Площади разных фигур егэ - ExamHelp.top

Все формулы по геометрии. Площади фигур

Чтобы решать задачи по геометрии, надо знать формулы — такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма — а также простые приёмы, о которых мы расскажем.

Начнем с квадрата.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Она также равна произведению его сторон на синус угла между ними.

Для площади треугольника есть целых 5 формул. И все они применяются в задачах ЕГЭ.

1) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне: $S=displaystyle frac{1}{2}ah_a=displaystyle frac{1}{2}bh_b=displaystyle frac{1}{2}ch_c.$

2) Она также равна половине произведения его сторон на синус угла между ними:

$S=displaystyle frac{1}{2}ab{sin C=displaystyle frac{1}{2}ac{sin B= } }displaystyle frac{1}{2}bc{sin A }.$

3) По формуле Герона, где $p=displaystyle frac{1}{2}left(a+b+cright)$ полупериметр.

4) Также площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радис вписанной окружности, S = pr.

5) Еще один способ. Площадь треугольника равна произведению его сторон, деленному на 4 радиуса описанной окружности, $S=displaystyle frac{abc}{4R}.$

Есть и другие формулы для площади треугольника. Но для решения заданий ЕГЭ, и первой, и второй части, достаточно этих пяти.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Она также равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к этой гипотенузе:

$S=displaystyle frac{1}{2}ab=displaystyle frac{1}{2}ch_{ }$

Площадь правильного треугольника равна квадрату его стороны, умноженному на sqrt{3} и деленному на 4:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, $S=displaystyle frac{a+b}{2}cdot h.$

Также можно сказать, что площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту,

Площадь произвольного четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, $S=displaystyle frac{1}{2}ACcdot BDcdot {sin alpha }$

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла ромба. Она также равна половине произведения диагоналей:

Площадь круга равна произведению числа и квадрата радиуса круга.

Ее также можно записать как произведение числа и квадрата диаметра круга, деленного на 4:

Вспомним важные свойства площадей фигур.

Равные фигуры имеют равные площади.
Иногда фигуры, имеющие равные площади, еще называют равновеликими.
Если фигура составлена из нескольких фигур, не имеющих общих внутренних точек, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур.

Пример. Найдем площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см times 1см.

Решение:

Найдем площадь фигуры на рисунке как сумму площадей нескольких фигур.

На рисунке это три треугольника и трапеция, указаны их площади. Тогда площадь фигуры равна 10 + 3,5 + 1,5 + 3 = 18.

Ответ: 18.

3. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Треугольники АВС и на рисунке называются подобными.

У треугольника все стороны в k раз длиннее, чем у треугольника АВС. Высота треугольника в k раз длиннее, чем высота треугольника АВС. Тогда площадь треугольника в k^2 раз больше, чем площадь треугольника АВС.

4. На рисунке показаны треугольники АВС и BCD, имеющие общую высоту. Отношение площадей этих треугольников равно отношению АС к CD:

$displaystyle frac{S_{ABC}}{S_{BCD}}=displaystyle frac{AC}{CD}$

5. Треугольники АВС и АЕС на рисунке имеют одинаковое основание и разные высоты.

Отношение площадей этих треугольников равно отношению их высот:

$displaystyle frac{S_{ABC}}{S_{AEC}}=displaystyle frac{BD}{EH}.$

6. Медиана треугольника делит его на два равновеликих, то есть равных по площади, треугольника.

На рисунке СМ — медиана треугольника АВС. Площади треугольников АСМ и ВСМ равны.

7. Три медианы треугольника делят его на шесть равных по площади треугольников.

На рисунке все 6 треугольников, из которых состоит треугольник АВС, имеют равные лощади.

Задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Площади фигур.

Задача 1. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен ${30}^circ.$

Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними. Поэтому

$S=displaystyle frac{1}{2}cdot 8cdot 12cdot {sin 30{}^circ =displaystyle frac{1}{2}cdot 8cdot 12cdot displaystyle frac{1}{2}=24 }.$

Ответ: 24.

Задача 2. Площадь треугольника ABC равна 4, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треугольника CDE.

Решение:

Так как DE и АВ параллельны, треугольники CDE и САВ подобны с коэффициентом подобия $displaystyle frac{1}{2}.$ Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Тогда

$S=displaystyle frac{1}{4}cdot 4=1.$

Ответ: 1.

Задача 3. У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

Решение:

Выразим площадь двумя способами:
$S_{ABC}=displaystyle frac{1}{2}CHcdot AB=displaystyle frac{1}{2}AKcdot CB.$

Тогда $AK=displaystyle frac{CHcdot AB}{CB}=displaystyle frac{4cdot 9}{6}=6.$

Ответ: 6.

Задача 4. Площадь треугольника ABC равна 10, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.

Решение:

Треугольник CDE подобен треугольнику CAB с коэффициентом $displaystyle frac{1}{2}.$ Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому

$S_{CDE}=displaystyle frac{1}{4}cdot 10=2.5.$

Следовательно, .

Ответ: 7,5.

Задача 5. В параллелограмме ABCD AB = 3, AD = 21, ${sin A=displaystyle frac{6}{7}}$ . Найдите большую высоту параллелограмма.

Решение:

Большая высота — это DH, потому что проведена к меньшей стороне. Из треугольника АDН:

$DH=AD{sin A=21cdot displaystyle frac{6}{7}=3cdot 6=18 }.$

Ответ: 18.

Задача 6. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Решение:

Квадрат — это частный случай ромба. Площадь квадрата равна половине произведения его диагоналей. Поэтому она равна 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 7. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 18, а отношение соседних сторон равно 1:2.

Решение:

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех сторон. Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, тогда вторая равна 2a. Площадь прямоугольника равна тогда одна из сторон равна 3, а другая 6. Периметр P = 2 · 3 + 2 · 6 = 18.

Ответ: 18.

