Площади всех фигур егэ профиль математика - ExamHelp.top

Все формулы по геометрии. Площади фигур

Чтобы решать задачи по геометрии, надо знать формулы — такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма — а также простые приёмы, о которых мы расскажем.

Начнем с квадрата.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Она также равна произведению его сторон на синус угла между ними.

Для площади треугольника есть целых 5 формул. И все они применяются в задачах ЕГЭ.

1) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне: $S=displaystyle frac{1}{2}ah_a=displaystyle frac{1}{2}bh_b=displaystyle frac{1}{2}ch_c.$

2) Она также равна половине произведения его сторон на синус угла между ними:

$S=displaystyle frac{1}{2}ab{sin C=displaystyle frac{1}{2}ac{sin B= } }displaystyle frac{1}{2}bc{sin A }.$

3) По формуле Герона, где $p=displaystyle frac{1}{2}left(a+b+cright)$ полупериметр.

4) Также площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радис вписанной окружности, S = pr.

5) Еще один способ. Площадь треугольника равна произведению его сторон, деленному на 4 радиуса описанной окружности, $S=displaystyle frac{abc}{4R}.$

Есть и другие формулы для площади треугольника. Но для решения заданий ЕГЭ, и первой, и второй части, достаточно этих пяти.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Она также равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к этой гипотенузе:

$S=displaystyle frac{1}{2}ab=displaystyle frac{1}{2}ch_{ }$

Площадь правильного треугольника равна квадрату его стороны, умноженному на sqrt{3} и деленному на 4:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, $S=displaystyle frac{a+b}{2}cdot h.$

Также можно сказать, что площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту,

Площадь произвольного четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, $S=displaystyle frac{1}{2}ACcdot BDcdot {sin alpha }$

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла ромба. Она также равна половине произведения диагоналей:

Площадь круга равна произведению числа и квадрата радиуса круга.

Ее также можно записать как произведение числа и квадрата диаметра круга, деленного на 4:

Вспомним важные свойства площадей фигур.

Равные фигуры имеют равные площади.
Иногда фигуры, имеющие равные площади, еще называют равновеликими.
Если фигура составлена из нескольких фигур, не имеющих общих внутренних точек, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур.

Пример. Найдем площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см times 1см.

Решение:

Найдем площадь фигуры на рисунке как сумму площадей нескольких фигур.

На рисунке это три треугольника и трапеция, указаны их площади. Тогда площадь фигуры равна 10 + 3,5 + 1,5 + 3 = 18.

Ответ: 18.

3. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Треугольники АВС и на рисунке называются подобными.

У треугольника все стороны в k раз длиннее, чем у треугольника АВС. Высота треугольника в k раз длиннее, чем высота треугольника АВС. Тогда площадь треугольника в k^2 раз больше, чем площадь треугольника АВС.

4. На рисунке показаны треугольники АВС и BCD, имеющие общую высоту. Отношение площадей этих треугольников равно отношению АС к CD:

$displaystyle frac{S_{ABC}}{S_{BCD}}=displaystyle frac{AC}{CD}$

5. Треугольники АВС и АЕС на рисунке имеют одинаковое основание и разные высоты.

Отношение площадей этих треугольников равно отношению их высот:

$displaystyle frac{S_{ABC}}{S_{AEC}}=displaystyle frac{BD}{EH}.$

6. Медиана треугольника делит его на два равновеликих, то есть равных по площади, треугольника.

На рисунке СМ — медиана треугольника АВС. Площади треугольников АСМ и ВСМ равны.

7. Три медианы треугольника делят его на шесть равных по площади треугольников.

На рисунке все 6 треугольников, из которых состоит треугольник АВС, имеют равные лощади.

Задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Площади фигур.

Задача 1. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен ${30}^circ.$

Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними. Поэтому

$S=displaystyle frac{1}{2}cdot 8cdot 12cdot {sin 30{}^circ =displaystyle frac{1}{2}cdot 8cdot 12cdot displaystyle frac{1}{2}=24 }.$

Ответ: 24.

