теореме Пифагора).
- Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.
Произвольные фигуры
Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:
- Сумма углов n-угольника:
- Центральный угол правильного n-угольника:
- Площадь правильного n-угольника:
Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?
Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:
- Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
- Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
- Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.
Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.
Источник: https://educon.by/index.php/materials/math/planimetria