Площадь криволинейной трапеции егэ задания


Образовательный портал для подготовки к экзаменам

Математика профильного уровня

Математика профильного уровня

Сайты, меню, вход, новости

Каталог заданий.
Первообразная


Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

1

На рисунке изображён график функции y  =  F(x)  — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−3; 5). Найдите количество решений уравнения f(x)  =  0 на отрезке [−2; 4].

Источник: Пробный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 2.

2

На рисунке изображён график некоторой функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x)  — одна из первообразных функции f(x).

Источник: Пробный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 1., Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2014. Вариант 1.

3

На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция F левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе плюс 30x в квадрате плюс 302x минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби   — одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

4

На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция F левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус x в кубе минус 27x в квадрате минус 240x минус 8  — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Первообразная функции»

Открытый банк заданий по теме первообразная функции. Задания B7 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Геометрические фигуры на плоскости: вычисление величин с использованием углов

Геометрические фигуры в пространстве: нахождение длины, площади, объема

Задание №1164

Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

График функции y=f(x), являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков

Показать решение

Решение

По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3.

Её площадь равна frac{4+3}{2}cdot 3=10,5.

Ответ

10,5

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1158

Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-5; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-3; 4].

График функции y= F(x) - одной из первообразных функции f(x), на интервале (-5; 5)

Показать решение

Решение

Согласно определению первообразной выполняется равенство: F'(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F'(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 4], в которых производная функции F(x) равна нулю. Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 7 (четыре точки минимума и три точки максимума).

Ответ

7

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1155

Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

График функции у=f(x) являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков

Показать решение

Решение

По формуле Ньютона-Лейбница разность F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=5 и x=0. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 5 и 3 и высотой 3.

Её площадь равна frac{5+3}{2}cdot 3=12.

Ответ

12

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1149

Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-5; 4). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x)=0 на отрезке (-3; 3].

График функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x) на интервале (-5; 4)

Показать решение

Решение

Согласно определению первообразной выполняется равенство: F'(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F'(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 3], в которых производная функции F(x) равна нулю.

Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 5 (две точки минимума и три точки максимума).

Ответ

5

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1146

Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции

Условие

На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=-x^3+4,5x^2-7 — одна из первообразных функции f(x).

Найдите площадь заштрихованной фигуры.

График некоторой функции y=f(x) с известной первообразной и заштрихованной фигурой

Показать решение

Решение

Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=1 и x=3. По формуле Ньютона-Лейбница её площадь S равна разности F(3)-F(1), где F(x) — указанная в условии первообразная функции f(x). Поэтому S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Ответ

10

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №907

Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=x^3+6x^2+13x-5 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.

График функции y=f(x) с заштрихованной областью

Показать решение

Решение

Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции y=f(x) и прямыми y=0, x=-4 и x=-1. По формуле Ньютона-Лейбница её площадь S равна разности F(-1)-F(-4), где F(x) — указанная в условии первообразная функции f(x).

Поэтому S= F(-1)-F(-4)= (-1)^3+6(-1)^2+13(-1)-5-((-4)^3+6(-4)^2+13(-4)-5)= -13-(-25)=12.

Ответ

12

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №307

Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции

Условие

На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=x^3+18x^2+221x-frac12 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.

График некоторой функции y=f(x) с заштрихованной фигурой

Показать решение

Решение

По формуле Ньютона-Лейбница S=F(-1)-F(-5).

F(-1)= (-1)^3+18cdot(-1)^2+221cdot(-1)-frac12= -204-frac12.

F(-5)= (-5)^3+18cdot(-5)^2+221cdot(-5)-frac12= -125+450-1105-frac12= -780-frac12.

F(-1)-F(-5)= -204-frac12-left (-780-frac12right)= 576.

Ответ

576

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №306

Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции

Условие

На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x).Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(3), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

График функции y=f(x)

Показать решение

Решение

F(9)-F(3)=S, где S — площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0 и x=3,:x=9. Рассмотрим рисунок ниже.