Задача 8. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. Пусть одна сторона параллелограмма и прямоугольника равна вторая равна а острый угол параллелограмма равен alpha . Тогда площадь параллелограмма равна а площадь прямоугольника равна

По условию площадь прямоугольника вдвое больше:

${S_2=2S_1} .$ Следовательно, $acdot b=2acdot bcdot {sin alpha Leftrightarrow {sin alpha }=0,5 }Leftrightarrow alpha =30{}^circ.$

Ответ: 30.

Задача 9. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Пусть высоты равны соответственно a и b. Тогда S = 5 · a = 10 · b = 40. Поэтому a = 8, b = 4. Большая высота равна 8.

Ответ: 8.

Задача 10. Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол 30 ${}^circ.$

Решение:

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла ромба. С другой стороны, площадь ромба равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Пусть сторона ромба равна

Получим уравнение:

$a^2=a{sin alpha }.$

Корень уравнения a = 4, поэтому

Ответ: 8.

Задача 11. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12.

Решение:

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. $S=displaystyle frac{1}{2}cdot 4cdot 12=24.$

Ответ: 24.

Задача 12. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Трапеция равнобедренная, значит,

$AH=displaystyle frac{AB-DC}{2}=6;$

$AD=displaystyle frac{P_{ABCD}-left(AB+DCright)}{2}=10.$

Тогда по теореме Пифагора из треугольника ADH:

$DH=sqrt{{AD}^2-{AH}^2}=8;$

$S=displaystyle frac{AB+CD}{2}cdot DH=20cdot 8=160.$

Ответ: 160.

Задача 13. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45 ${}^circ.$

Решение:

Проведем высоту CH. Треугольник CHB — прямоугольный, в нем

$angle B=45{}^circ ,$ значит, он также равнобедренный, CH = HB = 4.
$S_{ABCD}=displaystyle frac{AB+CD}{2}cdot CH=4cdot 4=16.$

Ответ: 16.

Задача 14. Высота трапеции равна 5, площадь равна 75. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Выразим её из формулы площади трапеции:
$S=displaystyle frac{a+b}{2}cdot hLeftrightarrow displaystyle frac{a+b}{2}cdot 5=75Leftrightarrow displaystyle frac{a+b}{2}=15.$

Ответ: 15.

Задача 15. Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ выразите в градусах.

Решение:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Пусть высота равна h, тогда

$S=displaystyle frac{27+9}{2}cdot h=72.$

Из этого уравнения получим: h = 4.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона трапеции, равная 8, а катетом — высота трапеции. Длина катета равна половине гипотенузы, следовательно, он лежит напротив угла ${30}^circ.$

Ответ: 30.

Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Задача 16. Найдем площадь четырехугольника на рисунке.

Решение:

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным 5. Высоты этих треугольников равны 2 и 3. Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников:

Ответ: 12,5.

В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Задача 17. Найдем площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной 5 и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем:

Ответ: 10,5.

Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.

Задача 18.

Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого равна 2.

Решение:

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна так как R=1. Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как R = 1), а длина дуги данного сектора равна 2, следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть 360 градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: 1.

Формула Пика

Покажем, как вычислять площадь фигуры, изображенной на координатной плоскости, с помощью формулы Пика.

Задача 19. Найдите площадь многоугольника АВСDE, изображенного на рисунке.

Первый способ:

Площадь многоугольника ABCDE равна сумме площадей треугольника BCD, трапеции BKDE и треугольника AKE.

Имеем:

$S_{vartriangle BCD}=displaystyle frac{1}{2}cdot 9cdot 2=9;$

$S_{BKDE}=displaystyle frac{1}{2}cdot (9+3)cdot 2=12;$

$S_{vartriangle AKE}=displaystyle frac{1}{2}cdot 3cdot 4=6;$

$S_{ABCDE}=9+12+6= 27.$

Второй способ — применить формулу Пика.

Назовем точку координатной плоскости целочисленной, если обе ее координаты — целые числа. На нашем рисунке это точки на пересечениях линий, разделяющих клетчатую бумагу на клетки.

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

Здесь В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Главное — аккуратно посчитать. На нашем рисунке

В = 24 (показаны зеленым),

Г = 8 (показаны красным),

S = 24 + $displaystyle frac{8}{2}$ — 1 = 27.

Ответ: 27.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Все формулы по геометрии. Площади фигур» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 240 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Найдите площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Источник: Добровольное тренировочное тестирование Санкт-Петербург 2013.

В выпуклом четырехугольнике KLMN точки A, B, C, D  — середины сторон KL, LM, MN, NK соответственно. Известно, что KL = 3. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O. Площади четырехугольников KAOD, LAOB и NDOC равны соответственно 6, 6 и 9.

а)  Докажите, что площади четырехугольников MCOB и NDOC равны.

б)  Найдите длину отрезка MN.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 49.

На клетчатой бумаге с размером клетки изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 255.

Правильная треугольная призма пересечена плоскостью, проходящей через середины ребер AB, A_1C_1, BB_1. Сторона основания призмы равна 2, а высота призмы равна

а)  Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания призмы.

б)  Найдите площадь сечения.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 250.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ на ребре CC₁ отмечена точка М так, что СМ : С₁М  =  1 : 3. Плоскость АЕМ пересекает ребро ВВ₁ в точке К.

А)  Докажите, что ВК : В₁К  =  1 : 5.

Б)  Найдите площадь сечения призмы плоскостью АЕМ, если АВ  =  3, СС₁  =  8.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 171.

Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см times 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург 2015. Вариант 2., Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2015. Вариант 2.

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 1. Ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Через вершину А параллельно диагонали BD проведено сечение, которое делит ребро SC в отношении 1:2, считая от вершины.

а)  Докажите, что плоскость сечения проходит через середину отрезка SO, где О  — центр основания.