Задача 2. Площадь треугольника ABC равна 4, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треугольника CDE.

Решение:

Так как DE и АВ параллельны, треугольники CDE и САВ подобны с коэффициентом подобия $displaystyle frac{1}{2}.$ Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Тогда

$S=displaystyle frac{1}{4}cdot 4=1.$

Ответ: 1.

Задача 3. У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

Решение:

Выразим площадь двумя способами:
$S_{ABC}=displaystyle frac{1}{2}CHcdot AB=displaystyle frac{1}{2}AKcdot CB.$

Тогда $AK=displaystyle frac{CHcdot AB}{CB}=displaystyle frac{4cdot 9}{6}=6.$

Ответ: 6.

Задача 4. Площадь треугольника ABC равна 10, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.

Решение:

Треугольник CDE подобен треугольнику CAB с коэффициентом $displaystyle frac{1}{2}.$ Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому

$S_{CDE}=displaystyle frac{1}{4}cdot 10=2.5.$

Следовательно, .

Ответ: 7,5.

Задача 5. В параллелограмме ABCD AB = 3, AD = 21, ${sin A=displaystyle frac{6}{7}}$ . Найдите большую высоту параллелограмма.

Решение:

Большая высота — это DH, потому что проведена к меньшей стороне. Из треугольника АDН:

$DH=AD{sin A=21cdot displaystyle frac{6}{7}=3cdot 6=18 }.$

Ответ: 18.

Задача 6. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Решение:

Квадрат — это частный случай ромба. Площадь квадрата равна половине произведения его диагоналей. Поэтому она равна 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 7. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 18, а отношение соседних сторон равно 1:2.

Решение:

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех сторон. Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, тогда вторая равна 2a. Площадь прямоугольника равна тогда одна из сторон равна 3, а другая 6. Периметр P = 2 · 3 + 2 · 6 = 18.

Ответ: 18.

Задача 8. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. Пусть одна сторона параллелограмма и прямоугольника равна вторая равна а острый угол параллелограмма равен alpha . Тогда площадь параллелограмма равна а площадь прямоугольника равна

По условию площадь прямоугольника вдвое больше:

${S_2=2S_1} .$ Следовательно, $acdot b=2acdot bcdot {sin alpha Leftrightarrow {sin alpha }=0,5 }Leftrightarrow alpha =30{}^circ.$

Ответ: 30.

Задача 9. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Пусть высоты равны соответственно a и b. Тогда S = 5 · a = 10 · b = 40. Поэтому a = 8, b = 4. Большая высота равна 8.

Ответ: 8.

Задача 10. Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол 30 ${}^circ.$

Решение:

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла ромба. С другой стороны, площадь ромба равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Пусть сторона ромба равна

Получим уравнение:

$a^2=a{sin alpha }.$

Корень уравнения a = 4, поэтому

Ответ: 8.

Задача 11. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12.

Решение:

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. $S=displaystyle frac{1}{2}cdot 4cdot 12=24.$

Ответ: 24.

Задача 12. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Трапеция равнобедренная, значит,

$AH=displaystyle frac{AB-DC}{2}=6;$

$AD=displaystyle frac{P_{ABCD}-left(AB+DCright)}{2}=10.$

Тогда по теореме Пифагора из треугольника ADH:

$DH=sqrt{{AD}^2-{AH}^2}=8;$

$S=displaystyle frac{AB+CD}{2}cdot DH=20cdot 8=160.$

Ответ: 160.

Задача 13. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45 ${}^circ.$

Решение:

Проведем высоту CH. Треугольник CHB — прямоугольный, в нем

$angle B=45{}^circ ,$ значит, он также равнобедренный, CH = HB = 4.
$S_{ABCD}=displaystyle frac{AB+CD}{2}cdot CH=4cdot 4=16.$

Ответ: 16.

Задача 14. Высота трапеции равна 5, площадь равна 75. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Выразим её из формулы площади трапеции:
$S=displaystyle frac{a+b}{2}cdot hLeftrightarrow displaystyle frac{a+b}{2}cdot 5=75Leftrightarrow displaystyle frac{a+b}{2}=15.$

Ответ: 15.

Задача 15. Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ выразите в градусах.

Решение:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Пусть высота равна h, тогда

$S=displaystyle frac{27+9}{2}cdot h=72.$

Из этого уравнения получим: h = 4.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона трапеции, равная 8, а катетом — высота трапеции. Длина катета равна половине гипотенузы, следовательно, он лежит напротив угла ${30}^circ.$

Ответ: 30.

Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Задача 16. Найдем площадь четырехугольника на рисунке.

Решение:

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным 5. Высоты этих треугольников равны 2 и 3. Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников:

Ответ: 12,5.

В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Задача 17. Найдем площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной 5 и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем:

Ответ: 10,5.

Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.

Задача 18.

Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого равна 2.

Решение:

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна так как R=1. Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как R = 1), а длина дуги данного сектора равна 2, следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть 360 градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: 1.

Формула Пика

Покажем, как вычислять площадь фигуры, изображенной на координатной плоскости, с помощью формулы Пика.

Задача 19. Найдите площадь многоугольника АВСDE, изображенного на рисунке.

Первый способ:

Площадь многоугольника ABCDE равна сумме площадей треугольника BCD, трапеции BKDE и треугольника AKE.

Имеем:

$S_{vartriangle BCD}=displaystyle frac{1}{2}cdot 9cdot 2=9;$

$S_{BKDE}=displaystyle frac{1}{2}cdot (9+3)cdot 2=12;$

$S_{vartriangle AKE}=displaystyle frac{1}{2}cdot 3cdot 4=6;$

$S_{ABCDE}=9+12+6= 27.$

Второй способ — применить формулу Пика.

Назовем точку координатной плоскости целочисленной, если обе ее координаты — целые числа. На нашем рисунке это точки на пересечениях линий, разделяющих клетчатую бумагу на клетки.

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

Здесь В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Главное — аккуратно посчитать. На нашем рисунке

В = 24 (показаны зеленым),

Г = 8 (показаны красным),

S = 24 + $displaystyle frac{8}{2}$ — 1 = 27.

Ответ: 27.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Все формулы по геометрии. Площади фигур» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Подготовка к ЕГЭ по математике не может обойтись без изучения геометрии. Задачи на расчет площади и объема фигур, нахождение углов и длин сторон встречаются и в первой, и во второй части. В базовой математике ЕГЭ формулы на объем и площадь представлены в справочных материалах. Тем, кто сдает профильную, придется выучить их. Рассмотрим основную теорию.

Площадь — величина, которая есть у плоских фигур. Ее можно посчитать для квадрата, прямоугольника, параллелограмма, треугольника, ромба, трапеции, круга. Объем присущ трехмерным объектам, таким как куб, шар, параллелепипед, призма, пирамида, конус. Объемные тела условно делят на многогранники (состоят из нескольких многоугольников) и поверхности вращения (есть условная линия, вдоль которой вращается плоская фигура). На вычисление объема это не влияет.

В таблицах представлены основные формулы объемов и площадей фигур для ЕГЭ. Мы советуем сохранить их себе, чтобы пользоваться при подготовке к ЕГЭ и быстро повторить теорию перед экзаменом.

Источник

17
Фев 2013

Категория: ПланиметрияСправочные материалы

Площади фигур

Елена Репина
2013-02-17
2014-02-10

Площади основных фигур. Набор формул

Эта таблица хороша для начального знакомства с темой “Площади фигур”.

Для более подготовленных учеников интересна будет расширенная таблица (!)

Автор: egeMax |

комментариев 12
| Метки: Площади, шпаргалки-таблицы

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Печать страницы

Материалы для подготовки к ЕГЭ
Рубрики
- 01 Геометрия (13)
- 02 Стереометрия (9)
- 03 Теория вероятностей ч.1 (1)
- 04 Теория вероятностей ч.2 (1)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Вычисления (5)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 «Прикладные» задачи (5)
- 09 Текстовые задачи (7)
- 10 Графики функций (7)
- 11 Исследование функции (2)
- 12 (С1) Уравнения (78)
- 13 (С2) Стереометр. задачи (94)
- 14 (С3) Неравенства (89)
- 15 (С4) Практич. задачи (71)
- 16 (С5) Планиметр. задачи (86)
- 17 (С6) Параметры* (79)
- 18 (С7) Числа, их свойства (38)
- A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
- A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (60)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (92)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (80)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина
ЕгэТренер – О. Себедаш
Математика?Легко!
Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы

Источник

В данной теме выложены вспомогательные картинки для учеников и студентов с формулами площадей и объемов фигур. Ниже расположены основные формулы, которые потребуются при решении задач по геометрии на нахождение объемов и площадей поверхности таких фигур, как квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, треугольник, прямоугольный треугольник, трапеция, круг, куб, параллелепипед, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, цилиндр, конус и шар.

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задание
1

#3043

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Радиус первого шара в (5) раз больше радиуса второго шара. Во сколько раз площадь поверхности второго шара меньше площади поверхности первого шара?

Площадь поверхности шара радиуса (R) ищется по формуле (S=4pi R^2). Следовательно, площадь поверхности первого шара относится к площади поверхности второго шара как [dfrac{S_1}{S_2}=dfrac{4pi , R_1^2}{4pi , R_2^2}] Так как радиус первого шара больше радиуса второго шара в 5 раз, то (R_1=5R_2). Следовательно, [dfrac{S_1}{S_2}=dfrac{(5R_2)^2}{R_2^2}=25.] Следовательно, площадь поверхности первого шара в 25 раз больше площади поверхности второго, значит, площадь поверхности второго в 25 раз меньше.

Ответ: 25

Задание
2

#3046

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Даны два конуса. Радиус второго конуса в (3) раза больше радиуса первого конуса, а высота второго конуса в (6) раз меньше высоты первого конуса. Найдите объем первого конуса, если объем второго конуса равен (18).

Объем конуса с высотой (h) и радиусом основания (R) вычисляется по формуле (V=frac13pi R^2h). Следовательно, объем первого конуса относится к объему второго конуса как [dfrac{V_1}{18}=dfrac{V_1}{V_2}=
dfrac{frac13pi ,R_1^2,h_1}{frac13 pi
,R_2^2,h_2}=left(dfrac{R_1}{R_2}right)^2cdot
dfrac{h_1}{h_2}] Так как радиус второго в 3 раза больше радиуса первого, то (R_2=3R_1). Так как высота второго в 6 раз меньше высоты первого, то (h_1=6h_2). Следовательно, [dfrac{V_1}{18}=left(dfrac{R_1}{3R_1}right)^2cdot dfrac{6h_2}{h_2}=
dfrac19cdot 6=dfrac23 quadRightarrowquad V_1=dfrac23cdot
18=12.]

Ответ: 12

Задание
3

#3048

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Даны два конуса: (K_1) и (K_2). Площадь полной поверхности (K_1) относится к площади полной поверхности (K_2) как (4:1). Известно, что радиус (K_1) в 4 раза больше образующей (K_1) и в 2 раза больше радиуса (K_2). Найдите отношение образующей (K_2) к образующей (K_1).

Площадь полной поверхности конуса с образующей (l) и радиусом основания (R) ищется по формуле (S=pi R (R+l)). Тогда площадь полной поверхности (K_1) относится к площади полной поверхности (K_2) как [dfrac41=dfrac{pi ,R_1cdot (R_1+l_1)}{pi , R_2cdot (R_2+l_2)}] Из условия следует, что (R_1=4l_1), (R_2=frac12R_1=2l_1), следовательно, [dfrac41=dfrac{4l_1cdot (4l_1+l_1)}{2l_1cdot (2l_1+l_2)}
quadRightarrowquad dfrac{l_2}{l_1}=dfrac12=0,5]

Ответ: 0,5

Задание
4

#3044

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Во сколько раз радиус первого шара больше радиуса второго шара, если объем первого шара в (343) раза больше объема второго шара?

Объем шара радиуса (R) ищется по формуле (V=dfrac43 pi R^3). Следовательно, объем первого шара относится к объему второго как [dfrac{343}1=dfrac{V_1}{V_2}=dfrac{frac43 pi , R_1^3}{frac43 pi , R_2^3}=
left(dfrac{R_1}{R_2}right)^3 quadRightarrowquad
dfrac{R_1}{R_2}=sqrt[3]{343}=7.] Следовательно, радиус первого шара в 7 раз больше радиуса второго шара.

Ответ: 7

Задание
5

#3051

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Объем первого прямоугольного параллелепипеда равен 105. Найдите объем второго прямоугольного параллелепипеда, если известно, что высота первого параллелепипеда в 7 раз больше высоты второго, ширина второго в 2 раза больше ширины первого, а длина первого в 3 раза больше длины второго.

Пусть буквы (a), (b) и (c) обозначают высоту, ширину и длину соответственно. Объем прямоугольного параллелепипеда ищется по формуле (V=abc). Следовательно, объем первого параллелепипеда относится к объему второго как [dfrac{105}{V_2}=dfrac{V_1}{V_2}=dfrac{a_1b_1c_1}{a_2b_2c_2}] Из условия следует, что (a_1=7a_2), (b_2=2b_1), (c_1=3c_2). Тогда [dfrac{105}{V_2}=dfrac{7a_2cdot b_1cdot 3c_2}{a_2cdot 2b_1cdot c_2}=
dfrac{7cdot 3}2 quadRightarrowquad V_2=dfrac{105cdot
2}{21}=10.]

Ответ: 10

Задание
6

#3049

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Площадь боковой поверхности первого цилиндра равна (16). Найдите площадь боковой поверхности второго цилиндра, если его радиус в 4 раза больше радиуса первого, а высота в 5 раз меньше высоты первого цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра с высотой (H) и радиусом основания (R) ищется по формуле (S=2pi RH). Тогда площадь бок. поверхности первого цилиндра относится к площади бок. поверхности второго как [dfrac{16}{S_2}=dfrac{S_1}{S_2}=dfrac{2pi ,R_1,H_1}{2pi ,R_2,H_2}=
dfrac{R_1}{R_2}cdot dfrac{H_1}{H_2}] Из условия следует, что (R_2=4R_1), (H_1=5H_2), значит, [dfrac{16}{S_2}=dfrac{R_1}{4R_1}cdot dfrac{5H_2}{H_2}=
dfrac14cdot 5=dfrac54] Следовательно, [S_2=dfrac{16cdot 4}5=12,8.]

Ответ: 12,8

Задание
7

#3047

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Площадь боковой поверхности первого конуса относится к площади боковой поверхности второго конуса как (3:7). Найдите отношение образующей первого конуса к образующей второго конуса, если радиус первого конуса относится к радиусу второго как (15:7).

Площадь боковой поверхности конуса с образующей (l) и радиусом основания (R) ищется по формуле (S=pi Rl). Тогда площадь бок. поверхности первого конуса относится к площади бок. поверхности второго как [dfrac 37=dfrac{S_1}{S_2}=dfrac{pi R_1,l_1}{pi R_2,l_2}] Так как радиус первого конуса относится к радиусу второго как (15:7), то есть (frac{R_1}{R_2}=frac{15}7), то [dfrac37=dfrac {15}7cdot dfrac{l_1}{l_2} quadRightarrowquad
dfrac{l_1}{l_2}=dfrac37cdot dfrac7{15}=dfrac15=0,2.]

Ответ: 0,2

Во время подготовки к сдаче ЕГЭ по математике повторение базовых формул из школьного курса геометрии в пространстве (стереометрии), в том числе и для вычисления объемов фигур, является одним из основных этапов. И хотя на изучение этого раздела отводится достаточно большое количество времени в рамках учебной программы, многим выпускникам требуется освежить в памяти основной материал.

Понимая, как осуществляется вычисление площадей объемных фигур, учащиеся значительно повышают свои шансы на получение достойных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Базовая информация

Объем геометрической фигуры — это количественная характеристика пространства, которое занимает тело. Она определяется его формой и размерами.
Чтобы задачи на вычисление объемов геометрических фигур не вызывали затруднений, рекомендуем освежить в памяти основные формулы.

Объем куба равняется кубу длины его грани.

Для его расчета используется формула: V = a³, где V — объем куба,
a — длина его грани.

Объем призмы равняется произведению площади основания фигуры на высоту.
Чтобы его рассчитать, воспользуйтесь следующий формулой: V = S_o h, где V — объем призмы, So — площадь ее основания, h — ее высота.
Объем прямоугольного параллелепипеда равняется произведению его длины, ширины и высоты.
Формула для его расчета: V = a · b · h, где a — длина,
b — ширина, h — высота.
Объем пирамиды равняется трети от произведения площади ее основания на высоту.

Рассчитать его можно по формуле:

V =
1/3
S_o· h ,

где V — объем пирамиды, So — площадь основания пирамиды, h — длина высоты пирамиды.

Объем цилиндра равняется произведению площади его основания на высоту.
Формулы для его расчета:

V =

π R² h

V =

S_o h

Где V — объем цилиндра, So — площадь основания цилиндра, R — радиус цилиндра, h — высота цилиндра, π = 3.141592.

Как сделать процесс подготовки к аттестационному испытанию более легким и эффективным?

Наш образовательный портал предлагает выстроить занятия по-новому. Переходя от простого к сложному, выпускники смогут определить непонятные для себя темы и улучшить собственные знания.

Весь базовый материал по теме «Вычисление площадей и объемов фигур» собран в разделе «Теоретическая справка». Освежив в памяти эту информацию, учащиеся смогут попрактиковаться в решении задач. Большая подборка упражнений как простого, так и экспертного уровня представлена в разделе «Каталог». База заданий регулярно дополняется.

Решать задачи на вычисление объемов фигур или на построение сечения геометрических фигур школьники могут в режиме онлайн. Функционал образовательного сайта «Школково» позволяет сохранять упражнения в разделе «Избранное». Благодаря этому учащиеся смогут вернуться к задаче необходимое количество раз и обсудить ход ее решения со школьным учителем или репетитором.

Кайф или жесть? Новая шкала перевода баллов ЕГЭ 2022 по математике

Чтобы решить задачи по геометрии, надо знать формулы — такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма — а также простые приёмы, о которых мы расскажем.

Для начала выучим формулы площадей фигур. Мы специально собрали их в удобную таблицу. Распечатайте, выучите и применяйте!

Конечно, не все формулы по геометрии есть в нашей таблице. Например, для решения задач по геометрии и стереометрии во второй части профильного ЕГЭ по математике применяются и другие формулы площади треугольника. О них мы обязательно расскажем.

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ.

1. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

Ответ: 12,5 .

2. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Ответ: 10,5 .

3. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как R=1 . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как R=1 ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть 360 градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: .

Читайте также о задачах на тему «Координаты и векторы». Для их решения вспомните, что такое абсцисса точки (это ее координата по ) и что такое ордината (координата по ). Пригодятся также такие понятия, как координаты вектора и длина вектора (она находится по теореме Пифагора), синус и косинус угла, угловой коэффициент прямой, уравнение прямой, а также сумма, разность и скалярное произведение векторов, угол между векторами.

17
Фев 2013

Категория: ПланиметрияСправочные материалы

Елена Репина
2013-02-17
2014-02-10

Площади основных фигур. Набор формул

Эта таблица хороша для начального знакомства с темой “Площади фигур”.

Для более подготовленных учеников интересна будет расширенная таблица (!)

Автор: egeMax |

комментариев 12
| Метки: Площади, шпаргалки-таблицы

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Печать страницы

Материалы для подготовки к ЕГЭ
Рубрики
- 01 Простейшие уравнения (5)
- 02 Теория вероятностей ч.1 (1)
- 03 Геометрия (13)
- 04 Вычисления (5)
- 05 Стереометрия (9)
- 06 Производная, ПО (4)
- 07 «Прикладные» задачи (5)
- 08 Текстовые задачи (7)
- 09 Графики функций (3)
- 10 Теория вероятностей ч.2 (1)
- 11 Исследование функции (2)
- 12 (С1) Уравнения (78)
- 13 (С2) Стереометр. задачи (94)
- 14 (С3) Неравенства (89)
- 15 (С4) Практич. задачи (71)
- 16 (С5) Планиметр. задачи (86)
- 17 (С6) Параметры* (79)
- 18 (С7) Числа, их свойства (38)
- A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
- A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (60)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (91)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (76)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина
ЕгэТренер – О. Себедаш
Математика?Легко!
Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы

Источник

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 240 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Найдите площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Источник: Добровольное тренировочное тестирование Санкт-Петербург 2013.

В выпуклом четырехугольнике KLMN точки A, B, C, D  — середины сторон KL, LM, MN, NK соответственно. Известно, что KL = 3. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O. Площади четырехугольников KAOD, LAOB и NDOC равны соответственно 6, 6 и 9.

а)  Докажите, что площади четырехугольников MCOB и NDOC равны.

б)  Найдите длину отрезка MN.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 49.

На клетчатой бумаге с размером клетки изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 255.

Правильная треугольная призма пересечена плоскостью, проходящей через середины ребер AB, A_1C_1, BB_1. Сторона основания призмы равна 2, а высота призмы равна

а)  Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания призмы.

б)  Найдите площадь сечения.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 250.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ на ребре CC₁ отмечена точка М так, что СМ : С₁М  =  1 : 3. Плоскость АЕМ пересекает ребро ВВ₁ в точке К.

А)  Докажите, что ВК : В₁К  =  1 : 5.

Б)  Найдите площадь сечения призмы плоскостью АЕМ, если АВ  =  3, СС₁  =  8.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 171.

Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см times 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург 2015. Вариант 2., Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2015. Вариант 2.

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 1. Ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Через вершину А параллельно диагонали BD проведено сечение, которое делит ребро SC в отношении 1:2, считая от вершины.

а)  Докажите, что плоскость сечения проходит через середину отрезка SO, где О  — центр основания.

б)  Найдите площадь сечения.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 249.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 267.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см times 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Всего: 240 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

Площади фигур. Основные формулы.

Площадь треугольника.

Формула	Рисунок	Расшифровка формулы
		а — основание, h — высота, проведенная к этому основанию. Формула применима для любого треугольника.
		a, b — стороны, α — угол между этими сторонами. Формула применима для любого треугольника.
		a, b, с — стороны, р — полупериметр (сумма трех сторон, деленная пополам). Формула применима для любого треугольника.
		r — радиус вписанной в треугольник окружности, р — полупериметр (сумма трех сторон, деленная пополам). Формула применима для любого треугольника.
		a, b, с — стороны, R — радиус описанной около треугольника окружности, d — диаметр описанной окружности. Формула применима для любого треугольника.
		R — радиус описанной около треугольника окружности, α, β, γ — углы треугольника. Формула применима для любого треугольника.
		a, b — катеты. Формула применима для прямоугольного треугольника.
		a — сторона. Формула применима для равностороннего (правильного) треугольника.

Площадь квадрата и прямоугольника.

Площадь параллелограмма и ромба.

Формула	Рисунок	Расшифровка формулы
		а — одна из сторон параллелограмма, h — высота, проведенная к этой стороне
		а, b — стороны параллелограмма, α — угол между этими сторонами
		d₁, d₂ — диагонали, α — угол между диагоналями (можно брать любой угол, т.к. синусы смежных углов равны)
		а — сторона ромба, h — высота, проведенная к этой стороне
		а — сторона ромба, α — угол между этими сторонами
		d₁, d₂ — диагонали ромба

Площадь трапеции.

Формула	Рисунок	Расшифровка формулы
		а, b — основания трапеции, h — высота. Формула применима для любой* трапеции.
		m — средняя линия трапеции, h — высота. Формула применима для любой трапеции.
		d₁, d₂ — диагонали трапеции, α — угол между диагоналями (можно брать любой угол, т.к. синусы смежных углов равны). Формула применима для любой трапеции.