Трапеция, ограниченная графиком функции y=f(x) и прямыми.

Данная фигура — трапеция с основаниями 6 и 1 и высотой 2. Ее площадь равна frac{6+1}{2}cdot2=7.

Ответ

7

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №104

Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции

Условие

На координатной плоскости изображен график функции y=f(x). Одна из первообразных этой функции имеет вид: F(x)=-frac13x^3-frac52x^2-4x+2. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

График дифференцируемой функции y=f(x)

Показать решение

Решение

На рисунке видно, что заштрихованная фигура ограничена по оси абсцисс точками −4, −1, а по оси ординат графиком функции: f(x). Значит площадь фигуры мы можем найти с помощью разности значений первообразных в точках −4 и −1, по формуле определенного интеграла:

intlimits_{-4}^{-1}f(x)dx=F(-1)-F(-4)

Подставим значение первообразной из условия и получим площадь фигуры:

F(-1)-F(-4)=

=frac13-frac52+4+2-frac{64}{3}+frac{80}{2}-16-2=

=-frac{63}{3}+frac{75}{2}-12=-21+37,5-12=4,5

Ответ

4,5

Задание №103

Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции

Условие

Первообразная y=F(x) некоторой функции y=f(x) определена на интервале (−16; −2). Определите сколько решений имеет уравнение f(x) = 0 на отрезке [−10; −5].

Первообразная y=F(x) функции y=f(x)

Показать решение

Решение

Формула первообразной имеет следующий вид:

f(x) = F'(x)

По условию задачи нужно найти точки, в которых функция f(x) равна нулю. Принимая во внимание формулу первообразной, это значит, что, нужно найти точки, в которых F'(x) = 0, то есть те точки, в которых производная от первообразной равна нулю.

Мы знаем, что производная равна нулю в точках локального экстремума, т.е. функция имеет решения в тех точках, в которых возрастание F(x) сменяется убыванием и наоборот.

На отрезке [−10; −5] видно что это точки: −9; −7; −6. Значит уравнение f(x) = 0 имеет 3 решения.

Первообразная y=F(x) функции y=f(x)

Ответ

3

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928

Источник
Skip to content

Алгебра 10-11 класс. Площадь криволинейной трапеции

Алгебра 10-11 класс. Площадь криволинейной трапецииadmin2022-11-04T14:15:40+03:00

Скачать файл в формате pdf.

Алгебра 10-11 класс. Площадь криволинейной трапеции

Задача 1. На рисунке изображён график некоторой функции (y = fleft( x right)) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите (Fleft( 5 right) — Fleft( 3 right)), где  (Fleft( x right))— одна из первообразных функции (fleft( x right)).

Ответ

ОТВЕТ: 3.
Задача 2. На рисунке изображён график некоторой функции (y = fleft( x right)) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите (Fleft( 6 right) — Fleft( 2 right)), где  (Fleft( x right))— одна из первообразных функции (fleft( x right)).

Ответ

ОТВЕТ: 9.
Задача 3. На рисунке изображен график некоторой функции (y = fleft( x right)). Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл (intlimits_1^5 {fleft( x right)} ,dx)

Ответ

ОТВЕТ: 12.
Задача 4. На рисунке изображен график некоторой функции (y = fleft( x right)). Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл (intlimits_2^5 {fleft( x right)} ,dx)

Ответ

ОТВЕТ: 8.
Задача 5. На рисунке изображён график некоторой функции (y = fleft( x right)). Функция (Fleft( x right) = frac{2}{3}{x^3} + 20{x^2} + 201x — frac{6}{{13}}) — одна из первообразных функции (fleft( x right)). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Ответ

ОТВЕТ: 9.
Задача 6. На рисунке изображён график некоторой функции (y = fleft( x right)). Функция (Fleft( x right) =  — frac{1}{{12}}{x^3} — frac{3}{2}{x^2} — frac{{27}}{4}x — frac{3}{4}) — одна из первообразных функции (fleft( x right)). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Ответ

ОТВЕТ: 9.
Задача 7. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y = {x^3},,,y = 0,,,x = 2)

Ответ

ОТВЕТ: 4.
Задача 8. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y = {x^3} + 2,,,y = 0,,,x = 2,,,x = 3)

Ответ

ОТВЕТ: 18,25.
Задача 9. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y =  — {x^2} + 9x — 18,,,y = 0)

Ответ

ОТВЕТ: 4,5.
Задача 10. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y =  — {x^2} + 9,,,y = 0)

Ответ

ОТВЕТ: 36.
Задача 11. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y = frac{1}{{{x^2}}},,,y = 0,,,x =  — 4,,,x =  — 2)

Ответ

ОТВЕТ: 0,25.
Задача 12. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y =  — sqrt x ,,,y = 0,,,x = 9,,,x = 36)

Ответ

ОТВЕТ: 126.
Задача 13. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y = sin 2x,,,y = 0,,,x = 0,,,x = frac{pi }{2})

Ответ

ОТВЕТ: 1.
Задача 14. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y = frac{1}{{{{cos }^2}x}} + frac{2}{pi },,,,y = 0,,,,x = 0,,,,x = frac{pi }{4})

Ответ

ОТВЕТ: 1,5.
Задача 15. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y = sqrt x ,,,y =  — 2x,,,x = 9)

Ответ

ОТВЕТ: 99.
Задача 16. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y =  — sqrt x ,,,y = {x^2},,,x = 9)

Ответ

ОТВЕТ: 261.
Задача 17. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y = {e^{2x}},,,y = 0,,,,x = ln 2,,,,x = ln 6)

Ответ

ОТВЕТ: 16.
Задача 18. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y = frac{1}{x},,,y = 0,,,,x = e,,,,x = {e^3})

Ответ

ОТВЕТ: 2.
Задача 19. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y =  — {x^2} + 2x + 3,,,y = 3 — x)

Ответ

ОТВЕТ: 4,5.
Задача 20. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y = 1 — {x^2},,,y =  — x — 1)

Ответ

ОТВЕТ: 4,5.
Задача 21. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y =  — {x^2} + 2,,,y = {x^2} — 2x — 2)

Ответ

ОТВЕТ: 9.
Задача 22. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y = {x^2} — 4x + 3,,,y =  — {x^2} + 6x — 5)

Ответ

ОТВЕТ: 9.
Задача 23. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции (y = {x^3}) и касательной, проведенной к ней в точке (left( { — 1;, — 1} right))

Ответ

ОТВЕТ: 6,75.
Задача 24. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции (y = {x^3} — 3x) и касательной, проведенной к ней в точке (left( { — 1;,2} right))

Ответ

ОТВЕТ: 6,75.
Задача 25. Вычислите  (frac{1}{pi }intlimits_0^4 {sqrt {4x — {x^2}} dx} ),  используя геометрический смысл определенного интеграла

Ответ

ОТВЕТ: 2.
Задача 26. Вычислите  (frac{1}{pi }intlimits_{ — 1}^0 {sqrt { — 2x — {x^2}} dx} ),  используя геометрический смысл определенного интеграла

Ответ

ОТВЕТ: 0,25.
Задача 27. Вычислите  (intlimits_0^3 {left| {,x — 2,} right|dx} ),  используя геометрический смысл определенного интеграла

Ответ

ОТВЕТ: 2,5.
Задача 28. Вычислите  (intlimits_0^4 {left| {,left| {,x — 2,} right| — 1,} right|dx} ),  используя геометрический смысл определенного интеграла

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Источник

Задания по теме «Площадь криволинейной трапеции»

Учитель математики

высшей квалификационной категории

МОУ Левобережной СОШ г.Тутаева

Борисова Елена Леонидовна

Пример 1

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении

чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки

пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой

. Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический.

Решаем уравнение:

Значит, нижний предел интегрирования , верхний предел интегрирования

.

Гораздо выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы

интегрирования выясняются как бы «сами собой». Возвращаемся к нашей

задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу.

Выполним чертеж:

А теперь рабочая формула: Если на отрезке некоторая непрерывная

функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то

площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми ,

, можно найти по формуле:

В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола

располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой

снизу.

На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

Пример 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , ,

.

Решение: Сначала выполним чертеж:

Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом

(внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике

по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь

фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!

Этот пример еще полезен и тем, что в нём площадь фигуры считается с

помощью двух определенных интегралов. Действительно:

1) На отрезке над осью расположен график прямой ;

2) На отрезке над осью расположен график гиперболы .

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

Ответ:

Пример 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной

линиями: у = 4х – х

2

, у = 5, х = 3.

Решение:

х

0

= 2, у

0

= 4

S

ф

= S

ОАВД

– S

ОСД

S

прям.

=

S

ОСД

= F(3) – F(0), где F(x) первообразная для

функции f(х) = 4х – х

2

F(х)= ; S

ОСД

=

S

ф

= 15 – 9 = 6.

Ответ: 6.

Пример 4

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,

Решение:

Представим уравнения в «школьном» виде , и выполним

поточечный чертеж:

Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: .

Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое?

Может быть ? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной

точностью, вполне может оказаться что . Или корень. А если мы вообще

неправильно построили график?

В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять

пределы интегрирования аналитически.

Найдем точки пересечения прямой и параболы .

Для этого решаем уравнение:

,

Действительно, .

Дальнейшее решение тривиально, главное, не запутаться в подстановках и

знаках, вычисления здесь не самые простые.

На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

Пример 5

Вычислить S фигуры, ограниченной линиями у = (х + 2)

2

, х = 0, у = 0.

Решение:

АОВ – криволинейный треугольник или криволинейная трапеция. (рис 10.)

S = F(0) – F(-2) =

F(x) = x

2

+4x+4; F(x) =

S =

Ответ:

Пример 6

Найти S фигуры, ограниченной параболой у = х

2

+ 1 и прямой у = х + 3.

Решение:

Построим в одной системе координат графики данных функций.

1) у = х

2

+ 1, х

0

= 0, у

0

= 0.

2) у = х + 3

3) х

2

+ 1 = х + 3

х

1

= 1, х

2

=2.

S

ф

= S

1АВСД

– S

2АВmСД

S

тр.АВСД

=

S

АВmСД

= F(2) – F(-1), F(x) = , S = 6

S

ф

= S

1

– S

2

= 4,5.

II способ.

S

АВСД

= F(2) – F(-1), F(x) = .

Ответ: S

ф

= 4,5.

Пример 7:

Найдите 3 четверти площади фигуры,

ограниченной параболой, заданной уравнением

у = – х

2

+4х—3 и осью абсцисс.

Решение:

1) х

В

=2, у

В

=1

2) – х

2

+4х—3=0 х

1

=3, х

2

=1

Функция неотрицательна на [1;3]

F(x) = S

ф

= F(3) – F(1) =

3) Умножим S

ф

на . S

иск.

=

Ответ: 1

Пример 8

Найти S фигуры, ограниченной линиями f

1

(x) = x

2

; f

2

(x) = 2x – x

2

.

Решение:

1) Схематично изобразим данную фигуру (рис.

12)

f

2

(x) = – x

2

+ 2x

х

0

= , у

0

= 1

2) Найдем абсциссы точек пересечения этих линий

х

2

= 2x – x

2

2x

2

– 2х = 0

х = 0, х = 1

3) Найдем площадь фигуры

F

2

(x) = x

2

–

S

2

= F(1) – F(0) =

F

1

(x) = ; S

1

= .

4) S

ф

= S

2

– S

1

= .

Ответ: S

ф

= .

Пример 9

Вычислить S фигуры, ограниченной линиями:

у=х

3

+1, у=0, х=0, х=2.

