Площадь боковой поверхности пирамиды решу егэ - ExamHelp.top

Поиск

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 59 1–20 | 21–40 | 41–59

Добавить в вариант

Площадь боковой поверхности пятиугольной пирамиды равна 13. Чему будет равна площадь боковой поверхности пирамиды, если все ее ребра уменьшить в 2 раза?

Источник: Добровольное тренировочное тестирование Санкт-Петербург 2013.

Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 60, боковые ребра равны 78. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды,  стороны основания которой равны 48 и высота равна 7.

Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды,  стороны основания которой равны 18 и высота равна 40.

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 48, боковые ребра равны 51. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Площадь поверхности тетраэдра равна 1,2. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 и высота равна 4.

Площадь поверхности тетраэдра равна 12. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 24 и высота равна 16.

Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 14 и высота равна 24.

Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?

Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 3 раза?

Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 40 раз?

В правильной треугольной пирамиде SABC точка R  — середина ребра BC, S  — вершина. Известно, что AB = 1, а SR = 2. Найдите площадь боковой поверхности.

В правильной треугольной пирамиде SABC точка N  — середина ребра BC, S  — вершина. Известно, что AB  =  1, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка SN.

В правильной треугольной пирамиде SABC точка L  — середина ребра BC, S  — вершина. Известно, что SL  =  2, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка AB.

Всего: 59 1–20 | 21–40 | 41–59

Источник

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 53 1–20 | 21–40 | 41–53

Добавить в вариант

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 24, боковые ребра равны 37. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 18, боковые ребра равны 41. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде SABC точка L  — середина ребра AB, S  — вершина. Известно, что BC  =  5, а площадь боковой поверхности равна 180. Найдите длину отрезка SL.

В правильной треугольной пирамиде SABC точка L  — середина ребра BC, S  — вершина. Известно, что SL  =  16, а площадь боковой поверхности равна 168. Найдите длину отрезка AB.

В правильной треугольной пирамиде SABC точка R  — середина ребра BC, S  — вершина. Известно, что AB  =  7, а SR  =  16. Найдите площадь боковой поверхности.

В правильной треугольной пирамиде SABC точка Q  — середина ребра AB, S  — вершина. Известно, что BC=5, а SQ=6. Найдите площадь боковой поверхности.

В правильной треугольной пирамиде SABC точка N  — середина ребра BC, S  — вершина. Известно, что AB  =  7, а площадь боковой поверхности равна 168. Найдите длину отрезка SN.

В правильной треугольной пирамиде SABC Q − середина ребра AB, S − вершина. Известно, что BC=7, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 42. Найдите длину отрезка SQ.

В правильной треугольной пирамиде SABC точка L  — середина ребра AC, S  — вершина. Известно, что BC  =  6, а SL  =  5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде SABC точка M − середина ребра AB, S − вершина. Известно, что BC = 3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка SM.

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург 2015. Вариант 2., Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2015. Вариант 2.

Всего: 53 1–20 | 21–40 | 41–53

Источник

Решение:

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды:

S=frac{1}{2}Ph_{a}, где

h_a – апофема – высота боковой грани правильной пирамиды

По теореме Пифагора находим апофему h_a:

25² = 7² + h_a²h_a² = 25² – 7²h_a² = 625 – 49
h_a² = 576
h_a = √576 = 24

Периметр основания равен:

P = 14 + 14 + 14 = 3·14 = 42

Найдём площадь боковой поверхности:

S=frac{1}{2}Ph_{a}=frac{1}{2}cdot 42cdot 24=21cdot 24=504

Ответ: 504.

Источник

Видео по теме

Задача 1. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, Найдите длину отрезка .

fgk

Решение: + показать

Задача 2. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, Найдите боковое ребро

Решение: + показать

Задача 3. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны боковые ребра равны Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Решение: + показать

Задача 4. В правильной четырёхугольной пирамиде точка — центр основания, — вершина, Найдите длину отрезка

Решение: + показать

Задача 5. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами и Ее объем равен Найдите высоту этой пирамиды.

Решение: + показать

Задача 6. В правильной четырёхугольной пирамиде с основанием боковое ребро равно сторона основания равна Найдите объём пирамиды.

Решение: + показать

Задача 7. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

Решение: + показать

Задача 8. Даны две правильные четырёхугольные пирамиды. Объём первой пирамиды равен У второй пирамиды высота в раза больше, а сторона основания в раза больше, чем у первой. Найдите объём второй пирамиды.

Решение: + показать

Задача 9. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен Найти сторону основания пирамиды.

Решение: + показать

Задача 10. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами и Ее объем равен Найдите высоту этой пирамиды.

Решение: + показать

Задача 11. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны боковые ребра равны Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Решение: + показать

Задача 12. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна объем пирамиды равен Найдите длину отрезка .

Решение: + показать

Задача 13. В правильной треугольной пирамиде точка — середина ребра — вершина. Известно, что а . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение: + показать

Задача 14. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны а высота равна

Решение: + показать

Задача 15. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны а объем равен

Решение: + показать

Задача 16. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны боковые ребра равны Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение: + показать

Задача 17. Объем правильной шестиугольной пирамиды Сторона основания равна Найдите боковое ребро.

Решение: + показать

Задача 18. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в два раза?

Решение: + показать

Задача 19. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в раз?

Решение: + показать

Задача 20. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в пять раз?

Решение: + показать

Задача 21. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом °. Высота пирамиды равна Найдите объем пирамиды.

Решение: + показать

Задача 22. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно Найдите объем пирамиды.

Решение: + показать

Задача 23. От треугольной призмы, объем которой равен отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

Решение: + показать

Задача 24. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен Найдите объем шестиугольной пирамиды. Видео по теме 1 2

Решение: + показать

Задача 25. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 8, боковое ребро равно 16. Найдите объём пирамиды.

Решение: + показать

Задача 26. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна а угол между боковой гранью и основанием равен $45^{circ}.$ Найдите объем пирамиды.

Решение: + показать

Задача 27. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды если объём треугольной пирамиды равен

Решение: + показать

Задача 28. Объем параллелепипеда равен Найдите объем треугольной пирамиды

Решение: + показать

Задача 29. Объем куба равен Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Решение: + показать

Задача 30. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно

Решение: + показать

Задача 31. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен Точка — середина ребра . Найдите объем треугольной пирамиды .

Решение: + показать

Задача 32. От треугольной пирамиды, объем которой равен отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Решение: + показать

Задача 33. Ребра тетраэдра равны Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

Решение: + показать

Вы можете пройти тест

Источник

Площадь поверхности пирамиды. В этой статье мы рассмотрим с вами задачи с правильными пирамидами. Напомню, что правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника.

Боковая грань такой пирамиды это равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника, проведенная из вершины правильной пирамиды, называется апофемой, SF – апофема:

В представленном ниже типе задач требуется найти площадь поверхности всей пирамиды или площадь её боковой поверхности. На блоге уже рассмотрено несколько задач с правильными пирамидами, где ставился вопрос о нахождении элементов (высоты, ребра основания, бокового ребра), можете посмотреть.

В типовых заданиях, как правило, рассматриваются правильные треугольные, четырёхугольные и шестиугольные пирамиды. Задач с правильными пятиугольными и семиугольными пирамидами пока не встречал.

Кстати, на проекте youclever неплохой визуальный гид по пирамиде: с красивыми картинками, основными формулами и свойствами. Подходит тем, кто лучше воспринимает информацию визуально. Там весь учебник по геометрии такой — мало задач, но много понятных рисунков.

Формула площади всей поверхности проста — требуется найти сумму площади основания пирамиды и площади её боковой поверхности:

Рассмотрим задачи:

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 72, боковые ребра равны 164. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания:

*Боковая поверхность состоит из четырёх равных по площади треугольников. Основание пирамиды это квадрат.

Площадь боковой стороны пирамиды можем вычислить воспользовавшись формулой Герона:

Таким образом, площадь поверхности пирамиды равна:

Ответ: 28224

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 22, боковые ребра равны 61. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник.

Площадь боковой поверхности данной пирамиды состоит из шести площадей равных треугольников с сторонами 61,61 и 22:

Найдём площадь треугольника, воспользуемся формулой Герона:

Таким образом, площадь боковой поверхности равна:

Ответ: 3240

*В представленных выше задачах площадь боковой грани можно было найти используя другую формулу треугольника, но для этого нужно вычислить апофему.

27155. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

Для того, чтобы найти площадь поверхности пирамиды нам необходимо знать площадь основания и площадь боковой поверхности:

Площадь основания равна 36, так как это квадрат со стороной 6.

Боковая поверхность состоит из четырёх граней, которые являются равными треугольниками. Для того, чтобы найти площадь такого треугольника требуется знать его основание и высоту (апофему):

*Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты проведённой к этому основанию.

Основание известно, оно равно шести. Найдём высоту. Рассмотрим прямоугольный треугольник (он выделен жёлтым):

Один катет равен 4, так как это высота пирамиды, другой равен 3, так как он равен половине ребра основания. Можем найти гипотенузу, по теореме Пифагора:

Значит площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Таким образом, площадь поверхности всей пирамиды равна:

Ответ: 96

27069. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Посмотреть решение

27070. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Посмотреть решение

Существуют ещё формулы площади боковой поверхности правильной пирамиды. В правильной пирамиде основание является ортогональной проекцией боковой поверхности, поэтому:

где φ — двугранный угол при основании

Отсюда площадь полной поверхности правильной пирамиды может быть найдена по формуле:

Еще одна формула боковой поверхности правильной пирамиды:

P — периметр основания, l — апофема пирамиды

*Эта формула основывается на формуле площади треугольника.

Если хотите узнать подробнее как эти формулы выводятся, не пропустите, следите за публикацией статей. На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник

Определение пирамиды

Пирамида — это многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а грани его являются треугольниками.

Онлайн-калькулятор площади поверхности пирамиды

Стоит остановиться на определении некоторых составляющих пирамиды.

У нее, как и у других многогранников, есть ребра. Они сходятся к одной точке, которая называется вершиной пирамиды. В ее основании может лежать произвольный многоугольник. Гранью называется геометрическая фигура, образованная одной из сторон основания и двумя ближайшими ребрами. В нашем случае это треугольник. Высотой пирамиды называется расстояние от плоскости, в которой лежит ее основание, до вершины многогранника. Для правильной пирамиды существует еще понятие апофемы — это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды к её основанию.

Виды пирамид

Существуют 3 вида пирамид:

Прямоугольная — та, у которой какое-либо ребро образует прямой угол с основанием.
Правильная — у нее основание – правильная геометрическая фигура, а вершина самого многоугольника является проекцией центра основания.
Тетраэдр — пирамида, составленная из треугольников. Причем каждый из них может быть принят за основание.

Формула площади поверхности пирамиды

Для нахождения полной площади поверхности пирамиды нужно сложить площадь боковой поверхности и площадь основания.

Самой простой является случай правильной пирамиды, поэтому нею мы и займемся. Вычислим полную площадь поверхности такой пирамиды. Площадь боковой поверхности равна:

Sбок=12⋅l⋅pS_{text{бок}}=frac{1}{2}cdot lcdot p

ll — апофема пирамиды;
pp — периметр основания пирамиды.

Полная площадь поверхности пирамиды:

S=Sбок+SоснS=S_{text{бок}}+S_{text{осн}}

SбокS_{text{бок}} — площадь боковой поверхности пирамиды;
SоснS_{text{осн}} — площадь основания пирамиды.

Пример решения задачи.

Пример

Найти полную площадь треугольной пирамиды, если её апофема равна 8 (см.), а в основании лежит равносторонний треугольник со стороной 3 (см.)

Решение

l=8l=8
a=3a=3

Найдем периметр основания. Так как в основании лежит равносторонний треугольник со стороной aa, то его периметр pp (сумма всех его сторон):

p=a+a+a=3⋅a=3⋅3=9p=a+a+a=3cdot a=3cdot 3=9

Тогда боковая площадь пирамиды:

Sбок=12⋅l⋅p=12⋅8⋅9=36S_{text{бок}}=frac{1}{2}cdot lcdot p=frac{1}{2}cdot 8cdot 9=36 (см. кв.)

Теперь найдем площадь основания пирамиды, то есть площадь треугольника. В нашем случае треугольник равносторонний и его площадь можно вычислить по формуле:

Sосн=3⋅a24S_{text{осн}}=frac{sqrt{3}cdot a^2}{4}

aa — сторона треугольника.

Получаем:

Sосн=3⋅a24=3⋅324≈3.9S_{text{осн}}=frac{sqrt{3}cdot a^2}{4}=frac{sqrt{3}cdot 3^2}{4}approx3.9 (см. кв.)

Полная площадь:

S=Sбок+Sосн≈36+3.9=39.9S=S_{text{бок}}+S_{text{осн}}approx36+3.9=39.9 (см. кв.)

Ответ: 39.9 см. кв.

Еще один пример, немного сложнее.

Пример

Основанием пирамиды является квадрат с площадью 36 (см. кв.). Апофема многогранника в 3 раза больше стороны основания aa. Найти полную площадь поверхности данной фигуры.

Решение

Sквад=36S_{text{квад}}=36
l=3⋅al=3cdot a

Найдем сторону основания, то есть сторону квадрата. Его площадь и длина стороны связанны:

Sквад=a2S_{text{квад}}=a^2
36=a236=a^2
a=6a=6

Найдем периметр основания пирамиды (то есть, периметр квадрата):

p=a+a+a+a=4⋅a=4⋅6=24p=a+a+a+a=4cdot a=4cdot 6=24

Найдем длину апофемы:

l=3⋅a=3⋅6=18l=3cdot a=3cdot 6=18

В нашем случае:

Sквад=SоснS_{text{квад}}=S_{text{осн}}

Осталось найти только площадь боковой поверхности. По формуле:

Sбок=12⋅l⋅p=12⋅18⋅24=216S_{text{бок}}=frac{1}{2}cdot lcdot p=frac{1}{2}cdot 18cdot 24=216 (см. кв.)

Полная площадь:

S=Sбок+Sосн=216+36=252S=S_{text{бок}}+S_{text{осн}}=216+36=252 (см. кв.)

Ответ: 252 см. кв.

Возникают трудности с тем, чтобы найти площадь поверхности пирамиды? У нас вы можете заказать контрольную работу по геометрии!

Источник

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи по теме «Пирамида»

Пирамида (PA_1A_2…A_n):

(blacktriangleright) Многоугольник (A_1…A_n) – основание;

треугольники (PA_1A_2, PA_2A_3) и т.д. – боковые грани;

точка (P) – вершина;

отрезки (PA_1, PA_2, …, A_1A_2) и т.д. – ребра.

(blacktriangleright) Если в основании пирамиды лежит треугольник, то она называется тетраэдром.

(blacktriangleright) Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины (P) к основанию.

(blacktriangleright) Объем пирамиды ({Large{V=dfrac{1}{3}S_{text{осн}}h}}) , где (S_{text{осн}}) – площадь основания, (h) – высота.

(blacktriangleright) Площадь боковой поверхности – сумма площадей всех боковых граней.
Площадь полной поверхности – сумма площади боковой поверхности и площади основания.

Заметим, что принято записывать название пирамиды, начиная с вершины.

Задание
1

#2878

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дана пирамида (SABCD), вершиной которой является точка (S), в основании лежит ромб, а высота (SO) пирамиды падает в точку пересечения диагоналей ромба. Найдите объем пирамиды, если известно, что угол (ASO) равен углу (SBO), а диагонали основания равны (6) и (24).

Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то (AO=12), (BO=3).
Заметим, что так как (SO) – высота пирамиды, то (triangle ASO) и (triangle BSO) – прямоугольные. Так как у них есть равные острые углы, то они подобны. Пусть (SO=h), тогда из подобия имеем: [dfrac{BO}{h}=dfrac{h}{AO} quadRightarrowquad h=6.] Так как площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то объем пирамиды равен [V=dfrac13cdot hcdot dfrac12cdot 24cdot 6=144.]

Ответ: 144

Задание
2

#2879

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В пирамиде (SABC) высота (SO) падает в точку пересечения медиан основания. Треугольник (ABC) равнобедренный, боковые стороны равны (10), а основание (AC=18). Найдите объем пирамиды, если известно, что угол между боковым ребром (SB) и плоскостью основания равен (45^circ).

Пусть (BK) – высота в (triangle ABC), а значит и медиана. Тогда из прямоугольного (triangle BKC): [BK=sqrt{BC^2-KC^2}=sqrt{10^2-9^2}=sqrt{19}.] Тогда площадь основания равна [S_{ABC}=dfrac12cdot ACcdot
BK=9sqrt{19}.] Так как (O) – точка пересечения медиан, то (O) лежит на (BK). Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины, то [BO=dfrac23BK=dfrac23sqrt{19}.] Заметим, что угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость, следовательно, (angle SBO=45^circ) и есть угол между (SB) и основанием (так как (BO) – проекция (SB) на плоскость (ABC)). Так как к тому же (triangle SBO) прямоугольный, то он равнобедренный, следовательно, [SO=BO=dfrac23sqrt{19}.] Тогда объем пирамиды равен [V=dfrac13cdot SOcdot S_{ABC}=38.]

Ответ: 38

Задание
3

#2880

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Высота (SH) треугольной пирамиды (SABC) падает на середину стороны (AB), (ABC) – правильный треугольник со стороной (6). Найдите объем пирамиды, если (SC=sqrt{30}).

Так как (H) – середина (AB) и треугольник правильный, то (CH) – высота. Следовательно, [CH=dfrac{sqrt3}2AB=3sqrt3.] Так как (SH) – высота пирамиды, то (triangle SHC) – прямоугольный, следовательно, [SH=sqrt{SC^2-CH^2}=sqrt{30-27}=sqrt3.] Следовательно, объем равен [V=dfrac13cdot SHcdot S_{ABC}=
dfrac13cdot SHcdot dfrac12cdot CHcdot AB=9.]

Ответ: 9

Задание
4

#2881

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В основании пирамиды (SABCD) лежит равнобедренная трапеция (ABCD), (AD) – большее основание. Высота пирамиды падает на отрезок (BC). Апофема грани (ASD) равна (10) и образует угол (45^circ) с плоскостью трапеции. Найдите объем пирамиды, если средняя линия трапеции равна (9).

Пусть (SH) – высота пирамиды. Проведем (HKperp AD). Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах (SK) (наклонная) также перпендикулярна (AD) (так как (HK) – ее проекция на плоскость (ABC)). Следовательно, (SK) и есть апофема грани (ASD). Также отсюда следует, что (angle SKH=45^circ) (так как угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость). Следовательно, (triangle SHK) прямоугольный и равнобедренный, значит, [SH=HK=SKdiv sqrt2=dfrac{10}{sqrt2}] По определению получается, что (HK) также высота трапеции. Так как площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту, а полусумма оснований в свою очередь равна средней линии, то [S_{ABCD}=9cdot dfrac{10}{sqrt2}] А значит объем пирамиды равен [V=dfrac13cdotdfrac{10}{sqrt2}cdot9cdot dfrac{10}{sqrt2}=150.]

Ответ: 150

Задание
5

#1857

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В основании пирамиды (SABCD) лежит равнобедренная трапеция с основаниями (AD) и (BC). (H) – точка пересечения диагоналей трапеции, а (SH) – высота пирамиды. Диагонали трапеции перпендикулярны, (mathrm{tg}, angle SAC = 3), (BH = 3), (AH = 2). Найдите объем пирамиды.

(triangle AHD) и (triangle BHC) – равнобедренные треугольники, т.к. трапеция (ABCD) равнобедренная (Rightarrow) (AH = HD), (BH = HC) (Rightarrow) (AC = BD = 2 + 3 = 5) (Rightarrow)

[S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = frac{1}{2}cdot ACcdot BH + frac{1}{2}cdot ACcdot HD = frac{1}{2}cdot ACcdot(BH + HD) = frac{1}{2}cdot ACcdot BD.]

В (triangle SAH): (SH = AHcdot mathrm{tg}, angle SAC = 6), т.к. (triangle SAH) – прямоугольный. Тогда объем пирамиды можно найти следующим образом: [V_{text{пир.}} = frac{1}{3}cdot S_{ABCD}cdot SH = frac{1}{3}cdotfrac{1}{2}cdot5cdot5cdot6 = 25].

Ответ: 25

Задание
6

#1858

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В основании пирамиды (SABC) лежит прямоугольный треугольник с прямым углом (angle A). Точка (H) – центр описанной вокруг треугольника (triangle ABC) окружности, (SH) – высота пирамиды. Найдите объем пирамиды, если известно, что (AB = 6), (AC = , (SA = 5sqrt5).

Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на гипотенузе и делит ее пополам (Rightarrow) (BH = AH = CH) – радиусы описанной окружности. В прямоугольном треугольнике (triangle BAC) по теореме Пифагора: (BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 100) (Rightarrow) (BC = 10) (Rightarrow) (AH = frac{BC}{2} = frac{10}{2} = 5). Треугольник (triangle AHS) – прямоугольный, т.к. (SH perp ABC) ((SH) – высота), тогда по теореме Пифагора можно найти (SH): (SH^2 = AS^2 — AH^2 = (5sqrt5)^2 — 5^2 = 100) (Rightarrow) (SH = 10). Теперь найдем объем пирамиды: [V_{text{пир.}} = frac{1}{3}cdot SHcdot S_{triangle BAC} = frac{1}{3}cdot SHcdotfrac{1}{2}cdot ABcdot AC = frac{1}{3}cdot10cdotfrac{1}{2}cdot6cdot8 = 80.]

Ответ: 80

Задание
7

#2769

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Точки (A), (B) и (C) лежат в плоскости (pi). Прямая (l) образует с плоскостью (pi) угол в (45^circ) и проходит через точку (B) так, что (angle(l; AB) = angle(l; BC)). Через (l’) обозначим проекцию (l) на (pi). Найдите (angle(l’; AB)), если (angle ABC = 80^circ). Ответ дайте в градусах.

Докажем, что (l’) содержит биссектрису угла (ABC). Выберем на (AB) точку (A’), а на (BC) точку (C’) так, чтобы (A’B = BC’). Построим прямую, проходящую через точку (B) и точку (H) – середину (A’C’).

Отметим на (l) точку (M). Треугольник (A’BC’) – равнобедренный, тогда (BH) – высота.

Рассмотрим треугольники (A’BM) и (C’BM): они равны по двум сторонам и углу между ними, тогда (MA’ = MC’) и треугольник (A’MC’) – равнобедренный, тогда (MH) – его высота.

В итоге (A’C’perp BH) и (A’C’perp MH), следовательно, (A’C’perp (MBH)). Если предположить, что (M’) – проекция точки (M) на ((A’BC’)), не попадает на прямую, содержащую (BH), то получим, что (A’C’perp M’M) и (A’C’perp MH), откуда следует, что (A’C’perp (MM’H)). Но тогда плоскости ((MM’H)) и ((MBH)) перпендикулярны к одной прямой, пересекаются, но не совпадают, чего быть не может.

Таким образом, (M’) лежит на прямой, содержащей (BH), но тогда (l’) совпадает с прямой, содержащей (BH). В итоге, (angle(l’; AB) = 0,5angle ABC = 40^circ).

Ответ: 40

При подготовке к ЕГЭ по математике старшеклассникам следует особое внимание уделить теме «Пирамида», так как задачи, связанные с расчетом объема и площади данного многогранника, непременно встретятся на финальной аттестации. Весь необходимый для повторного изучения материал вы найдете в данном разделе. Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию и элементарные упражнения, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня.

Базовая информация

Пирамида — многогранник, образованный благодаря соединению всех точек плоского многоугольника с точкой, выходящей за пределы плоскости данного многоугольника.

Пирамиду называют n-угольной по количеству углов в основании. Если последним является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с его центром, фигуру называют правильной.

Все боковые грани пирамиды — треугольники.

Подробная теоретическая часть приведена в начале страницы. Вы также можете сразу приступить к практике. Задачи, представленные в данном разделе, помогут вам найти объем пирамиды, длину ее определенных отрезков и т. д. Каждое упражнение содержит подробный алгоритм решения и правильный ответ. Таким образом, разобраться в теме вы сможете самостоятельно, без помощи репетитора.

Как часто следует тренироваться?

Чтобы на ЕГЭ ребенок смог легко решить задачи по стереометрии (а определение площади и других параметров пирамиды относятся к данному разделу геометрии), мы рекомендуем выполнять по 2—3 упражнения каждый день. Таким образом, знания будут лучше усваиваться и вам будет проще переходить от простого к сложному.

Проверьте, легко ли вы рассчитаете площадь пирамиды, прямо сейчас. Разберите любое задание онлайн. Если решение дастся вам легко, значит, шансы на высокие экзаменационные баллы по математике достаточно велики. А при возникновении затруднений планируйте свой день таким образом, чтобы в ежедневное расписание был включен дистанционный образовательный проект «Школково». Мы поможем вам восполнить пробелы в знаниях!