б)  Найдите площадь сечения.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 249.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 267.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см times 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Всего: 240 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

Подготовка к ЕГЭ по математике не может обойтись без изучения геометрии. Задачи на расчет площади и объема фигур, нахождение углов и длин сторон встречаются и в первой, и во второй части. В базовой математике ЕГЭ формулы на объем и площадь представлены в справочных материалах. Тем, кто сдает профильную, придется выучить их. Рассмотрим основную теорию.

Площадь — величина, которая есть у плоских фигур. Ее можно посчитать для квадрата, прямоугольника, параллелограмма, треугольника, ромба, трапеции, круга. Объем присущ трехмерным объектам, таким как куб, шар, параллелепипед, призма, пирамида, конус. Объемные тела условно делят на многогранники (состоят из нескольких многоугольников) и поверхности вращения (есть условная линия, вдоль которой вращается плоская фигура). На вычисление объема это не влияет.

В таблицах представлены основные формулы объемов и площадей фигур для ЕГЭ. Мы советуем сохранить их себе, чтобы пользоваться при подготовке к ЕГЭ и быстро повторить теорию перед экзаменом.

Источник

Формулы площади геометрических фигур

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
Формула площади треугольника по трем сторонам

Формула Герона

S = √p(p — a)(p — b)(p — c)
Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

где S — площадь треугольника,
a, b, c — длины сторон треугольника,
h — высота треугольника,
γ — угол между сторонами a и b,
r — радиус вписанной окружности,
R — радиус описанной окружности,

p = a + b + c — полупериметр треугольника.

2

Формулы площади квадрата

Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

S = a²
Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

где S — площадь квадрата,
a — длина стороны квадрата,
d — длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон

S = a · b

где S — Площадь прямоугольника,
a, b — длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

S = a · h
Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

S = a · b · sin α
Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними
Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.

где S — Площадь параллелограмма,
a, b — длины сторон параллелограмма,
h — длина высоты параллелограмма,
d₁, d₂ — длины диагоналей параллелограмма,
α — угол между сторонами параллелограмма,
γ — угол между диагоналями параллелограмма.

Формулы площади ромба

Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

S = a · h
Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

S = a² · sin α
Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

где S — Площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
h — длина высоты ромба,
α — угол между сторонами ромба,
d₁, d₂ — длины диагоналей.

Формулы площади трапеции

Формула Герона для трапеции

S = a + b √(p-a)(p-b)(p-a-c)(p-a-d)

|a — b|
Формула площади трапеции по длине основ и высоте

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту

где S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
c, d — длины боковых сторон трапеции,

p = a + b + c + d — полупериметр трапеции.

2

Формулы площади выпуклого четырехугольника

Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними

Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними:

где S — площадь четырехугольника,
d₁, d₂ — длины диагоналей четырехугольника,
α — угол между диагоналями четырехугольника.
Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности)

Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности

S = p · r
Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов

S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d) — abcd cos²θ

где S — площадь четырехугольника,

a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,

p = a + b + c + d2 — полупериметр четырехугольника,

θ = α + β2 — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.
Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность

S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)

Формулы площади круга

Формула площади круга через радиус
Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.

S = π r²
Формула площади круга через диаметр
Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи.

где S — Площадь круга,
r — длина радиуса круга,
d — длина диаметра круга.

Формулы площади эллипса

Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи.

S = π · a · b

где S — Площадь эллипса,

a — длина большей полуоси эллипса,

b — длина меньшей полуоси эллипса.

Источник

Площади фигур. Основные формулы.

Площадь треугольника.

Формула	Рисунок	Расшифровка формулы
		а — основание, h — высота, проведенная к этому основанию. Формула применима для любого треугольника.
		a, b — стороны, α — угол между этими сторонами. Формула применима для любого треугольника.
		a, b, с — стороны, р — полупериметр (сумма трех сторон, деленная пополам). Формула применима для любого треугольника.
		r — радиус вписанной в треугольник окружности, р — полупериметр (сумма трех сторон, деленная пополам). Формула применима для любого треугольника.
		a, b, с — стороны, R — радиус описанной около треугольника окружности, d — диаметр описанной окружности. Формула применима для любого треугольника.
		R — радиус описанной около треугольника окружности, α, β, γ — углы треугольника. Формула применима для любого треугольника.
		a, b — катеты. Формула применима для прямоугольного треугольника.
		a — сторона. Формула применима для равностороннего (правильного) треугольника.

Площадь квадрата и прямоугольника.

Площадь параллелограмма и ромба.

Формула	Рисунок	Расшифровка формулы
		а — одна из сторон параллелограмма, h — высота, проведенная к этой стороне
		а, b — стороны параллелограмма, α — угол между этими сторонами
		d₁, d₂ — диагонали, α — угол между диагоналями (можно брать любой угол, т.к. синусы смежных углов равны)
		а — сторона ромба, h — высота, проведенная к этой стороне
		а — сторона ромба, α — угол между этими сторонами
		d₁, d₂ — диагонали ромба

Площадь трапеции.

Формула	Рисунок	Расшифровка формулы
		а, b — основания трапеции, h — высота. Формула применима для любой* трапеции.
		m — средняя линия трапеции, h — высота. Формула применима для любой трапеции.
		d₁, d₂ — диагонали трапеции, α — угол между диагоналями (можно брать любой угол, т.к. синусы смежных углов равны). Формула применима для любой трапеции.

*Любая трапеция — это и равнобедренная, и прямоугольная, и тупоугольная, и произвольная

Площадь круга и кругового сектора.

Площадь многоугольника.

Формула

Рисунок

Расшифровка формулы

р — полупериметр (сумма всех сторон многоугольника, деланная на 2), r — радиус вписанной в этот многоугольник окружности.

*Пятиугольник нарисован для примера.

Формула работает как для правильного, так и для произвольного многоугольника, главное, чтобы в него можно было вписать окружность.

Источник

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Вычисление объемов фигур

Задание
1

#3043

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Радиус первого шара в (5) раз больше радиуса второго шара. Во сколько раз площадь поверхности второго шара меньше площади поверхности первого шара?

Площадь поверхности шара радиуса (R) ищется по формуле (S=4pi R^2). Следовательно, площадь поверхности первого шара относится к площади поверхности второго шара как [dfrac{S_1}{S_2}=dfrac{4pi , R_1^2}{4pi , R_2^2}] Так как радиус первого шара больше радиуса второго шара в 5 раз, то (R_1=5R_2). Следовательно, [dfrac{S_1}{S_2}=dfrac{(5R_2)^2}{R_2^2}=25.] Следовательно, площадь поверхности первого шара в 25 раз больше площади поверхности второго, значит, площадь поверхности второго в 25 раз меньше.

Ответ: 25

Задание
2

#3046

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Даны два конуса. Радиус второго конуса в (3) раза больше радиуса первого конуса, а высота второго конуса в (6) раз меньше высоты первого конуса. Найдите объем первого конуса, если объем второго конуса равен (18).

Объем конуса с высотой (h) и радиусом основания (R) вычисляется по формуле (V=frac13pi R^2h). Следовательно, объем первого конуса относится к объему второго конуса как [dfrac{V_1}{18}=dfrac{V_1}{V_2}=
dfrac{frac13pi ,R_1^2,h_1}{frac13 pi
,R_2^2,h_2}=left(dfrac{R_1}{R_2}right)^2cdot
dfrac{h_1}{h_2}] Так как радиус второго в 3 раза больше радиуса первого, то (R_2=3R_1). Так как высота второго в 6 раз меньше высоты первого, то (h_1=6h_2). Следовательно, [dfrac{V_1}{18}=left(dfrac{R_1}{3R_1}right)^2cdot dfrac{6h_2}{h_2}=
dfrac19cdot 6=dfrac23 quadRightarrowquad V_1=dfrac23cdot
18=12.]

Ответ: 12

Задание
3

#3048

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Даны два конуса: (K_1) и (K_2). Площадь полной поверхности (K_1) относится к площади полной поверхности (K_2) как (4:1). Известно, что радиус (K_1) в 4 раза больше образующей (K_1) и в 2 раза больше радиуса (K_2). Найдите отношение образующей (K_2) к образующей (K_1).

Площадь полной поверхности конуса с образующей (l) и радиусом основания (R) ищется по формуле (S=pi R (R+l)). Тогда площадь полной поверхности (K_1) относится к площади полной поверхности (K_2) как [dfrac41=dfrac{pi ,R_1cdot (R_1+l_1)}{pi , R_2cdot (R_2+l_2)}] Из условия следует, что (R_1=4l_1), (R_2=frac12R_1=2l_1), следовательно, [dfrac41=dfrac{4l_1cdot (4l_1+l_1)}{2l_1cdot (2l_1+l_2)}
quadRightarrowquad dfrac{l_2}{l_1}=dfrac12=0,5]

Ответ: 0,5

Задание
4

#3044

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Во сколько раз радиус первого шара больше радиуса второго шара, если объем первого шара в (343) раза больше объема второго шара?

Объем шара радиуса (R) ищется по формуле (V=dfrac43 pi R^3). Следовательно, объем первого шара относится к объему второго как [dfrac{343}1=dfrac{V_1}{V_2}=dfrac{frac43 pi , R_1^3}{frac43 pi , R_2^3}=
left(dfrac{R_1}{R_2}right)^3 quadRightarrowquad
dfrac{R_1}{R_2}=sqrt[3]{343}=7.] Следовательно, радиус первого шара в 7 раз больше радиуса второго шара.

Ответ: 7

Задание
5

#3051

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Объем первого прямоугольного параллелепипеда равен 105. Найдите объем второго прямоугольного параллелепипеда, если известно, что высота первого параллелепипеда в 7 раз больше высоты второго, ширина второго в 2 раза больше ширины первого, а длина первого в 3 раза больше длины второго.

Пусть буквы (a), (b) и (c) обозначают высоту, ширину и длину соответственно. Объем прямоугольного параллелепипеда ищется по формуле (V=abc). Следовательно, объем первого параллелепипеда относится к объему второго как [dfrac{105}{V_2}=dfrac{V_1}{V_2}=dfrac{a_1b_1c_1}{a_2b_2c_2}] Из условия следует, что (a_1=7a_2), (b_2=2b_1), (c_1=3c_2). Тогда [dfrac{105}{V_2}=dfrac{7a_2cdot b_1cdot 3c_2}{a_2cdot 2b_1cdot c_2}=
dfrac{7cdot 3}2 quadRightarrowquad V_2=dfrac{105cdot
2}{21}=10.]

Ответ: 10

Задание
6

#3049

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Площадь боковой поверхности первого цилиндра равна (16). Найдите площадь боковой поверхности второго цилиндра, если его радиус в 4 раза больше радиуса первого, а высота в 5 раз меньше высоты первого цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра с высотой (H) и радиусом основания (R) ищется по формуле (S=2pi RH). Тогда площадь бок. поверхности первого цилиндра относится к площади бок. поверхности второго как [dfrac{16}{S_2}=dfrac{S_1}{S_2}=dfrac{2pi ,R_1,H_1}{2pi ,R_2,H_2}=
dfrac{R_1}{R_2}cdot dfrac{H_1}{H_2}] Из условия следует, что (R_2=4R_1), (H_1=5H_2), значит, [dfrac{16}{S_2}=dfrac{R_1}{4R_1}cdot dfrac{5H_2}{H_2}=
dfrac14cdot 5=dfrac54] Следовательно, [S_2=dfrac{16cdot 4}5=12,8.]

Ответ: 12,8

Задание
7

#3047

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Площадь боковой поверхности первого конуса относится к площади боковой поверхности второго конуса как (3:7). Найдите отношение образующей первого конуса к образующей второго конуса, если радиус первого конуса относится к радиусу второго как (15:7).

Площадь боковой поверхности конуса с образующей (l) и радиусом основания (R) ищется по формуле (S=pi Rl). Тогда площадь бок. поверхности первого конуса относится к площади бок. поверхности второго как [dfrac 37=dfrac{S_1}{S_2}=dfrac{pi R_1,l_1}{pi R_2,l_2}] Так как радиус первого конуса относится к радиусу второго как (15:7), то есть (frac{R_1}{R_2}=frac{15}7), то [dfrac37=dfrac {15}7cdot dfrac{l_1}{l_2} quadRightarrowquad
dfrac{l_1}{l_2}=dfrac37cdot dfrac7{15}=dfrac15=0,2.]

Ответ: 0,2

Во время подготовки к сдаче ЕГЭ по математике повторение базовых формул из школьного курса геометрии в пространстве (стереометрии), в том числе и для вычисления объемов фигур, является одним из основных этапов. И хотя на изучение этого раздела отводится достаточно большое количество времени в рамках учебной программы, многим выпускникам требуется освежить в памяти основной материал.

Понимая, как осуществляется вычисление площадей объемных фигур, учащиеся значительно повышают свои шансы на получение достойных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Базовая информация

Объем геометрической фигуры — это количественная характеристика пространства, которое занимает тело. Она определяется его формой и размерами.
Чтобы задачи на вычисление объемов геометрических фигур не вызывали затруднений, рекомендуем освежить в памяти основные формулы.

Объем куба равняется кубу длины его грани.

Для его расчета используется формула: V = a³, где V — объем куба,
a — длина его грани.

Объем призмы равняется произведению площади основания фигуры на высоту.
Чтобы его рассчитать, воспользуйтесь следующий формулой: V = S_o h, где V — объем призмы, So — площадь ее основания, h — ее высота.
Объем прямоугольного параллелепипеда равняется произведению его длины, ширины и высоты.
Формула для его расчета: V = a · b · h, где a — длина,
b — ширина, h — высота.
Объем пирамиды равняется трети от произведения площади ее основания на высоту.

Рассчитать его можно по формуле:

V =
1/3
S_o· h ,

где V — объем пирамиды, So — площадь основания пирамиды, h — длина высоты пирамиды.

Объем цилиндра равняется произведению площади его основания на высоту.
Формулы для его расчета:

V =

π R² h

V =

S_o h

Где V — объем цилиндра, So — площадь основания цилиндра, R — радиус цилиндра, h — высота цилиндра, π = 3.141592.

Как сделать процесс подготовки к аттестационному испытанию более легким и эффективным?

Наш образовательный портал предлагает выстроить занятия по-новому. Переходя от простого к сложному, выпускники смогут определить непонятные для себя темы и улучшить собственные знания.

Весь базовый материал по теме «Вычисление площадей и объемов фигур» собран в разделе «Теоретическая справка». Освежив в памяти эту информацию, учащиеся смогут попрактиковаться в решении задач. Большая подборка упражнений как простого, так и экспертного уровня представлена в разделе «Каталог». База заданий регулярно дополняется.

Решать задачи на вычисление объемов фигур или на построение сечения геометрических фигур школьники могут в режиме онлайн. Функционал образовательного сайта «Школково» позволяет сохранять упражнения в разделе «Избранное». Благодаря этому учащиеся смогут вернуться к задаче необходимое количество раз и обсудить ход ее решения со школьным учителем или репетитором.

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Содержание:

1. Модуль
1: Основные формулы площадей.

2. Модуль
2: Методы нахождения площадей.

3. Модуль
3: Задачи с решением.

4. Модуль
4: Задачи для закрепления.

5. Модуль
5: Задачи для самостоятельной работы и зачета.

Модуль
1. Теоретическая часть

1.1.Основные
определения и формулы для площадей фигур.

Прямоугольник.

Прямоугольником
называется четырехугольник, у которого все углы равны. Все углы в
прямоугольнике прямые, т.е. составляют 90°.Площадь прямоугольника равна
произведению его сторон .

Квадрат.

Квадратом
называется параллелограмм с
прямыми углами и равными сторонами. Квадрат есть частный вид прямоугольника, а
также частный вид ромба. См. также площадь ромба.
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны. Или половине квадрата
диагонали.

;

Трапеция.

Трапецией называется
четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не
параллельны. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее
оснований на высоту.

Площадь трапеции равна произведению её средней
линии на высоту.

Параллелограмм.

Параллелограммом называется
четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно
параллельны. Площадь параллелограмма равна произведению его
основания на высоту.

Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних его
сторон на синус угла между ними.

Правильный многоугольник.

Для
того чтобы вычислить площадь правильного многоугольника его разбивают
на равные треугольники с общей вершиной в центре вписанной окружности. А
площадь правильного многоугольника равна произведению его полупериметра
на радиус вписанной окружности правильного
многоугольника.

Выпуклый четырёхугольник.

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения
его диагоналей на синус угла между ними.

Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, равна корню
квадратному из произведения разностей полупериметра этого четырёхугольника и
всех его сторон

Ромб.

Ромбом называется параллелограмм с
равными сторонами. Квадрат есть частный вид ромба. У квадрата диагонали равны.
См. также площадь квадрата. Площадь
ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь ромба равна произведению
квадрата его стороны на синус одного из его углов.

Сектор.

Сектор
круга, окружности — это часть круга, окружности ограниченная
дугой и двумя радиусами, проведенными к концам дуги. Площадь сектора
круга равна произведению половины длины дуги
сектора на радиус круга.

Площадь кругового сектора равна произведению площади единичного
сектора (сектор, соответствующий центральному углу с мерой равной единице) на
меру центрального угла, соответствующего данному сектору ( формулы для случаев градусной и радианной мер центральных
углов).

Окружность.

Окружность есть
геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной ее точки. Равные
отрезки, соединяющие центр с точками окружности, называются радиусами. Круг
есть часть плоскости, лежащая внутри окружности. Площадь круга равна
произведению полуокружности на радиус.

Площадь
сегмента круга, окружности.

Сегмент круга, окружности — это
часть круга, окружности,
ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Площадь сегмента круга, окружности
находится, как разность площади сектора и площади равнобедренного треугольника выраженную через угол.

Площадь кольца.

Площадь
кольца через радиусы находится как произведение числаπ на разность
квадратов внешнего и внутреннего радиусов кольца.

Площадь кольца через
диаметры находится как произведение одной четвертой числа π на
разность квадратов внешнего и внутреннего диаметров кольца.

Площадь кругового кольца равна удвоенному произведению числа
«пи», среднего радиуса кольца и его ширины.

Площадь сектора кольца.

Сектор
кольца — это часть круга, окружности ограниченная дугами разных радиусов и
двумя линиями радиусами, проведенными к концам дуги большего радиуса.

Площадь сектора кольца вычисляется
как разность площадей большего и меньшего секторов круга.

Площадь сектора кольца если угол в
градусах, вычисляется как произведение числа π на отношение угла
сектора к углу полной окружности 360° и на разность квадратов большего и
меньшего радиусов.

Площадь треугольника.

Треугольник образуется
соединением отрезками трех точек, не лежащих на одной прямой. При этом точки
называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. Площадь
треугольника равна произведению половины основания треугольника на его
высоту.

Площадь треугольника по формуле
Герона равна корню из произведения разностей полупериметра треугольника
(p) и каждой из его сторон.

Если
известно две стороны треугольника и угол
между ними, то площадь данного треугольника вычисляется, как половина
произведения этих сторон умноженная на синус угла между ними.

Если
один из углов прямой, то треугольник — прямоугольный. Площадь прямоугольного
треугольника равна половине произведения катетов треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника
вычисляется по классической формуле площади
треугольника — произведение половины
основания треугольника на его высоту. Высоту мы подставим в эту формулу
из формулы высоты равнобедренного
треугольника.

Площадь
равностороннего треугольника вычисляется по классической формуле площади
треугольника — произведение половины
основания треугольника на его высоту. Высоту мы подставим в эту формулу
из формулы высоты равностороннего
треугольника

Площадь треугольника равна отношению произведения
квадрата его стороны на синусы прилежащих углов к удвоенному синусу
противолежащего угла.

Площадь треугольника равна отношению произведения
квадрата его высоты на синус угла, из вершины которого проведена эта высота, к
удвоенному произведению синусов двух других углов.

Площадь треугольника равна произведению квадрата
его полупериметра на тангенсы половин всех углов треугольника.

Площадь
треугольника равна отношению произведения всех его сторон к четырём радиусам,
описанной около него окружности.

Площадь треугольника равна удвоенному
произведению квадрата радиуса, описанной около него окружности, и синусов всех
его углов.

Площадь треугольника (многоугольника) равна
произведению его полупериметра и радиуса окружности, вписанной в этот
треугольник (многоугольник).

Площадь треугольника равна произведению квадрата
радиуса вписанной окружности на котангенсы половин всех углов треугольника.

Шар и сфера.

Шаровой,
или сферической поверхностью (иногда просто сферой) называется геометрическое
место точек пространства, равноудаленных от одной точки — центра шара. Площадь
поверхности сферы равна учетверенной площади большого круга:

Куб.

Прямоугольный параллелепипед,
все грани которого — квадраты, называется кубом. Все ребра куба равны,
а площадь поверхности куба равна сумме площадей шести его граней, т.е.площади квадрата со
стороной H умноженной на шесть. Площадь поверхности куба равна.

Конус.

Круглый конус может
быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг
одного из его катетов, поэтому круглый конус называют также конусом вращения.

Боковая площадь поверхности круглого
конуса равна произведению половины окружности основания на образующую.

Цилиндр.

Цилиндрической
поверхностью называется поверхность, образуемая прямой, сохраняющей одно и тоже
направление и пересекающей направляющую линию. Цилиндр —
круговой если в основании его лежит круг. Площадь боковой поверхности круглого
цилиндра равна произведению длины окружности основания
на высоту.

Прямоугольный параллелепипед.

Параллелепипедом
называется призма, основание которой параллелограмм. Параллелепипед
имеет шесть граней, и все они — параллелограммы. Параллелепипед, четыре боковые
грани которого — прямоугольники, называется прямым. Прямой параллелепипед у
которого все шесть граней прямоугольники, называется
прямоугольным. Площадь поверхности прямоугольного
параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трех граней этого
параллелепипеда.

Усеченный конус.

Усеченный
конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию.
Тело ограниченное этим сечением, основанием и боковой поверхностью конуса
называется усеченным конусом. Боковая площадь поверхности усеченного
конуса вычисляется по формуле.

Шаровой сегмент.

Часть
шара, осекаемая от него какой-нибудь плоскостью, называется шаровым или
сферическим сегментом. Основанием шарового сегмента называется круг ABCD.
Высотой шарового сегмента называется отрезок NM, т.е. длина перпендикуляра,
восстановленного из центра N основания до пересечения с поверхностью
шара. Точка M называется вершиной шарового сегмента. Площадь
поверхности шарового сегмента равняется произведению его высоты на
окружность большого круга шара.

Шаровой
слой.

Шаровой слой — это часть шара,
заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями. Шаровой пояс или Шаровая
зона — это кривая поверхность шарового слоя. Круги ABC и DEF это основания
шарового пояса. Расстояние между основаниями это высота шарового слоя. Кривая
поверхность шарового слоя равна произведению его высоты на окружность
большого круга шара.

Шаровой сектор.

Шаровой
сектор — это часть шара, ограниченная кривой поверхностью шарового
сегмента и конической поверхностью основанием которой служит основание
сегмента, а вершиной — центр шара. Поверхность шарового сектора складывается из
кривых поверхностей шарового сегмента и конуса. Зная радиус основания сегмента
и конуса r при помощи теоремы Пифагора и прямоугольного треугольника
получим высоты сегмента и конуса:

1.2.Справочные
таблицы «Площади плоских фигур, площади поверхности и объема тел вращения»

Модуль
2. Методы нахождения площади плоских фигур.

Рассмотрим несколько способов нахождения
площади плоских фигур:

·
формула Пика,

·
метод обводки.

1.1
Формула Пика.

Формула, при помощи которой можно находить площадь фигуры
построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник,
многоугольник). Об этой формуле обычно рассказывается применительно к
нахождению площади треугольника. На примере треугольника мы её и рассмотрим.

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:

М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и
вершинах)

N – количество узлов внутри треугольника

*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.

Найдём
площадь треугольника: Отметим узлы:

1 клетка = 1 см

M = 15 (обозначены красным)

N = 34 (обозначены синим)

Пример 1. Найдём площадь параллелограмма:
Отметим узлы:

M = 18 (обозначены красным)

N = 20 (обозначены синим)

Пример 2. Найдём площадь трапеции: Отметим
узлы:

M = 24 (обозначены красным)

N = 25 (обозначены синим)

Пример 3. Найдём площадь многоугольника:
Отметим узлы:

M = 14 (обозначены красным)

N = 43 (обозначены синим)

Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма,
треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур.
Но знайте, что можно это делать и таким образом. А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта
формула работает хорошо.

Теперь взгляните на следующие фигуры:

Это типовые фигуры, в заданиях стоит вопрос о нахождении их
площади. При помощи формулы Пика такие задачи решаются за минуту. Например,
найдём площадь фигуры:

M = 11 (обозначены красным)

N = 5 (обозначены синим)

Ответ: 9,5

1.2 Метод обводки.

Достроить
искомую фигуру до прямоугольника.
Найти
площадь всех получившихся дополнительных фигур и площадь самого
прямоугольника.
Из
площади прямоугольника вычесть сумму площадей всех лишних фигур.

Бывает,
что не так-то просто рассчитать, сколько клеток в нужном отрезке. Вот смотри, треугольник:

Вроде бы даже прямоугольный и S=12⋅abS=21⋅ab, но чему
тут равно aa, и чему
равно bb? Как узнать?
Применим для полной ясности оба способа

I способ.

Найдем по
теореме Пифагора из ΔADC а по
теореме Пифагора из ΔBCE.
На листе в клетку легко посчитать длину катетов.

Итак:

Значит,

Теперь

Значит,

Подставляем в формулу:

Значит,

II способ

Нужно окружить нашу фигуру прямоугольником. Вот
так:

Получился
один (нужный) треугольник внутри и три ненужных треугольника снаружи. Но
площади этих ненужных треугольников легко считаются на листе в клетку. Посчитаем
их, а потом просто вычтем из целого прямоугольника.

Итак,

Почему же этот способ лучше? Потому что он работает
и для любых фигур. К примеру, нужно посчитать площадь такой фигуры:

Окружаем
ее прямоугольником и снова получаем одну нужную, но сложную площадь и много
ненужных, но простых.

А теперь чтобы найти
площадь просто находим площадь прямоугольника и вычитаем из него оставшуюся
площадь фигур на клетчатой бумаге.

Значит,

Вот и ответ:

Модуль
3: Задачи с решением.

1. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого
на клетчатой бумаге
с размером клетки 1 см * 1 см. Ответ
дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:
Разобьём четырёхугольник
диагональю РС на два треугольника. Диагональ эта хороша тем, что идёт под
углом 45° к горизонту. Проведём через точки А и В прямые, параллельные диагонали.

Если на верхней прямой взять любую точку Т, то площадь треугольника РТС окажется равной площади треугольника РАС, т.к. основание РС у них общее,
а высоты, проведённые к РС, равны. Такие же рассуждения
о точке К.

Таким образом, если удачно разместить точки Т и К, как на рисунке
выше, то

S_ACBP = S_PAC + S_PBC = S_PTC + S_PKC = S_TKP = 0,5·6·3 = 9

Ответ: 9

Возможны и другие варианты
расположения точек Т и
К:

2. Найдите
площадь фигуры, изображенной на рисунке, считая стороны квадратных клеток
равными единице.

Решение:

Отрежем у данной фигуры все полукруглые части (выпуклости),
которые выходят за рамки квадрата 4·4, и аккуратно упакуем их
на свободные в квадрате места.
Площадь данной причудливой фигуры просто равна площади квадрата 4·4 =
16.
Ответ: 16

3.
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой
бумаге с размером клетки 1 см * 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:

Опишем около неё прямоугольник.

Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем
площади полученных простых фигур:

Ответ: 4,5

4. Найдите
площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки
1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

5. Найдите
площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки
1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

6. На
клетчатой бумаге нарисован круг площадью 93. Найдите площадь заштрихованного
сектора.

7. На
клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 9.
Найдите площадь заштрихованной фигуры.

8. Найдите
(в см²) площадь S
фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером
клетки 1см×1см. В ответе запишите S/π.

9. Найдите
площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки
1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Модуль
4. Задачи для закрепления.

1.
Найдите площадь треугольника ABC,
считая стороны квадратных клеток равными 1.

2.
Найдите площадь треугольника ABC,
считая стороны квадратных клеток равными 1.

3.
Найдите площадь прямоугольника ABCD,
считая стороны квадратных клеток равными 1.

4.
Найдите площадь ромба ABCD,
считая стороны квадратных клеток равными 1.

5.
Найдите площадь трапеции ABCD,
считая стороны квадратных клеток равными 1.

6.
Найдите площадь трапеции ABCD,
считая стороны квадратных клеток равными 1.

7.
Найдите площадь четырехугольника ABCD,
считая стороны квадратных клеток равными 1.

8.
Найдите площадь четырехугольника ABCD,
считая стороны квадратных клеток равными 1.

9.
Найдите площадь S сектора,
считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите .

10.
Найдите площадь S кольца,
считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите .

11. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют
координаты (1, 1), (4,4), (5, 1).

12.
Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1, 0), (0,
2), (4, 4), (5, 2).

13. Найдите площадь S круга,
изображенного на рисунке. В ответе укажите . Размер каждой клетки 1
см ×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

14. Найдите площадь S круга,
описанного около прямоугольника ABCD. Размер каждой клетки на чертеже
равен 1см *1см. В ответе укажите (в кв. см).

15. В ромб ABCD, площадь которого
равна , вписан круг. Найдите
площадь круга, если размер каждой клетки на чертеже равен 1см *1см.

16.Найдите площадь S круга,
описанного около прямоугольника ABCD. Размер каждой клетки на чертеже
равен 1см *1см. В ответе укажите (в кв. см).

17. Найдите площадь круга, описанного
около прямоугольного треугольника АВС. Размер каждой клетки на чертеже
равен 1см *1см. В ответе укажите ( в кв. см).

18. Найдите площадь круга, описанного
около прямоугольного треугольника АВС. Размер каждой клетки на чертеже
равен 1см*1см. В ответе укажите (в кв. см).

19. Найдите площадь S круга,
описанного около четырехугольника, изображенного на рисунке. В ответе укажите . Размер каждой клетки 1
см × 1 см. Ответ дайте в сантиметрах.

20. Найдите площадь S круга,
описанного около четырехугольника, изображенного на рисунке. В ответе укажите . Размер каждой клетки 1
см × 1 см. Ответ дайте в сантиметрах.

21. Найдите площадь S круга,
изображенного на рисунке. В ответе укажите . Размер каждой клетки 1
см ×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

22. Найдите площадь S сектора. В
ответе укажите . Размер каждой клетки 1
см ×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

23. Найдите площадь S заштрихованной
части кругового сектора АОВ. Размер каждой клетки на чертеже равен 1см *1см.
В ответе укажите (в кв. см).

24.Найдите площадь круга, описанного около
прямоугольника АВСD. Размер каждой клетки на чертеже равен 1см 1см.
В ответе укажите (в кв. см).

25. Два одинаковых круга касаются друг
друга и сторон прямоугольника ABCD. Найдите площадь одного круга, если площадь
прямоугольника равна .

26. Две одинаковых окружности касаются
друг друга и сторон прямоугольника ABCD. Найдите периметр прямоугольника, если
длина каждой окружности равна 3,6

27. Диаметр полукруга совпадает со
стороной прямоугольника ABCD, а 3 другие стороны прямоугольника касаются
полукруга. Найдите длину полуокружности, если периметр прямоугольника равен .

Модуль
5. Задачи для самостоятельных и зачетных работ.

1. На клетчатой
бумаге с клетками размером 1 см 1 см
изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных
сантиметрах.

2. Найдите площадь квадрата ABCD, считая стороны квадратных
клеток равными 1.

3. Найдите площадь квадрата, вершины которого
имеют координаты (4;3), (10;3), (10;9), (4;9).

4. Во сколько раз площадь квадрата, описанного
около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

5. В прямоугольнике расстояние от точки пересечения
диагоналей до меньшей стороны на 1 больше, чем расстояние от нее до
большей стороны. Периметр прямоугольника равен 28. Найдите меньшую
сторону прямоугольника.

6. На клетчатой бумаге с клетками размером 1
см 1 см изображен параллелограмм (см. рисунок).
Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

7. Найдите площадь параллелограмма, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.

9. Найдите периметр четырехугольника , если стороны квадратных клеток равны .

10. На клетчатой бумаге с клетками размером 1
см 1 см изображена трапеция (см. рисунок).
Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

11. На клетчатой бумаге с клетками размером 1
см 1 см изображена трапеция (см. рисунок).
Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

12. Найдите площадь трапеции, вершины которой
имеют координаты (1;1), (10;1), (8;6), (5;6).

13. Найдите высоту трапеции , опущенную из вершины , если стороны квадратных клеток равны .

14. На клетчатой бумаге с клетками размером
1 см 1 см изображена фигура (см. рисунок).
Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

15.
Найдите площадь четырехугольника,
вершины которого имеют координаты (8;0), (10;8), (2;10), (0;2).

16. Найдите площадь четырехугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.

17. Найдите
площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером
клетки 1 см 1
см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

18. Найдите площадь четырехугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

19.
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на
клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1
см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

20. Найдите площадь четырехугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах

21. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён
треугольник. Найдите радиус описаной около него окружности.

22. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь
внутреннего круга равна 11. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

23.
Найдите площадь четырехугольника, вершины
которого имеют координаты (1;7), (8;2), (8;4), (1;9).

24. Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной
плоскости.

25. Точки O(0;
0), A(10; 0), B(8; 6), C(2; 6) являются вершинами
трапеции. Найдите длину ее средней линии DE.

26. Найдите (в см²) площадь S закрашенной фигуры,
изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). В ответе запишите .

27. Найдите площадь сектора круга радиуса , центральный угол которого равен 90°

28. . Найдите
центральный угол сектора круга радиуса , площадь которого равна . Ответ дайте в градусах.

29. На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь
внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

30. На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь
внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Зачет

№1

Найдите площадь окрашенной фигуры,
изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см *1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

10.

№2

10.

№3

В детском саду дети делали аппликации
родителям в подарок. Найдите площадь аппликации (окрашенной фигуры),
изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см*1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

№4 В детском саду дети делали фото- рамки
родителям в подарок. Найдите площадь фото-рамки (окрашенной фигуры),
изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см *1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.