Решение:

F(x) =

S = F(2) – F(0) = 16/4 + 2 – 0/4 + 0 = 6

Ответ: 6.

Пример 10

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , и осью

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце

урока.

Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью ?

Решение:

Выполним чертеж:

На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

Ответ:

Примечание: В задачах на нахождение площадей преподаватели часто

требуют записывать ответ не только точно, но и, в том числе,

приближенно.

Пример 11 : Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,

.Решение:

Выполним чертеж:

На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

Пример 12:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение:

Выполним чертеж.

На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

Используемые ресурсы:

1. https://infourok.ru/samostoyatelnaya-rabota-po-teme-neopredelenniy-

integral-klass-761699.html

2. http://festival.1september.ru/articles/566339/

3. http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/8a790bee-ba9d-4b2b-9c3a—

6e370cc2df5b/113019/?

4. ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания «Закрытый сегмент».

Базовый и профильный уровни /И.В.Ященко, И.Р.Высоцкий, А.В.Забелин и др.;

под редакцией И.В.Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2016. – 640 с. (Серия

«Банк заданий ЕГЭ»)

5. Математика. ЕГЭ – 2013: экспресс – курс для подготовки к экзамену/ Дмитрий

Гущин. – М, : Издательский дом «Учительская газета», 2013. – 256 с.

(Библиотечка «Учительской газеты». Готовимся к ЕГЭ с лучшими учителями

России

Источник

Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. Задание 7

В этой статье мы будем учиться решать задачи на нахождение площади криволинейной трапеции.

Как всегда, начнем с теории. Как вы помните, неопределенный интеграл  от функции —  это множество всех первообразных F(x):

∫{f(x)dx}=F(x)+C

В неопределенном интеграле не заданы границы интегрирования, и в результате нахождения неопределенного интеграла от функции f(x) мы получаем множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянную величину С.

Если заданы границы интегрирования, то мы получаем определенный интеграл:

int{a}{b}{f(x)dx}

Здесь число a  — нижний предел интегрирования, число b — верхний предел интегрирования. Определенный интеграл — это ЧИСЛО, значение которого вычисляется по формуле Ньютона — Лейбница:

int{a}{b}{f(x)dx} = F(b)-F(a).

F(a) — это значение первообразной функции f(x) в точке a, и, соответственно, F(b) — это значение первообразной функции f(x) в точке b.

Для нас с точки зрения решения задач важное значение имеет геометрический смысл определенного интеграла.

Рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке:

Зеленая фигура, ограниченая сверху графиком функции y=f(x), слева прямой x=a, справа прямой x=b, и снизу осью ОХ называется криволинейной трапецией.

Геометрический смысл определенного интеграла:

Определенный интеграл int{a}{b}{f(x)dx} — это число, равное площади криволинейной трапеции — фигуры, ограниченой сверху графиком положительной на отрезке  [a;b] функции y=f(x), слева прямой x=a, справа прямой x=b, и снизу осью ОХ.

Решим задачу из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике. 

Прототип Задания 7 (№ 323080)

На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=-x^3-27x^2-240x-8 — одна из первообразных функции f(x) . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Закрашенная фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f(x), слева прямой x=-10, справа прямой x=-8, и снизу осью ОХ.

Площадь этой криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

S=int{-10}{-8}{f(x)dx} = F(-8)-F(-10), где F(x) — первообразная функции f(x).

По условию задачи F(x)=-x^3-27x^2-240x-8, поэтому, чтобы найти площадь фигуры, нам нужно найти значение первообразной в точке -8, в точке -10, и затем из первого вычесть второе.

Замечу, что в этих задачах очень часто возникают ошибки именно в вычислениях, поэтому советую аккуратно и подробно их записывать, и ничего не считать «в уме».

F(-8)= -(-8)^3-27(-8)^2-240(-8)-8 =512-1728+1920-8=696

F(-10)=-(-10)^3-27(-10)^2-240(-10)-8=1000-2700+2400-8=692

F(-8)-F(-10)=696-692=4 

Ответ: 4

Посмотрите небольшую видеолекцию,  в которой решены все типы задач на первообразную:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

 

Источник

а
) f(x) = 2six
x
+ 3cos
x
;
б)
f
(
x
) = ;
в)
f
(
x
) = ;
г)
f
(
x
) = 7.
Найдите первообразные функций:
Самостоятельная
работа.
Резерв.

Таблица первообразных.
Функция
y = f(x)

 Первообразная

y=F(x)
0
c
1
x
x

 Функция
y = f(x)

 Первообразная

y=F(x)
0
c
1
x
x
Какие из фигур не являются криволинейными трапециями?
Задача
2 и 3 (по готовым рисункам)
3
.Вычислить

площадь фигуры, ограниченной линиями:

площадь криволинейной
трапеции.
Презентацию
составила
учитель математики
Харина Екатерина
витальевна

высшая квалификационная категория
г. Кемерово
1.Найдите площадь фигуры ограниченной линиями:

Спасибо
за урок!
До свидания!
Повторение теории.
Фигура, ограниченная снизу отрезком
[
a;b
]
оси
Ох,
сверху графиком непрерывной функции
у =
f(x),
принимающей

положительные

значения, а с боков отрезками прямых
х
=
а
и
х
=
b
,
называется

криволинейной трапецией
.
Формула для вычисления площади криволинейной трапеции

S

= F(b) – F(a)

формула Ньютона – Лейбница

Решение Задачи
№1.

Найти площадь закрашенной фигуры -это значит найти
F(9) – F(3)
, где
F(x)
— одна из первообразных функций
f(x).

F(9)=-9
3

+18
∙
9
2
-81
∙
9+21=214.
F(3)=-3
3
+18
∙
3
2
-81
∙
3+21=106.
S
=214-106=108
Ответ: 108
Работаем
устно.
2. С помощью формулы Ньютона-Лейбница вычисляют:

А. Первообразную функции;  
Б. Площадь криволинейной трапеции;  
В. Интеграл;
Г. Производную
На
рисунке изображен график некоторой функций
y

=

f(x
).

Функция
F(x)=-x
3
+
18x
2
-81x
+
21
–
одна из первообразных функций
f(x).
Найдите площадь закрашенной фигуры
.
Задача 1.
2.Найдите площади заштрихованных фигур.
х
Рис.1

2
х
1 4
Рис.2
Г
отовимся к ЕГЭ.
1. Найдите значение выражения:

2.
Найдите корень уравнения:

9
-9-
x
=729
3.
Найдите значение выражения:

Решаем
задачи.
Самостоятельная работа.
1
.
На каком рисунке изображена фигура, не являющаяся криволинейной трапецией?

Источник

10
Авг 2013

Категория: 07 Производная, ПО

07. Первообразная

2013-08-10
2022-09-11

Задача 1. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x)  (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8)-F(2), где F(x)  — одна из первообразных функции f(x).

у

Решение: + показать


Задача 2. На рисунке изображён график некоторой функции  y=f(x). Функция F(x)=x^3+12x^2+51x-3 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

ed

Решение: + показать


Задача 3. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=-frac{4}{9}x^3-frac{34}{3}x^2-frac{280}{3}x-frac{18}{5} — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

u

Решение: + показать


Задача 4. На рисунке изображён график функции y=F(x) – одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-2;4). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0  на отрезке [-1;3].

r

Решение: + показать


колоЗагляните –> + показать

тест

Вы можете пройти тест «Первообразная»

Автор: egeMax |

комментариев 7

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Новое и интересное на сайте:

  • Площадь исследования поиска егэ
  • Площадь города санкт петербург решу егэ
  • Площадь волейбольной площадки егэ
  • Площадь водной поверхности байкала егэ
  • Площадь боковой поверхности пирамиды решу егэ

    • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии