Площадь сферы решу егэ - ExamHelp.top - портал для учащихся

Поиск

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 71 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–71

Добавить в вариант

В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 17, а высота равна 7, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.)

а)  Докажите, что двугранный угол при основании пирамиды больше, чем

б)  Найдите площадь вписанной сферы.

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Восток. Вариант 702., Задания 14 (С2) ЕГЭ 2013

Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95. Найдите площадь S части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 48. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Восток. Вариант 702.

Конус и полусфера имеют общее основание, радиус которого относится к высоте конуса как 1 : 3.

а)  Докажите, что поверхность полусферы делит образующую конуса в отношении 4 : 1, считая от вершины конуса.

б)  Найдите площадь поверхности полусферы, находящейся внутри конуса, если радиус их общего основания равен 5.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 404.

Дано два шара. Радиус первого шара в 60 раз больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Даны два шара. Радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Дано два шара. Радиус первого шара в 45 раз больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 6. Найдите площадь поверхности шара.

Источник: ЕГЭ по математике 29.06.2021. Резервная волна. Центр. Вариант 402

Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 69. Найдите площадь поверхности шара.

Дано два шара. Радиус первого шара в 14 раз больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Дано два шара. Радиус первого шара в 19 раз больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Объем первого шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Объем второго шара в 1331 раз больше объема первого. Во сколько раз площадь поверхности второго шара больше площади поверхности первого?

Объем первого шара в 2197 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Даны два шара. Диаметр второго шара в 8 раз больше диаметра первого. Во сколько раз площадь поверхности второго шара больше площади поверхности первого?

Источник: ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Запад. Вариант 1.

Всего: 71 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–71

Источник

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 71 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–71

Добавить в вариант

Радиусы двух шаров равны 6 и 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.

Радиусы двух шаров равны 32 и 60. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.

Радиусы двух шаров равны 21 и 72. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.

Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?

Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в десять раз?

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Источник: Пробный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 1., ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 301 (C часть).

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд такой же формы, у которого сторона основания в 2 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 1. Найдите его площадь поверхности.

Площадь большого круга шара равна 41. Найдите площадь поверхности шара.

Высота конуса равна 20, образующая равна 25. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на Пи .

Площадь полной поверхности конуса равна 108. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 1:1, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.

Площадь полной поверхности конуса равна 164. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 1:1, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.

Площадь основания конуса равна 9. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

 Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

Площадь осевого сечения цилиндра равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на Пи .

Площадь большого круга шара равна 1. Найдите площадь поверхности шара.

Всего: 71 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–71

Источник

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи по теме «Сфера и шар»

(blacktriangleright) Сфера – это множество точек пространства, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки (O) (называемой центром сферы).

(blacktriangleright) Шар – это сфера вместе со своей внутренностью.

Основные формулы (где (R) – радиус сферы или шара):

(blacktriangleright) площадь сферы ({large{S=4pi R^2}})

(blacktriangleright) объем шара ({large{V=dfrac{4}{3}pi R^3}})

Задание
1

#1878

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Объем шара равен (displaystyle frac{36}{sqrtpi}). Чему будет равна площадь поверхности шара, если его радиус увеличить на (displaystyle frac{6}{sqrtpi})?

(displaystyle V_{text{шара}} = frac{4}{3}pi R^3 = frac{36}{sqrtpi}) (Rightarrow) (displaystyle R = frac{3}{sqrtpi}). Радиус нового шара равен: (displaystyle R_{text{нов.}} = R + frac{6}{sqrtpi} = frac{9}{sqrtpi}). Тогда найдем площадь поверхности: (displaystyle {S_{text{пов.}} = 4pi R_{text{нов.}}^2 = 4pi left(frac{9}{sqrtpi}right)^2 = 4pifrac{81}{pi} = 324}.)

Ответ: 324

Задание
2

#1877

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Во сколько раз объем шара больше объема сегмента, высота которого равна половине радиуса?

Необходимо объем шара разделить на объем соответствующего сегмента, высота которого равна (H = frac{1}{2}R)

[frac{V_{text{шара}}}{V_{text{сегм.}}} = frac{frac{4}{3}pi R^3}{pi left(frac{1}{2}Rright)^2left(R — frac{1}{3}left(frac{1}{2}Rright)right)} = frac{frac{4}{3}pi R^3}{frac{5}{24}pi R^3} = frac{4}{3} cdot frac{24}{5} = frac{32}{5} = 6,4.]

Ответ: 6,4

Задание
3

#2674

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Имеются две сферы (S_1) и (S_2), про которые известно, что радиус первой сферы в (2) раза больше, чем радиус второй сферы. Кроме того, сфера (S_2) целиком находится внутри сферы (S_1). Пусть объём шара, ограниченного второй сферой, равен (V_2), а объём тела, заключённого между сферами, равен (V). Найдите (V : V_2).

Пусть (V_1) – объём шара, ограниченного первой сферой. Так как радиус (S_1) в два раза больше, чем радиус (S_2), то (V_1 : V_2 = .

[V = V_1 — V_2 = 8V_2 — V_2 = 7V_2,,] следовательно, (V : V_2 = 7).

Ответ: 7

Задание
4

#2306

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Площадь поверхности шара равна (frac{37}{pi}). На расстоянии (frac1{2pi}) от центра шара проведена плоскость. Найдите длину полученной в сечении окружности.

Т.к. площадь поверхности сферы ищется по формуле (S=4pi R^2), то

[4pi R^2=dfrac{37}{pi} quad Rightarrow quad R^2=dfrac{37}{4pi^2}]

По условию задачи (OQ=frac1{2pi}). Рассмотрим (triangle OQT): он прямоугольный ((angle OQT=90^circ)), гипотенуза (OT=R), катет (QT) равен радиусу (r) окружности сечения.

Таким образом, по теореме Пифагора [QT^2=r^2=OT^2-OQ^2=dfrac{37}{4pi^2}-dfrac1{4pi^2}=dfrac{9}{pi^2}
quad Rightarrow quad r=dfrac3{pi}]

Таким образом, длина окружности сечения равна [C=2pi
r=2picdotfrac3{pi}=6.]

Ответ: 6

Задание
5

#2307

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Площадь поверхности шара равна (64). На расстоянии (frac3{2sqrt{pi}}) от центра шара проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения.

Т.к. площадь поверхности сферы ищется по формуле (S=4pi R^2), то

[4pi R^2=64 quad Rightarrow quad R^2=dfrac{64}{4pi}]

По условию задачи (OQ=frac3{2sqrt{pi}}). Рассмотрим (triangle
OQT): он прямоугольный ((angle OQT=90^circ)), гипотенуза (OT=R), катет (QT) равен радиусу (r) окружности сечения.

Таким образом, по теореме Пифагора [QT^2=r^2=OT^2-OQ^2=dfrac{64}{4pi}-dfrac9{4pi}=dfrac{55}{4pi}]

Таким образом, площадь сечения равна

[S=picdot r^2=picdot dfrac{55}{4pi}=dfrac{55}4=13,75.]

Ответ: 13,75

Задание
6

#951

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Центр большего основания усечённого конуса совпадает с центром сферы, а окружность его меньшего основания лежит на сфере. Отрезки (BC) и (AD) – диаметры меньшего и большего оснований этого усечённого конуса соответственно, (BCparallel AD), [S_{ABCD} = dfrac{210}{sqrt[3]{pi^2}},qquadqquad dfrac{r}{R} = dfrac{1}{sqrt{15}},] где (R) и (r) – радиусы большего и меньшего оснований усечённого конуса соответственно, (angle ADC = 45^circ). Найдите объём шара, ограниченного данной сферой.

Рассмотрим (ABCD): т.к. (BCparallel AD), то (ABCD) – трапеция. Так как (AB) и (CD) – образующие усечённого конуса, то (AB = CD) и трапеция (ABCD) – равнобедренная.

Построим (CHperp AD). Так как (angle ADC = 45^circ), то (triangle CHD) – равнобедренный и (CH = HD).
[HD = dfrac{AD — BC}{2} = R — r,qquadqquad S_{ABCD} = dfrac{BC + AD}{2}cdot CH = (R + r)(R — r) = R^2 — r^2 = dfrac{210}{sqrt[3]{pi^2}},] но (r = dfrac{R}{sqrt{15}}), тогда [R^2left(1-dfrac{1}{15}right) = dfrac{210}{sqrt[3]{pi^2}}qquadRightarrowqquad R = dfrac{15}{sqrt[3]{pi}}qquadRightarrowqquad V_{text{шара}} = dfrac{4}{3}pi R^3 = dfrac{4}{3}cdotpicdotdfrac{15^3}{pi} = 4500.]

Ответ: 4500

Задание
7

#3114

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан шар, диаметр которого равен (9). Плоскость (alpha) пересекает диаметр (SZ) шара под углом (90^circ) и делит его точкой пересечения в отношении (1:2), считая от вершины (S). Найдите объем пирамиды с вершиной в точке (S), в основании которой лежит квадрат, вписанный в сечение шара плоскостью (alpha).

Пусть (O) – центр шара, (Q) – точка пересечения (SZ) и плоскости (alpha). Пусть (SABCD) – пирамида, объем которой нужно найти.
Рассмотрим сечение шара плоскостью (ASC).

Так как (SQ:QZ=1:2), то (SQ:SZ=1:3), следовательно, (SQ:SO=2:3), следовательно, (OQ:SO=1:3). Тогда [AQ=sqrt{AO^2-OQ^2}=sqrt{AO^2-left(dfrac13AOright)^2}=dfrac{2sqrt2}3AO
=dfrac{2sqrt2}3cdot dfrac92=3sqrt2] Следовательно, (AC=6sqrt2). Следовательно, (AB=AC:sqrt2=6).
Также [SQ=dfrac23SO=dfrac23cdot dfrac92=3] Заметим, что (SQ) – высота пирамиды, так как (SQperp alpha). Следовательно, [V=dfrac13cdot SQcdot AB^2=36.]

Ответ: 36

Задачи по стереометрии, в которых требуется произвести расчет объема сферы и измерение других неизвестных параметров, встречаются в ЕГЭ каждый год. Это означает, что знать основные формулы и уметь оперативно находить правильный ответ должны выпускники с разным уровнем подготовки. Понимая принцип решения задач ЕГЭ, в которых требуется вычислить объем или, к примеру, площадь сферы, старшеклассники смогут выполнять упражнения с любым количеством действий и при этом получить достаточно высокие баллы по итогам прохождения экзаменационного испытания.

Базовая информация

Сферой называется поверхность, которая состоит из множества точек пространства. Все они располагаются на одинаковом расстоянии от точки О. Она является центром сферы.
Геометрическое тело, которое ограничено сферой, называется шаром. Его осевое сечение представляет собой круг. Радиус последнего равен радиусу шара.
Если радиус или диаметр шара увеличить в n раз, то площадь поверхности увеличится в n2 раз, а объем — в n3 раз.

Занимайтесь с образовательным порталом «Школково» для качественной подготовки к экзамену!

Проблема поиска необходимой информации встает перед старшеклассниками достаточно остро. Не всегда школьный учебник оказывается под рукой. А поиск базовых формул для вычисления площади, объема шара и других неизвестных параметров бывает достаточно трудоемким даже в онлайн-режиме.

Наш образовательный проект поможет сэкономить время и эффективно подготовиться к сдаче экзаменационного испытания. Мы предлагаем учащимся и их преподавателям выстроить процесс подготовки к ЕГЭ от простого к сложному. Такой подход позволит старшеклассникам понять, какие темы требуют более детального изучения, и улучшить имеющиеся знания.

Базовая информация, которую стоит повторить еще до выполнения задач на нахождение объема шара, представлена в разделе «Теоретическая справка». Материал, подготовленный опытными преподавателями «Школково», поможет вам восполнить пробелы в знаниях без помощи репетитора.

Чтобы задачи ЕГЭ по теме «Шар» или, например, по теме «Цилиндр», не вызывали затруднений, мы предлагаем также потренироваться в выполнении соответствующих упражнений. Множество заданий разной степени сложности вы найдете в разделе «Каталог». Каждое упражнение содержит подробный алгоритм решения. Попрактиковавшись в режиме онлайн и поняв принцип нахождения правильного ответа, школьники смогут без труда вычислить объем сферы.

При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем вернуться к нему.

Выполнять онлайн-задания на нахождение площади боковой сферы могут не только школьники из столицы, но и выпускники из других российских городов.

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

08
Сен 2013

Категория: 02 Стереометрия

02. Шар

2013-09-08
2022-09-11

Задача 1. Объем шара равен 12348. Найдите площадь его поверхности, деленную на

шар

Решение: + показать

Задача 2. Площадь большого круга шара равна Найдите площадь поверхности шара.

Решение: + показать

Задача 3. Площадь поверхности шара равна Найдите площадь большого круга шара.

Решение: + показать

Задача 4. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в раз?

Решение: + показать

Задача 5. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в пять раз?

Решение: + показать

Задача 6. Объем первого шара в раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Решение: + показать

Задача 7. Радиусы двух шаров равны и Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

Решение: + показать

Задача 8. Радиусы трех шаров равны , и Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Решение: + показать

Вы можете пройти тест

Автор: egeMax |

комментариев 7

Источник

Всего: 13 1–13

Добавить в вариант

К сфере с центром в точке O проведена касательная плоскость (B  — точка касания), точка A лежит в плоскости

Из перечисленных утверждений выберите верное:

а)  отрезок OA  — радиус шара

б)  прямая OA перпендикулярна плоскости

в)  OB = OA

г)  точка B  — общая точка шара и плоскости

Тело состоит из двух конусов, имеющих общее основание и расположенных по разные стороны от плоскости основания. Найдите площадь сферы, вписанной в тело, если радиус основания конусов равен 2, а образующие равны и

К сфере с центром в точке O проведена касательная плоскость (A  — точка касания), точка B лежит в плоскости

Из перечисленных утверждений выберите верное:

а)  отрезок OA  — диаметр сферы

б)  прямая OA перпендикулярна плоскости

в)  OB = OA

г)  прямая OB перпендикулярна плоскости

Тип 6 № 16

Три свинцовых куба с ребрами 1, 2 и 3 см переплавили в шар. Вычислите площадь поверхности полученного шара.

Тип 10 № 60

Осевое сечение конуса имеет прямой угол при вершине. Площадь боковой поверхности конуса  — см². Найдите площадь сферы, вписанной в конус.

Тело состоит из двух конусов, имеющих общее основание и расположенных по разные стороны от плоскости основания. Найдите площадь поверхности шара, вписанного в тело, если радиус основания конусов равен 1, а высоты  — 1 и 2.

Тип 6 № 6

Три медных шара с радиусами 3, 6 и 9 см переплавили в куб. Найдите площадь поверхности полученного куба.

Тип 10 № 50

Осевое сечение конуса имеет угол при вершине, равный 120°. Объем конуса  — см³. Найдите площадь сферы, описанной вокруг конуса.

Сфера радиусом описана вокруг правильной треугольной призмы. Ребро основания призмы равно Найдите высоту призмы.

Сфера радиусом вписана в правильную треугольную призму. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Диаметр шара равен 6 см. Найдите объем шара:

а)   54 Пи см³

б)   72 Пи см³

в)   см³

г)   36 Пи см³

Диаметр шара равен 2 см. Найдите объем шара:

а)   см³

б)   см³

в)   см³

г)   см³

Найдите объем шара, вписанного в треугольную пирамиду, все ребра которой равны см.

Всего: 13 1–13

Источник

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

мини-сборник для подготовки ГИА: «Уравнение с одной переменной»

сборник составлен для подготовки к ГИА по теме «Уравнения с одной переменной»…

Сборник заданий части С для подготовки к ЕГЭ по химии

Здесь собраны задания части С из материалов ЕГЭ по химии….

Сборник по подготовке к ЕГЭ авт.Щеголева Л.М. и Тимченко И.В. издан в журнале «Французский язык»

Сборник содержит различные виды заданий по подготовке к ЕГЭ….

Сборник по подготовке к ЕГЭ, ГИА по темам «Сказуемое и его основные виды», «Тире между подлежащим и сказуемым», «Односоставное предложение».

В связи с переходом образовательных учреждений РФ и в частности школ на новую форму итоговой аттестации в 9 классе возникает необходимость и в новом подходе к планировани…

Сборник по подготовке к ЕГЭ, ГИА по темам «Сказуемое и его основные виды», «Тире между подлежащим и сказуемым», «Односоставное предложение».

Задания из сборника.Часть В 14 (по старому В 13)

Этот документ содержит основные задания из части.В-13.Для успешной сдачи экзамена рекомендую решить самим или с помощью учителя! Успехов!…

Устная часть ОГЭ. Задание 2. Сборник вопросов

Во втором задании устной части ученику предлагается принять участие в телефонном опросе, где у него есть 40 секунд, чтобы ответить на каждый из 6 вопросов….

Источник

Геометрия, 11 класс

Урок №8. Сфера и шар

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

что такое сфера, какие у неё есть элементы (центр, радиус, диаметр сферы);
что такое шар и его элементы;
уравнение сферы;
формула для нахождения площади поверхности сферы;
взаимное расположение сферы и плоскости;
теорема о радиусе сферы, который проведён в точку касания и теорему обратную данной.

Глоссарий по теме:

Определение

Окружность – множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Данная точка называется центром окружности, расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом окружности.

Определение

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Определение

Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Определение

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Уравнение сферы

– уравнение сферы радиуса R и центром С(x₀; y₀; z₀).

Определение

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Определение

Сегмент шара — это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Определение

Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-142.

Дополнительная литература:

Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений– М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Основные теоретические факты

По аналогии с окружностью сферу рассматривают как множество всех точек равноудалённых от заданной точки, но только всех точек не плоскости, а пространства.

Рисунок 1 – Сфера с центром в точке О и радиусом R

Данная точка О называется центром сферы, а заданное расстояние – радиусом сферы (обозначается R). Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром (обозначается D). D=2R.

Определение

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Определение

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Сферу можно получить ещё одним способом — вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар – вращением полукруга вокруг его диаметра.

2. Уравнение сферы

Прежде чем вывести уравнение сферы введем понятие уравнения поверхности в пространстве. Для этого рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F. Уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.

Пусть сфера имеет центром точку С (x₀; y₀; z₀) и радиус R. Расстояние от любой точки М (x; y; z) до точки С вычисляется по формуле:

МС=

Исходя из понятия уравнения поверхности, следует, что если точка М лежит на данной сфере, то МС=R, или МС²=R², то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению:

Это выражение называют уравнением сферы радиуса R и центром С(x₀; y₀; z₀).

3. Взаимное расположение сферы и плоскости

Взаимное расположение сферы и плоскости зависит от соотношения между радиусом сферы R и расстояния от центра сферы до плоскости d.

1. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, тогда сфера и плоскость пересекаются, и сечение сферы плоскостью есть окружность.

2. Пусть d=R. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы тогда сфера и плоскость имеют только одну общую точку, и в этом случае говорят, что плоскость касается сферы.

3. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Рассмотрим случай касания более подробно.

Определение

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Теорема (свойство касательной плоскости).

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Теорема (признак касательной плоскости):

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

4. Основные формулы

Соотношение между радиусом сферы, радиусом сечения и расстоянием от центра сферы до плоскости сечения:

Формула для вычисления площади поверхности сферы и ее элементов:

S=4πR² – площадь сферы.

S = 2πRh – площадь поверхности сегмента сферы радиуса R с высотой h.

– площадь поверхности сектора с высотой h.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Площадь сечения шара, проходящего через его центр, равна 9 кв. м. Найдите площадь поверхности шара.

Решение:

Площадь круга вычисляется по формуле: S_кр=πR².

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: S_сф=4πR². Радиус шара и радиуса сечения, проходящего через центр шара, одинаковые. Поэтому площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его диаметрального сечения. То есть площадь поверхности шара равна 36.

Ответ: 36

2. Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5.

Решение:

Площадь сферы равна S_сф=4πR². То есть S_сф=100π.

По условию площадь круга некоторого радиуса r также равна 100π. Значит, r² =100, то есть r=10.

Ответ: 10.

3. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13, ВС=14, СА=15

Решение:

Окружность, вписанная в треугольник, является сечением сферы.

Найдем ее радиус.

Площадь треугольника с известными сторонами можно вычислить по формуле Герона: