Событие а получение достаточной для сдачи экзамена оценки событие в получение пятерки

1. Четыре студента
   сдают экзамен. Сколько может быть
   вариантов распределения оценок, если
   известно, что все они так или иначе
   экзамен сдали?

2. Событие A
   – «Появление нечетного числа очков
   при бросании игральной кости», событие
   B
   – «Непоявление 3 очков при бросании
   игральной кости», событие C
   – «Непоявление 5 очков при бросании
   игральной кости». В чем состоят события
   ?
   Записать в виде формул следующие
   события: «При бросании игральной кости
   появилось 1 или 3 очка», «При бросании
   игральной кости появилось 3 или 5 очков».

3. Из пяти карточек
   с буквами А,
   Б,
   В,
   Г,
   Д
   наугад одна за другой выбираются три
   и располагаются в ряд в порядке появления.
   Какова вероятность того, что получится
   слово «ДВА»?

4. Два друга условились
   встретиться на Предмостной площади у
   фонтана между 12 и 13 часами. Пришедший
   первым, ждет второго в течение
   минут (),
   после чего уходит. Чему равна вероятность
   их встречи?

5. Студент пришел
   на зачет, зная из 30 вопросов только 24.
   Какова вероятность сдать зачет, если
   после отказа отвечать на вопрос
   преподаватель задает дополнительный
   вопрос? (Число дополнительных вопросов
   не может быть больше двух).

6. Упаковка банок
   сока производится двумя автоматами,
   продукция которых поступает на общий
   конвейер. Производительность второго
   автомата в 1,5 раза выше производительности
   первого. Доля банок с дефектами укупорки,
   в среднем, составляет 0,5% у первого и
   0,02% у второго автомата. Найти вероятность
   того, что взятая наугад банка сока имеет
   дефект укупорки.

7. В столовой два
   зала. Вероятность того, что за время
   обеденного перерыва посетителя успеют
   обслужить, составляет 0,75 и 0,9 для первого
   и второго залов соответственно. Выбор
   посетителем зала равновероятен. За
   время обеденного перерыва посетителя
   успели обслужить. Какова вероятность
   того, что он посетил первый зал?

8. Вы играете в
   шахматы с равным по силе партнером.
   Чего больше следует ожидать: трех побед
   в четырех партиях или пяти побед в
   восьми партиях?

9. Вероятность
   рождения мальчика 0,515. Какова вероятность
   того, что среди 1000 новорожденных не
   меньше 480 и не больше 540 мальчиков?

10. Известно, что
    примерно десятая часть школьников
    собирает марки. Сколько школьников
    необходимо опросить, чтобы с вероятностью
    0,95 можно было бы утверждать, что
    погрешность вычисления вероятности
    того, что наугад выбранный школьник
    собирает марки, не превосходила бы
    0,005?

Вариант 15

1. На заседании
   научного студенческого общества
   присутствовали 52 студента: по 13 студентов
   от 4 факультетов. Сколькими способами
   можно избрать правление общества в
   составе 4 человек так, чтобы в состав
   правления вошли представители 3
   факультетов?

2. Событие A
   – «Получение достаточной для сдачи
   экзамена оценки», событие B
   – «Получение отличной оценки». В чем
   состоят события
   ?
   Записать в виде формул следующие
   события: «Студент не сдал экзамена»,
   «Студент сдал экзамен, но не на «отлично».

1. В одном ящике
   находится 6 белых и 4 черных шара, в
   другом — 7 белых и 3 черных. Из каждого
   ящика вынимается по одному шару. Чему
   равна вероятность того, что оба шара
   окажутся белыми?

2. На плоскости
   построены три концентрические окружности
   с радиусами 3 см, 5 см и 9 см. В круг большего
   радиуса бросается точка. Какова
   вероятность попадания ее в кольцо,
   образованное окружностями с радиусами
   3 см и 5 см?

1. Найти вероятность
   того, что наудачу взятое двузначное
   число окажется кратным либо 2, либо 5,
   либо тому и другому одновременно.

2. При разрыве снаряда
   образуются осколки трех весовых
   категорий: крупные, средние и мелкие,
   причем число крупных, средних и мелких
   осколков составляет соответственно
   10%, 30% и 60% общего числа осколков. При
   попадании в броню крупный осколок
   пробивает ее с вероятностью 0,9, средний
   — с вероятностью около 0,2 и мелкий — с
   вероятностью около 0,05. Найти вероятность
   того, что попавший в броню снаряд пробил
   ее.

1. Пассажир может
   приобрести билет в одной из двух касс.
   Вероятность его обращения в первую
   кассу равна 0,4, а во вторую – 0,6. Вероятности
   того, что в кассах билетов уже нет, равны
   0,1 и 0,3 для первой и второй касс
   соответственно. Пассажир обратился в
   одну из касс и приобрел билет. Найти
   вероятность того, что он приобрел билет
   в первой кассе.

1. Сколько раз
   придется бросать игральную кость, чтобы
   наивероятнейшее число появления
   шестерки было бы 32?

1. 70% продукции
   некоторого предприятии высшего сорта.
   Какова вероятность того, что среди 1000
   изделий этого предприятия высшего
   сорта будет не менее 682 и не более 760
   изделий?

2. Известно, что 90%
   жителей страны ни разу не ели авокадо.
   Случайным образом выбрали n
   жителей, и нашли число k
   тех из них, которые не ели авокадо.
   Насколько большим должно быть число
   n,
   чтобы с вероятностью более 0,6 можно
   было утверждать, что частота
   отличается от 0,9 не более, чем на 0,01?

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

План-конспект
лекционного занятия  по дисциплине

«Теория
вероятности и математическая статистика» в группе ВТ-091

Тема: Случайные события (лекция)

1.    Организационный
момент (2 мин);

2.    Формулировка
темы и цели занятия (3 мин);

3.    Объяснение
нового материала:

3.1.       
Достоверные, невозможные и случайные
события (конспект) (10 мин);

3.2.       
Виды случайных событий (конспект) (10 мин);

3.3.       
Действия над событиями (конспект) (30 мин).

4.    Закрепление
нового материала:

ü Фронтальный
опрос студентов по пункту 2.1. (по 1 баллу) (5 мин);

ü Фронтальный
опрос студентов по пункту 2.2. (по 1 баллу) (5 мин);

ü Тест
(устно) по пункту 2.2 (по 2 балла) (10 мин);

ü Фронтальный
опрос студентов по пункту 2.3. (по 1 баллу) (5 мин);

ü Решение
задач письменно по пункту 2.3. (по 3 балла) (10 мин).

5.    Домашнее
задание (3 мин)

ü Знать
ответы на контрольные вопросы (по 2 балла);

ü Решить
задачу письменно (3 балла).

6.    Итог
занятия (2 мин).

Ход
занятия.

1.    Организационный
момент (2 мин);

2.    Формулировка
темы и цели занятия (3 мин);

Запись в тетрадях:

Тема: Случайные
события

Преподаватель
формулирует (цели):

Цели занятия:

На занятии вы узнаете

1.    Понятия
случайного события, испытания, элементарного события, искомого события;

2.    Понятия 
достоверного, равновозможного, совместного, несовместного, единственно
возможного, противоположного события, полная группа событий;

3.    Действия
над событиями: сумма событий, произведение событий, разность событий, частный
случай, обозначения.

3.    Объяснение
нового материала:

Преподаватель:

Все явления
окружающей нас действительности можно рассматривать с точки зрения вероятности
их наступления. Когда студент идет на экзамен, вероятность получения им хорошей
оценки зависит от нескольких причин: подготовленности студента, удачно
выбранного билета, самочувствия, и т.д.

Количественной
мерой такой неопределенности является вероятность наступления
случайного события, под которой понимают число, которое
выражает степень уверенности в наступлении того или иного случайного
события.

Так как
вероятность определяется для случайных событий, следует определиться, какие
события мы будем называть случайными, и выделить виды случайных событий,
рассматриваемых в курсе теории вероятностей.

Запись в тетрадях:

1.    Достоверные, невозможные и случайные события

Всякое
действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое
при данном комплексе условий, будем называть испытанием, а результат
этого действия будем называть случайным событием.

Например,

ü многократное подбрасывание монеты – испытание, а случайным
событием —  появление цифры;

ü сдача экзамена – испытание, а случайным событием – получение
желаемой оценки;

ü подбрасывание игральной кости – испытание, а случайным событием —
выпадение четного числа очков.

Если
нас интересует какое-либо определенное событие из всех возможных событий, то
будем называть его искомым событием.

Преподаватель: Случайное
событие может состоять из нескольких элементарных событий.

Запись
в тетрадях:

Единичный,
отдельный исход испытания называется элементарным событием.

Например,

ü Стрелок, производящий выстрел, может попасть или не попасть в
цель. В этом случае испытание — это выстрел, а возможные элементарные
события — попадание или непопадание в цель.

ü Футбольная команда может участвовать в матче  это  испытание,
а элементарные события: выигрыш, проигрыш или ничья.

ü Оценка студента на экзамене — это случайное событие, а элементарные
события: получение оценки «отлично», получение оценки «хорошо», получение
оценки «удовлетворительно», получение оценки «неудовлетворительно».

Для обозначения
событий используются буквы латинского алфавита А, В, С,…

Преподаватель:
Элементарные события можно классифицировать по мере их неопределенности как достоверные,
невозможные и случайные.

Запись
в тетрадях

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет при
определенном комплексе условий. Достоверные события обозначают буквой .

Например,

ü если в ящике находятся только стандартные детали, то извлечение
из него стандартной детали есть событие достоверное.

Событие,
которое не может произойти в результате данного испытания, называется невозможным.
Невозможное событие обозначают символом .

Например,

ü если в ящике все детали стандартные, то извлечение из него
нестандартной детали есть событие невозможное.

Случайным называют событие, которое может либо произойти, либо не
произойти в результате некоторого испытания.

Вместо «произойти» говорят также «наступить», « появиться », «
иметь место ».

Например,

ü при бросании игральной кости случайными событиями являются:
выпадение задуманного числа очков, выпадение нечетного числа очков, выпадение
числа очков, не большего 3, и т. п.

4.    Закрепление
нового материала:

ü Фронтальный
опрос студентов по пункту 2.1. (по 1 баллу) (5 мин);

Сформулировать
определения понятий: случайного, достоверного и невозможного события.

5.     Объяснение
нового материала:

Преподаватель:
Рассмотрим некоторые виды случайных событий, различающиеся с точки зрения
определения их вероятностей: совместные и несовместные, единственно
возможные, равновозможные, противоположные события.

Запись
в тетрадях:

2.    Виды
случайных событий.

Несколько событий называются совместными, если в результате
испытания наступление одного из них не исключает появления других.

Например,

ü при
бросании трех монет выпадение цифры на одной из них не исключает появления
цифры на других монетах;

Несколько событий называются несовместными в данном испытании,
если появление одного из них исключает появления других.

Например,

ü Сдавая
экзамен по какой-то дисциплине, невозможно получить одновременно и отличную
оценку — 5, и удов­летворительную — 3.

ü При
одном бросании игральной кости события, состоящие в выпадении 1, 2 и 3 очков
представляют собой три несовместных события.

События называются единственно возможными, если в результате
испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет (или одно, или два, или
…, или все события из рассматриваемой совокупности событий произойдут).

Например, покупатель подходит к киоску, где продаются газеты и
журналы.

Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий:
«покупатель купит газету», «покупатель купит журнал», «покупатель не купит ни
газету, ни журнал». Эти три события единственно возможны.

Несколько событий называются равновозможными, если в результате
испытании ни одно из них не имеет объективно большую возможность появления, чем
другие.

Например,

ü при
бросании игральной кости появление каждой из ее граней — события
равновозможные;

Два единственно возможных и несовместных события называются 
противоположными.

Например,

ü покупка
и продажа определенного вида товара есть события противоположные.

ü Попадание
в цель и промах при одном выстреле являются противоположными событиями.

Совокупность всех единственно возможных и несовместных событий
называется полной группой событий.

Например: полную группу при сдаче экзамена одним из студентов
составляют события:

Ø получение
оценки «отлично»;

Ø получение
оценки «хорошо»;

Ø получение
оценки «удовлетворительно»;

Ø получение
оценки «неудовлетворительно».

Эти события единственно возможны и несовместны. Два
противоположных события всегда составляют полную группу событий.

6.    Закрепление
нового материала:

ü Фронтальный
опрос студентов по пункту 2.2. (по 1 баллу) (5 мин);

Сформулировать
определения понятий: совместного и несовместного, единственно-возможные,
равновозможные, противоположные события.

Выполнить тест устно
(2 балла) .

На
экране: Ответьте на вопросы теста (устно).

7.    Объяснение
нового материала:

Преподаватель:
Над событиями можно производить различные действия, получая при этом другие
события. Дадим определения этих действий.

Запись
в тетрадях:

3. Действия над событиями

Если при всяком испытании, при котором происходит событие А,
происходит и событие В, то событие А называется частным случаем события В.

Говорят также, что А влечет за собой В и пишут: (А вложено
в В)

Например, пусть события

А – появление
двух очков при бросании игральной кости, А={2}

В – появление
четного числа очков при бросании игральной кости, В = {2; 4; 6}.

Тогда
событие А  есть частный случай события В, так как 2 — четное число. Можем
записать.

Если А влечет за собой В, а В влечет за собой А, то эти события равносильны,
так как они вместе наступают или вместе не наступают. Обозначают  А = В.

Событие, состоящее в совместном наступлении обоих событий и А и В,
называется пересечением этих событий AВ,
или произведением этих событий АВ.

Например,
пусть событие

 А –
выпадение четного числа очков при бросании игральной кости,  А = {2; 4; 6}.

В –
выпадение числа очков больше 3 при бросании игральной кости, В={4,5,6}.

Тогда
пересечением или произведением событий

АВ –
состоящее  в выпадении четного числа очков, большего 3 (выполняется и событие А
и событие В): АВ=АВ={4; 6}.

Если два события А и В несовместны, то их совместное наступление
невозможно т.е. АВ = .

Событие, состоящее в наступлении или события  А, или события В (хотя
бы одного из событий, по крайней мере одного из этих событий), называется их объединением
АВ,
или суммой событий А и В, и обозначается через А + В.

Например,
пусть события

 А –
выпадение четного числа очков при бросании игральной кости, А = {2; 4; 6}.

В – состоит
в выпадении числа очков больше трех при бросании игральной кости, В={4; 5; 6}.

Тогда
объединением или суммой событий

А+В
– выпадение  хотя бы одного из них  либо четного числа очков, либо числа очков
большего 3 (выполняется или событие А или событие В):

АВ =
А + В= {2; 4; 5; 6}.

Событие, состоящее в том, что событие А не происходит,
называется противоположным событию А и обозначается через .

Например,
пусть события

А –
выпадение четного числа очков при бросании игральной кости, А={2; 4; 6}.

Тогда
событие  — выпадение  нечетного числа очков,  =
{1; 3; 5}.

Событие (А и ), состоящее в том, что А происходит, а
В не происходит, называется разностью событий А и В и обозначается через А-В.

Например,
пусть события

А –
выпадение четного числа очков при бросании игральной кости, А={2; 4; 6}.

В –
выпадение числа очков больше 3: В={4; 5; 6}.

 —
выпадение числа очков не больше 3,  = {1;2;3}.

Разностью  событий А и В будет событие, состоящее в том, что
выполняется событие А и не выполняется событие В. Его наступлению
благоприятствует элементарное событие, состоящее в  выпадении 2 очков:   А-В = A={2}.

Определения суммы и произведения событий распространяются и на
большее число событий:

Например,
При бросании игральной кости – испытание.

Событие
А означает выпадение четного числа очков: А = {2; 4; 6}.

Событие
В означает выпадение не менее 3 очков: В = {3; 4; 5; 6}.

Событие
С означает выпадение одного очка: С = {1}.

Тогда 

А+В+С=(А
или В, или С)={1; 2; 3; 4; 5; 6} есть достоверное событие, так
как ему благоприятствуют все возможные исходы при бросании игральной кости.

ABC
= (А и В, и С) = Ø— есть невозможное событие, так как нет
элементарного события, которое благоприятствует и А, и В, и С. Невозможными
являются также АС и ВС;

 = {1;
3; 5} — состоит в выпадении нечетного числа очков;

 = {1;
2} означает появление не более двух очков;

 =
{2; 3; 4; 5; 6} означает появление любого числа очков, кроме одного очка;

А–В =
состоит в выпадении «двойки»;

В–А=
состоит в выпадении «тройки» или «пятерки» и т. д.

8.    Закрепление
нового материала:

ü Фронтальный
опрос студентов по пункту 2.2. (по 1 баллу) (5 мин);

ü Решение
задач (по 3 балла)

На экране вопросы теста:

На экране условия 2-х задач:

Задача №1.
Пусть события А состоит в том, что из 5 выстрелов стрелок попал в цель менее
3раз. Сколько элементарных событий благоприятствуют событию А, событию  

Задача №2.
Пусть события А состоит в том, что из 5 выстрелов стрелок попал в цель менее
3раз, а событие В состоит в том, что произведя 5 выстрелов в цель, стрелок
попал четное число раз. Сколько элементарных событий благоприятствуют событиям
А+В, АВ, А-В,  

9.    Домашнее
задание (3 мин)

Запись в тетрадях:

Контрольные вопросы

1.    Дайте определение случайного события, элементарного события,
достоверного и невозможного события?

2.    Самостоятельно придумайте примеры элементарных, достоверных и
невозможных событий.

3.    Дайте определение пересечения и объединения двух событий.
Приведите свои примеры.

4.    Какие случайные события называются совместными, а какие
несовместными?

5.    Самостоятельно придумайте примеры совместных и несовместных
событий.

6.    Какие случайные события называются единственно возможными?

7.    Приведите примеры единственно возможных случайных событий.

8.    Какие случайные события называются равновозможными?

9.    Приведите примеры равновозможных случайных событий.

10.         
Какая группа случайных
событий называется полной?

11.         
Что понимают под суммой
нескольких событий?

12.         
Что понимают под
произведением нескольких событий?

Решить задачу письменно (3 балла).

Задача №1. Пусть события А состоит в том, что в серии из 10 подбрасываний
монеты орел выпаде 5раз, а событие В состоит в том, что в серии из 10
подбрасываний монеты орел выпадет четное число раз, не менее 2. Сколько
элементарных событий благоприятствуют событиям А+В, АВ, А-В,  

10.       
Итог занятия (2 мин).

Литература

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

для студентов дневного отделения

физико-математического факультета

специальность «Прикладная информатика»

Воронеж 2008

УДК 519.2 (076.1)

Составитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Н.А.Гордиенко

Сборник задач по теории вероятностей для студентов дневного отделения физико-математического факультета специальность «Прикладная информатика» / сост.: Гордиенко Н.А. – Воронежский госпедуниверситет, 2008. – 75 с.

Сборник задач по теории вероятностей направлен на развитие активизацию самостоятельной работы студентов. В сборнике представлены задачи по основным разделам теории вероятностей: пространство случайных событий и операции над событиями; элементы комбинаторики и вычисление вероятностей; условная вероятность; схема Бернулли.

Предназначен для студентов 2 курса специальности «Прикладная информатика» дневного отделения физико-математического факультета Воронежского госпедуниверситета.

© Гордиенко Н.А., составление, 2008

Содержание

Предисловие 3

Избранные задачи теории вероятностей

Глава 1. Случайное событие и операции над ними

§1. Случайное событие 6

§2. Множество элементарных событий 11

§3. Операции над событиями 12

^

§1. Общие правила комбинаторики 20

§2. Выборки элементов 21

§3. Выборки с повторениями 25

^

Глава 4. Операции над вероятностями

§1. Вероятность суммы несовместных событий 46

§2. Вероятность суммы совместных событий 49

§3. Условные вероятности 51

§4. Вероятность произведения независимых событий 53

§5. Формула полной вероятности 54

^

§1. Формула Я. Бернулли 58

§2. Формула Муавра–Лапласа 65

§3. Формула Пуассона 67

§4. Формула Лапласа 69

Возникновение и развитие теории вероятностей как науки 73

Литература 77

Предисловие

В книге «Госпожа удача» У. Уивер пишет: «Теория вероятностей и статистика – две важные области, неразрывно связанные с нашей повседневной деятельностью. Мир промышленности, страховые компании в большей степени являются должниками вероятностных законов. Сама физика имеет существенно вероятностную природу; такова же в основе своей и биология. Между тем, несмотря на эту важность, универсальный характер теории вероятностей и статистики все еще не стал общепринятым среди деятелей образования. Надо надеяться, что элементы теории вероятностей, насколько возможно, будут представлены в среднем образовании…»

С тех пор как были написаны эти строки, широко развернулась реформа математического образования; того, чего желал У. Уивер, мы отчасти достигли – сейчас вероятность изучают в средних школах многих стран, и вопрос о том, когда она войдет составной частью в школьные программы всех стран, есть не более чем вопрос времени.

В вузах курс теории вероятностей читается в основном на старших курсах. Именно этим объясняется потребность в составлении сборника задач по теории вероятностей для студентов младших курсов.

Основная часть, которая носит название «Избранные задачи теории вероятностей» состоит из пяти глав.

Первая глава «Случайные события и операции над ними» состоит из трех параграфов. Основная цель раздела – дать первоначальные понятия, необходимые в дальнейшем при решении вероятностных задач, и научиться их различать. С этой целью в первом параграфе «Случайное событие» на основании разобранных примеров вводится понятие случайного события, а также двух частных видов событий: достоверного и невозможного; приводится 42 примера, как на определение вида события, так и на словесную оценку события («маловероятно», «нулевая вероятность», «стопроцентная вероятность»). Во втором параграфе «Множество элементарных событий» вводится на конкретных примерах понятия множества и подмножества элементарных событий. В третьем параграфе «Операции над событиями» подробно представлены следующие операции: сложение, умножение, вычитание. Они рассматриваются сначала для частных случаев, затем в общем виде и графически (в виде круговых диаграмм); решается 15 разнотипных задач.

Во второй главе «Наука о подсчете числа комбинаций – комбинаторика» изучаются вопросы о том, сколько различных выборок, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству. Данная глава включена в настоящий сборник потому, что иногда комбинаторику рассматривают как введение в теорию вероятностей, т.к. методы комбинаторики существенно помогают при решении задач теории вероятностей осуществлять подсчет числа возможных исходов и числа благоприятных исходов в разных конкретных случаях. Данный раздел, в свою очередь, состоит из трех параграфов. В первом параграфе «Общие правила комбинаторики» вводятся правила суммы и произведения. Во втором параграфе «Выборки элементов» рассматриваются выборки без повторений, а именно перестановки, размещения и сочетания; решается 10 задач. В третьем параграфе «Выборки с повторениями» даются определения размещений, сочетаний и перестановок с повторениями; приводится 7 задач с решениями на данную тему.

Третья глава «Вероятность события» – это фактически основа курса. В ней даются определения классической и геометрической вероятностей; решаются 58 разнотипных задач; рассматриваются вероятности достоверного и невозможного событий.

Четвертая глава «Операции над вероятностями» состоит из пяти параграфов. В первом – «Вероятность суммы несовместных событий» – дается формула и правило нахождения суммы вероятностей, а также геометрическая интерпретация формулы; приводится с решениями 6 задач. Второй параграф – «Вероятность суммы совместных событий» – имеет ту же структуру.

Пятая глава «Независимые повторные испытания» состоит из 4 параграфов. В первом параграфе «Формула Я. Бернулли» рассматривается следующая проблема: «Как определить вероятность того, что при n повторных испытаниях событие произойдет ровно m раз»? Эту проблему решил ученый Я. Бернулли и вывел формулу, которая так и называется формула Я. Бернулли. На применение этой формулы решается 25 задач (приводятся задачи как на непосредственный подсчет вероятностей, так и обратные задачи на нахождение числа n). Во втором параграфе «Формула Муавра–Лапласа» рассматривается ситуация, когда вычисление вероятности с помощью формулы Я. Бернулли громоздко и затруднительно из-за больших значений n и m. Данную проблему решили математики А. Муавр и Лаплас. Они вывели формулу, которая так и называется формулой Муавра–Лапласа. На применение этой формулы приводится 9 задач. В третьем параграфе «Формула Пуассона» рассматривается ситуация, когда имеем дело с редко происходящими событиями, т.е. формула Муавра дает результаты, которые значительно отклоняются от результатов, полученных по формуле Я. Бернулли. Данной проблемой занимался Пуассон и вывел формулу для нахождения вероятности в данном случае. На применение этой формулы приводится 3 задачи. В четвертом параграфе «Формула Лапласа» решается проблема определения вероятности того, что при n испытаниях событие А произойдет не менее a и не более b раз. Данную проблему решил Лаплас. Здесь приводится 5 задач.

В заключении описывается история возникновения и становления теории вероятностей как науки.

^

Глава 1. Случайные события и операции над ними

§ 1. Случайное событие

Часто приходится размышлять над такими терминами, как «вероятность», «случай», «событие». Для наглядности и доходчивости они иногда заменяются разными синонимами, но суть их не меняется. Оттенок они получили вполне определенный. Теперь договоримся, что как назвать.

Подбрасываем монету. Появился герб. А ведь могла появиться и цифра. То, что появился герб, – случайное событие.

Школьник каждый вечер выходит на прогулку. Во время прогулки, в понедельник, он встретил трех знакомых. Конечно, это дело случая: он мог встретить только одного знакомого, четырех или вообще не встретить знакомых.

То, что он встретил именно трех, — случайное событие.

В этих примерах случайные события — последствия определен­ных действий или результаты наблюдений при реализации комплекса условий (подбрасывание монеты, выстрел, прогулка).

На основании только что разобранных примеров можно составить следующую характеристику случайного события.

^ называется такой исход эксперимента или наблюдения, который при реализации данного комплекса условий может произойти, а может и не произойти.

Кратко «случайные события» называют «событиями». Выделим два частных вида событий.

Проведем вначале (мысленно, разумеется) следующий экспери­мент: стакан с водой перевернем дном вверх. Если этот опыт прово­дить не в космосе, а дома или в классе, то вода выльется. Это досто­верное событие.

^ называется такое событие, которое при реализации данного комплекса условий непременно произойдет.

Произведено три выстрела по мишени. «Произошло пять попаданий» — невозможное событие.

Бросаем камень вверх. Камень остается висеть в воздухе — не­возможное событие.

Буквы слова «антагонизм» наугад переставляем. Получится сло­во «анахронизм» — невозможное событие.

^ называется такое событие, которое за­ведомо не может произойти при реализации данного комплекса условий.

Случайные события принято обозначать большими буквами ла­тинского алфавита A, В, С с индексами или без них¹. Достоверное событие будем обозначать U, невозможное — V.

Задачи

Задача 1. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Из 25 учащихся класса двое справляют день рождения: 1) 30 января; 2) 30 февраля.

Решение.

1) Событие, заключающееся в том, что двое из 25 учащихся ро­дились 30 января – случайное, оно может произойти, а может и не произойти (все зависит от состава группы из 25 учащихся).

2) Второе событие – невозможное, поскольку даты 30 февраля не существует, следовательно, никто из учащихся не мог родиться в такой день.

Ответ: 1) случайное; 2) невозможное.

Задача 2. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Случайным образом открывается учебник литературы и нахо­дится второе слово на левой странице. Это слово начинается: 1) с буквы «К»; 2) с буквы «Ь».

Решение.

1) Первое событие – случайное, так как оно может как произой­ти, так и не произойти в описанных условиях.

2) Второе событие – невозможное, так как в русском языке нет слов, начинающихся с буквы «ь».

Ответ: 1) случайное; 2) невозможное.

Задача 3. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Из списка журнала VIII класса (в котором есть и девочки, и мальчики) случайным образом выбран один ученик: 1) это мальчик; 2) выбранному ученику 14 лет; 3) выбранному ученику 14 месяцев; 4) этому ученику больше двух лет.

Решение.

1) Первое событие – случайное, так как оно может, как произойти, так и не произойти (если выбрана девочка) в описанных условиях.

2) Второе событие – тоже случайное, так как в классе могут не только дети – одногодки, но и дети, родившиеся на год раньше или на год позже нормы (7 лет при поступлении в школу плюс 7 лет учебы).

3) Третье событие невозможное, так как 14-месячьный ребенок физически не может учиться в VIII классе.

4) Четвертое событие – достоверное, так как каждый ученик класса, безусловно, старше двух лет.

Ответ: 1) случайное; 2) случайное; 3) невозможное; 4) достоверное.

Задача 4. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Сегодня в Сочи барометр показывает нормальное атмосферное давление. При этом: 1) вода в кастрюле закипела при t = 80°С; 2) когда температура упала до –5° С, вода в луже замерзла.

Решение.

1) В описанных условиях (вода чистая, атмосферное давление нормальное) это событие невозможное, так как температура кипения воды при нормальном давлении равна 100° С. При 80° С вода могла бы закипеть на вершине горы высотой 7000 метров (в районе Сочи таких гор нет). При нормальном давлении и температуре 80° С может закипеть бензин.

2) В описанных условиях это событие невозможное, так как температура плавления воды при нормальном давлении равна 0° С, то есть вода замерзает при 0° С. Снижение этой температуры для воды имеет место при повышении давления.

Ответ: 1) невозможное; 2) невозможное.

Задача 5. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Измерены длины сторон треугольника. Оказалось, что длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон.

Решение.

Описанное событие – достоверное, так как необходимым условием образования треугольника является то, что длина каждой его стороны должна быть меньше суммы длин двух других сторон. Поскольку треугольник существовал, то обязательно выполнялось это условие.

Ответ: достоверное.

Задача 6. Для каждого из описанных событий определите каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Бросают две игральные кости: 1) на первой кости выпало 3 очка, а на второй – 5 очков; 2) сумма выпавших на двух костях очков ровна 1; 3) сумма выпавших на двух костях очков равна 13; 4) на обеих костях выпало по 3 очка; 5) сумма очков на двух костях меньше 15.

Решение.

1) Это событие случайное, так как может произойти или не произойти в описанных условиях.

2) Это событие невозможное, так как на каждом кубике может выпасть не менее 1 очка, следовательно, сумма выпавших очков не может быть меньше 2.

3) Это событие невозможное, так как на каждом кубике может выпасть не более 6 очков, следовательно, сумма выпавших очков не может быть больше 12.

4) Событие случайное (может произойти, может не произойти).

5) Событие достоверное, так как сумма выпавших очков при всех возможных исходах не может быть больше 12, то есть она все­гда меньше 15.

Ответ: 1) случайное; 2) невозможное; 3) невозможное; 4) случайное; 5) достоверное.

Задача 7. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное. Оцените его словами «стопроцентная вероятность», «нулевая вероятность», «маловероятно», «достаточно вероятно»:

а) день рождение моего друга – число, меньше чем 32;

б) на уроке математики ученики делали физические упражнения;

в) на уроке математики ученики решали математические задачи;

г) сборная России по футболу станет чемпионом мира в 2007 году;

д) сборная России по хоккею станет чемпионом мира в 2007 году;

е) из интервала (1;2) наугад взяли какое-то число, оно оказалось натуральным;

ж) из отрезка [1; 2] наугад взяли какое-то число, оно оказалось смешанным;

з) вверх подкинули монету и она упала на землю «орлом»;

и) вверх подкинули монету и она упала на землю, встав на ребро.

Решение.

а) Достоверное событие, стопроцентная вероятность (в каждом месяце меньше 32 дней).

б) Случайное событие, маловероятно, если в школе нет обязательных физкультурных пауз на уроках.

в) Достоверное событие, стопроцентная вероятность, если это действительно был урок математики, а не какое-либо мероприятие в это время.

г) Случайное событие, маловероятно.

д) Случайное событие, достаточно вероятно.

e) Невозможное событие, нулевая вероятность: в интервале (1; 2) нет натуральных чисел.

ж) Случайное событие, достаточно вероятно (кроме смешанных, рациональных чисел, отрезок содержит также иррациональные числа, например и т. п.).

з) Случайное событие, достаточно вероятно.

и) Случайное событие, маловероятно. Отметим, что, рассматривая эксперимент с бросанием монеты, полагают, что он имеет только два возможных исхода: орел или решка. Физически возможна и остановка монеты на ребре, но в таких (очень редких) случаях обычно считают, что эксперимент не состоялся.

Ответ: а) достоверное; б) случайное; в) достоверное; г) слу­чайное; д) случайное; е) невозможное; ж) случайное; з) случайное; и) случайное;

Задача 8. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное.

Вы открыли эту книгу на любой странице и прочитали первое попавшееся существительное. Оказалось, что:

а) в написании выбранного слова есть гласная буква;

б) в написании выбранного слова есть буква «о»;

в) в написании выбранного слова нет гласных букв;

г) в написании выбранного слова есть мягкий знак.

Решение.

а) Событие достоверное, так как в русском языке нет существи­тельных, состоящих только из согласных букв.

б) Событие случайное.

в) Событие невозможное (см. пункт а).

г) Событие случайное.

Ответ: а) достоверное; б) случайное; в) невозможное; г) слу­чайное.

Задача 9. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное.

Даны два интервала (0; 1) и (5; 10). Из первого интервала выбрали число а, из второго – число с. Оказалось, что:

а) число а меньше числа с;

б) число а больше числа с;

в) число а + с принадлежит интервалу (5; 10);

г) число а + с не принадлежит интервалу (5; 10).

Решение.

а) Событие достоверное, так как любое число из интервала (0; 1) меньше любого числа из интервала (5; 10).

б) Событие невозможно (см. пункт а).

в) Событие случайное. Оно происходит, когда 5 < а + с < 10, и происходит, если это неравенство не выполняется. Легко видеть, что все возможные значения суммы а + с принадлежат интервалу (5; 10).

г) Событие случайное. Оно происходит, когда 10 < а + с < 11 (см. пункт в).

Ответ: а) достоверное; б) невозможное; в) случайное; г) случайное.

Задача 10. В мешке лежат 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Охарактеризуйте следующее событие как достоверное, невозможное или случайное:

а) из мешка вынули 4 шара, и все они синие;

б) из мешка вынули 4 шара, и все они красные;

в) из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета;

г) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета.

Решение.

а) Событие невозможное, так как в мешке только 3 синих шара; четыре синих вынуть нельзя.

б) Событие случайное, может произойти, может и не произойти.

в) Событие невозможное, так как в мешке лежат шары только трех разных цветов.

г) Событие достоверное, так как в мешке нет шаров черного цвета.

Ответ: а) невозможное; б) случайное; в) невозможное; г) достоверное.

Задача 11. В двух урнах находятся по пять шаров пяти разных цветов: белого, синего, красного, желтого, зеленого. Из урны одновременно вынимают по одному шару. Охарактеризуйте указанное ниже событие как достоверное, случайное или невозможное:

а) вынуты шары разного цвета;

б) вынуты шары одного цвета;

в) вынуты черный и белый шары;

г) вынуты два шара, причем каждый оказался окрашенным в один из следующих цветов: белый, синий, красный, желтый, зеленый.

Решение.

а) Событие случайное.

б) Событие случайное.

в) Событие невозможное, так как ни в одной из двух урн нет шаров черного цвета.

г) Событие достоверное, так как в каждой урне есть шары указанных цветов, и ни в одной из двух урн нет шаров других цветов.

Ответ: а) случайное; б) случайное; в) невозможное; г) достоверное.

§ 2. Множество элементарных событий

Допустим, что при бросании игральной кости нас интересует появление определенного числа очков.

Выпадение конкретного числа очков i (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) мы назовем элементарным событием и обозначим e_i.

Осуществление одного элементарного события в качестве ре­зультата испытания, очевидно, исключает реализацию других.

Ясно, что при бросании игральной кости непременно произой­дет одно из элементарных событий:

e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆ .

Будем считать, что все эти элементарные события образуют множество элементарных событий ^ — достоверное событие (по определению).

Рассмотрим события:

1) А — «появление четного числа очков при бросании играль­ной кости». Этому событию благоприятствуют элемен­тарные события е₂, e₄, e₆. Разумеется, множество этих событий является подмножеством E,

2) В — «появление числа очков не больше четырех». Этому событию благоприятствует подмножество множества элементарных событий Е:

e₁, e₂, e₃, e₄,

Таким образом, событие А может быть представлено подмножес­твом элементарных событий (е₂, e₄, e₆), событие В—подмноже­ством элементарных событий (e₁, e₂, e₃, e₄).

Представляя события как подмножества множества элементар­ных событий, обозначим А (е₂, e₄, e₆ ), В (e₁, e₂, e₃, e₄).

Бросаем монету. Событие Г — «появление герба» и событие Ц — «появление цифры» тоже образуют множество элементарных событий.

Если события A, В можно сравнить в смысле возможности их появления, то сравнение, например, событий А и Г смысла не имеет, потому что они представляются подмножествами разных множеств элементарных событий.

§ 3. Операции над событиями

Сложение

По мишени произведено 4 выстрела. Рассмотрим события:

A₀ — «попаданий нет»;

А₁ — «одно попадание»;

A₂ — «два попадания»;

A₃ — «три попадания»;

A — «не больше трех попаданий».

Разумеется,

Вместе с тем событие A не содержит никаких других событий, кроме A_о, A₁, A₂, A₃. Поэтому естественно событие A считать сум­мой событий A_о, A₁, A₂, A₃.

Суммой событий A₁, A₂, A₃,…, А_п называется событие A, со­стоящее в появлении хотя бы одного из событий A₁, A₂, A₃,…, А_п (или А₁ или A₂, …, или А_п, или нескольких из них, или всех).

Символически:

А = А₁ + A₂ + A₃ + … + А_n. (2.1)

Рассмотрим три события:

A — «появление одного очка при бросании игральной кости»,

В — «появление двух очков при бросании игральной кости»,

^ — «появление не больше двух очков при бросании игральной

кости».

Нетрудно заметить, что событие С является следствием A или В, поэтому

С = A + В.

Ясно, что события A и В не могут произойти одновременно. Поэтому, представляя их разными секторами круга, получаем следующее графическое изображение события С = A + В (рис. 1). Приведем теперь графическое представление суммы событий: A — «появление больше чем 4 очка при бросании игральной кости»,

В — «появление больше чем 3 очка и меньше чем 6 очков при бросании игральной кости»,

С — «появление больше чем 3 очка при бросании игральной кости».

Ясно, что С = А + В. Так как событию А соответствует «появ­ление или 5, или 6 очков», а событию В — «появление или 4, или 5 очков», то, изображая эти события разными полукругами, получа­ем иное представление события

Рис. 1.

Рис. 2.

С = А + В (рис. 2). То, что в рисун­ке суммы А + В одна четверть круга принадлежит и событию А и событию 5, не является случайностью: частью обоих этих событий является событие «появление 5 очков».

События А и В могут быть подмножествами одного и того же множества элементарных событий ^ следующим образом: А (е₅, е₆), В (e₄, e₅)- Тогда сумма этих событий А + В представляется объединением этих подмножеств (е₄, е₅, е₆). Вообще, если событие А представлено подмножеством A* множества элементарных собы­тий E, а событие В — подмножеством B* того же множества элемен­тарных событий, то сумма А + В будет представлена объединением A* В*.

Графическое представление суммы событий позволяет устано­вить следующие закономерности²:

1) А + В = В + А

2) (А + В) + С = А + (В + С). (2.2)

Задачи

Задача 12. Событие А – «попадание в мишень первым выстрелом»,

событие В – «попадание в мишень вторым выстрелом».

В чем состоит событие А + В?

Решение.

Событие А+В состоит в попадании 2 выстрелов в мишень.

Ответ: попадание 2 выстрелами.

Задача 13. Опишите, в чем состоит сумма следующих несовместных событий.

а) Учитель вызвал к доске ученика (событие ^ ученицу (собы­тие В).

б) «Родила царица в ночь, не то сына (событие А), не то дочь (событие В)…».

в) Случайно выбранная цифра меньше 5 (событие ^ больше 6 (событие В).

г) Из 10 выстрелов в цель попали ровно 7 раз (событие А), не более 6 раз (событие В).

Решение.

а) Учитель вызвал к доске ученика или ученицу ()

б) Царица родила сына или дочь ().

в) Случайно выбранная цифра меньше 5 или больше 6 (, то есть это одна из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9).

г) Из десяти выстрелов в цель попали не более 7 раз (, то есть число попаданий 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7 раз).

Ответ: 4 сложных события, являющихся суммой двух несо­вместных событий.

Задача 14. Событие А – «лотерейный выигрыш 1 руб.»,

событие ^ – «лотерейный выигрыш 2 руб.»,

событие С – «лотерейный выигрыш 3 руб.»,

событие D – «лотерейный выигрыш 4 руб.».

В чем состоит событие A + B + C + D?

Решение.

По определению событие A + B + C + D – «по лотерее выиграно не больше 4 руб.».

Ответ: по лотерее выиграно не больше 4 руб.

Умножение

Произвольно выбираем два двузначных числа. Определяем со­бытия:

^ — «выбранные числа кратны 2»,

В — «выбранные числа кратны 3»,

С — «выбранные числа кратны 6».

Событие С происходит, если одновременно происходят события A и В. Если одно из событий A или В не произойдет, то не про­изойдет и С. Принято такое событие С называть произведением событий A и В.

В общем случае произведение событий определяется так:

^ A₁, A₂, A₃,…, А_п называется событие А, состоящее в одновременном исполнении всех (и А₁, и A₂, и A₃, . . ., и А_n) событий A₁, A₂, A₃,…, А_п.

Символически:

A = A₁ A₂ A₃ … А_п. (2.3)

Рассмотрим еще пример:

A — «входящий в подъезд человек — мужчина»,

В — «входящий в подъезд человек светловолосый»,

С — «входящий в подъезд человек — светловолосый мужчина».

Событие С происходит только при одновременном исполнении событий A и В, поэтому С = АВ.

Пусть события A и В представлены подмножествами одного и того же множества элементарных событий E так: A (е₁, е₂, е₃), В(е₂, e₃, e₄).

Тогда произведение АВ будет представлено пересечением этих подмножеств .

Рис. 3

Рис. 4

Вообще, если событие ^ представлено подмножеством А* мно­жества элементарных событий Е, а событие В — подмножеством В* того же самого множества элементарных событий, то произве­дение А В будет представлено пересечением .

Изображая события А и В разными полукругами, получим сле­дующую геометрическую интерпретацию события С = АВ (рис. 3).

Сравнивая события

^ — «появление герба при первом бросании монеты»,

В — «появление цифры при первом бросании монеты», выяс­няем, что совместное осуществление этих событий невозможно.

Символически это записываем так:

АВ = V. (2.4)

Геометрическая интерпретация приведена на рисунке 4.

Два события А и В, произведение которых — невозможное собы­тие (АВ = V), называются несовместимыми событиями.

Произведение несовместимых событий представляется пустым множеством. Для таких событий А и В определение суммы событий формулируется так:

Суммой двух несовместимых событий А и В называется событие ^ , осуществляющееся в появлении либо события А, либо события В.

Разберемся в таких событиях:

А₁ — «появление одного очка при бросании игральной кости»,

A₂ — «появление двух очков при бросании игральной кости»,

A₃ — «появление трех очков, при бросании игральной кости»,

^ — «появление не больше трех очков при бросании играль­ной кости».

Имеют место следующие зависимости:

1) А = А₁ + А₂ + А₃; 2) А₁А₂ = V; А₁А₃ = V; А₂А₃ = V.

Если события A₁, A₂, A₃ и А удовлетворяют условиям (1) и (2), то событие А составлено из событий A₁, A₂, А₃.

Рассмотрим следующие пары событий:

Естественно, события в каждой из пар считать противополож­ными. Установим два свойства, которым удовлетворяет любая из этих пар событий:

1. Сумма событий каждой пары — достоверное событие:

A₁ + A₂=U,

B₁ + B₂=U,

С₁ + С₂= U.

2. Произведение событий каждой пары — невозможное собы­тие:

A₁ A₂=V,

В₁ В₂ = V,

С₁ С₂ = V.

Теперь можно ввести определение:

Если сумма событий А и В — достоверное событие, а произве­дение — невозможное событие, события А и В называются противо­положными.

Если А и В — противоположные события, то символически за­писываем это так:

, или

Тогда , а .

Задачи

1. Событие А – «попадание в мишень первым выстрелом»,

событие В – «попадание в мишень вторым выстрелом».

В чем состоит событие ^ ?

Решение.

Событие АВ, по определению, состоит в попадании первыми 2 выстрелами по мишени.

Ответ: попадание первыми 2 выстрелами.

1. Событие А₁ – «появление четного числа очков при бросании игральной кости»,

событие А₂ – «появление 2 очков при бросании игральной кости»,

событие А₃ – «появление 4 очков при бросании игральной кости»,

событие А₄ – «появление 6 очков при бросании игральной кости».

Докажите:

1) ;

2) А₂А₃ = V;

3) .

Решение.

1) – «появление не 6 очков при бросании игральной кости», т.е. появление 1, 2, 3, 4 и 5 очков, следовательно, – «появление четного числа очков, но не 6», а значит – 2 или 4 очков. (по определению) – «появление 2 или 4 очков», что и требовалось доказать.

2) При бросании кости, она падает на одну грань, а значит не может одновременно выпасть 2 и 4 очка, следовательно, А₂А₃ – невозможное событие.

3) – «появление не 2 очков», – «появление не 4 очков», а (по определению)– «появление четного числа очков, но не 2 и 4, т.е. 6 очков», но это есть событие .

Вычитание

А –– «наугад остановленный мужчина –– брюнет»,

В — «наугад остановленный мужчина — высокого роста»,

С — «наугад остановленный мужчина — невысокий брюнет».

Нетрудно заметить, что со­бытие ^ означает то, что про­изошло А, но не произошло В. Принято такое событие С считать разностью событий А и В.

Вообще, разностью событий А и В называется событие С, состоя­щее в том, что произошли те элементарные события, которые вхо­дят в А, но не входят в В. В таком случае пишем:

С=А—В. (5.7)

Если это определение выразить символами уже известных нам соотношений, то

. (2.6)

Рис. 5.

Пусть события А и В представлены подмножествами одного и того же множества элементарных событий Е, A = {e₁, е, е₃, е₄} и В = {е₂, е₄}. Тогда разность событий А — В представляется подмно­жеством {е₁, е₃}.

Геометрически разность событий изображена на рисунке 5.

Рассмотрим следующую задачу.

1. Пусть A, В и С — события. Доказать, что А (В — С) = АВ — АС.

На языке теории множеств . Получим отсюда как следствие, что

Теперь пусть . Приведем рассуждения в обрат­ном порядке:

Следовательно, равенство А (В – С) = АВ – АС действительно имеет место, поскольку множества А (В – С) и АВ – АС состоят из одних и тех же элементарных событий.

Задачи

1. Событие А – «попадание в мишень»,

событие В – «попадание в мишень первым выстрелом».

В чем состоит событие ^ ?

Решение.

По определению, событие А – В состоит в попадании в мишень не первым выстрелом.

Ответ: попадание не первым выстрелом.

1. Событие ^ – «получение достаточной для сдачи экзамена оценки»,

событие В – «получение пятерки».

В чем состоят события А – В, , .

Решение.

Событие А – В – получение 4 или тройки;

событие – получение пятерки;

событие – невозможное событие(по определению).

Ответ: получение 4 или 3; получение пятерки; невозможное событие.

Цели урока.

1. Повторить определение вероятности события в
   случае равновозможных исходов, теорему о сумме
   двух несовместных событий, основное правило
   комбинаторики.
2. Формировать умения применять этот
   теоретический материал к решению задач.
3. Развивать логическое мышление в процессе
   применения теоретических фактов при решении
   задач.
4. Показать возможности экспериментальной
   проверки общих математических утверждений.

1. Повторение проводится в форме опроса
учащихся.

Вопрос. Что называется вероятностью случайного
события?

Ответ. Вероятностью события называется
отношение числа благоприятных для него исходов к
числу всех равновозможных исходов.

Вопрос. Что называется суммой двух событий?

Ответ. Суммой двух событий A и B
называется такое событие, которое происходит
тогда и только тогда, когда либо произошло
событие A, либо событие B, либо оба события
произошли одновременно.

Вопрос. В каком случае два события называются
несовместными?

Ответ. Два события называются несовместными,
если они не могут произойти в результате одного и
того же опыта.

Вопрос. Сформулируйте теорему о сумме двух
несовместных событий.

Ответ. Если события A и B несовместны, то P(A+B)
= P(A) + P(B).

Вопрос. В чем состоит основное правило
комбинаторики?

Ответ. Если объект A можно выбрать n
способами, а объект B можно выбрать m способами,
то выбор пары, состоящей из A и B, можно
осуществить n·m способами.

Задача № 1. Из 25 экзаменационных билетов
по математике Николай успел подготовить 20
билетов. Какова вероятность того, что на экзамене
ему достанется билет, который он подготовил?

Решение. Проводим рассуждения в форме
беседы с учащимися.

Сколько равновозможных исходов существует при
выборе билетов? Вывод: 25.

Вероятность какого события надо определить и
сколько исходов ему благоприятствуют? Вывод: 20.

Используя определение вероятности события,
находим p == 0,8.

Ответ. 0,8.

Дополнительный вопрос. А какова
вероятность, что Николаю не повезет?

Ответ: т.к. сумма вероятностей события и
события ему противоположного равна 1, эта
вероятность равна 1 — 0,8 = 0,2.

Теперь решим более сложную задачу про экзамен.

Задача № 2. Из 25 вопросов по
алгебре и 25 вопросов по геометрии произвольным
образом составлены экзаменационные билеты,
каждый из которых состоит из одного вопроса по
алгебре и одного — по геометрии. Коля выучил 20
вопросов по алгебре и 15 вопросов по геометрии.
Найти вероятность того, что он получит хорошую
оценку (четверку или пятерку), т.е. ответит
на оба вопроса.

Решение. Проводим рассуждения в форме
беседы с учащимися.

Сколько равновозможных исходов существует при
произвольном (т.е. случайном) составлении билетов
из двух вопросов?

Каждый из 25 вопросов по алгебре может оказаться
в паре с любым из 25 вопросов по геометрии. Поэтому
для нахождения всех способов нужно
воспользоваться основным правилом
комбинаторики – правилом умножения: 25×25 = 625.
Вывод: число всех равновозможных исходов n =
625.

Вероятность какого события надо определить и
сколько исходов ему благоприятствуют?

Надо определить вероятность события,
состоящего в том, что Коле достанется билет, в
котором он знает и вопрос по алгебре и вопрос по
геометрии. Т.к. Коля выучил 20 вопросов по алгебре
и 15 вопросов по геометрии, по основной теореме
комбинаторики находим, что число исходов,
благоприятных для этого события, есть 20×15 = 300.
Вывод: число благоприятных исходов m = 300.

Используя определение вероятности события,
находим

Ответ. 0,48.

Продолжим исследование Колиных шансов. Как
поставить вопрос?

Задача № 3. Ответ на экзамене оценивается
тройкой, если ученик отвечает на один (любой)
вопрос. Какова вероятность того, что Коля
получит тройку?

Решение. Число всех равновозможных исходов
при составлении билетов то же самое, что и в
предыдущей задаче: n = 625.

Для интересующего нас события благоприятны
такие исходы:

1. Коля получит билет, в котором он знает ответ
на первый вопрос и не знает ответа на второй.

2. Коля получит билет, в котором он знает ответ
на второй вопрос, но не знает ответа на первый.

Подсчитаем число элементарных исходов первого
типа. Поскольку Коля знает ответы на 20 вопросов
по алгебре и не знает ответов на 10 вопросов по
геометрии, согласно основной теореме
комбинаторики таких исходов будет m₁ =
20×10 = 200.

Аналогично находим число благоприятных
исходов второго типа m₂ = 15?5 = 75 (Коля знает
ответы на 15 вопросов по геометрии и не знает
ответов на 5 вопросов по алгебре). Таким образом,
общее число благоприятных исходов

m = m₁ + m₂ = 200 + 75 = 275.

По определению вероятности события получаем

Ответ. 0,44.

Наконец найдем вероятность того, что Коле
совсем не повезет.

Решение. Число всех равновозможных исходов
при составлении билетов то же самое, что и в
предыдущих задачах: n = 625. Число благоприятных
исходов для интересующего нас события (но не для
Коли!) m = 5×10 = 50, а его вероятность

Ответ. 0,08.

3. Итог урока.

Итак, решая задачи, мы вычислили вероятности
трех событий: Коля получит хорошую оценку,
удовлетворительную и не сдаст экзамен. Эти
вероятности оказались такими: 0,48; 0,44; 0,08. Заметим,
что их сумма равна 1, а также то, что эти события
обладают следующими свойствами:

1. Они попарно несовместны.
2. Они исчерпывают все множество элементарных
   исходов.

Совокупность любого числа событий,
удовлетворяющих этим условиям, называется
полной группой несовместных событий. Установленный
нами факт представляет собой частный случай
следующей общей теоремы теории вероятности.

Теорема. Сумма вероятностей событий,
составляющих полную группу несовместных
событий, равна 1.

Пользуясь этой теоремой, можно упростить
решение некоторых задач на вычисление
вероятностей. Например, задачу №3 можно решить
так: 1 – 0,48 – 0,08 = 0, 44.

4. Задание на дом.

Задачи можно выбрать из [1-5].

Для учащихся, проявляющих повышенный интерес к
изучению математики, можно предложить следующие
задачи, продолжающие цикл задач 2-4, решенных на
уроке.

Ученикам нужно дать указание: повторите
определение условной вероятности и теорему
умножения вероятностей для зависимых событий,
см., например, [5, 12.4].

Решение. Коля получит пятерку, если на
экзамене произойдут два события: он ответит на
оба вопроса из билета (событие А) и
ответит на дополнительный вопрос (событие В).
Поэтому мы должны определить вероятность
события АВ, которая согласно теореме об
умножении вероятностей находится по формуле

Р (АВ) = Р(А)Р_А(В).

Вероятность Р(А) = 0,48 была определена при
решении задачи №2. Вероятность Р_А(В)
это условная вероятность, т.е. вероятность
того, что событие В произойдет, если событие А
уже наступило. Эта вероятность, определяется по
той же самой формуле , что и раньше, но теперь n это
число всех возможных исходов, которые остались
после того, как Коля уже ответил на оба вопроса, а m
это число оставшихся благоприятных исходов.

Отсюда следует, что n = 25×2 – 2 = 48 (всего 25
билетов по 2 вопроса, а 2 вопроса были в билете и
экзаменатор их задавать не будет), а m = 20 + 15 – 2
= 33 (всего 35 вопросов Коля выучил, а на два из них
уже ответил).

Р_А (В) = и Р (АВ) = 0,48 x = 0,33.

Ответ. 0,33.

Следующая задача похожа на задачу №4, но
существенно от нее отличается. Речь пойдет об
условиях, при которых Коля получит тройку. Дело в
том, что если ученик ответит только на один
вопрос, например, по алгебре, то экзаменатор
конечно же не сразу поставит ему даже тройку: а
вдруг это бездельник, которому с алгеброй просто
повезло, а геометрию он совсем не выучил. Ученику
будет задан еще один вопрос по геометрии и если
он на него ответит, то получит желанную тройку.
Аналогично в случае, когда ученик ответит по
геометрии и не ответит по алгебре.

Решение. Событие, означающее получение
тройки можно представить в виде суммы двух
несовместных событий:

Событие A: Коля отвечает на вопрос по
алгебре (вероятность ) и не отвечает на вопрос по
геометрии ( ) и отвечает на дополнительный
вопрос по геометрии ( !).

Событие B: Коля не отвечает на вопрос по
алгебре ( ) и отвечает на вопрос по геометрии
( ) и
отвечает на дополнительный вопрос по алгебре ( ).

Вероятности событий A и B определяем по
формуле умножения вероятностей. Ее нужно
использовать и в случае независимых событий
(знает ответ на один вопрос в билете и не знает
ответ на второй) и в случае зависимых (отвечает на
дополнительный вопрос, при условии, что не знал
ответ на соответствующий вопрос в билете).

Получаем

P(A) = , P(B) =

Вероятность получить тройку определяем по
формуле сложения вероятностей, т.к. события A
и B несовместны:

P(A+B) = P(A) + P(B) = .

Для того, чтобы определить вероятность
получения двойки лучше всего воспользоваться
теоремой о полной группе несовместных событий,
т.к. вероятность получения четверки и пятерки (0,48)
была уже определена при решении предыдущих
задач:

1 – 0,48 – 0,3 =0,22.

Ответ. 0,3 и 0,22.

1. Программы общеобразовательных учреждений.
   Алгебра. 7–9 классы. М.: Просвещение, 2008.
2. Программы общеобразовательных учреждений.
   Алгебра и начала математического анализа. 10–11
   классы. М.: Просвещение, 2009.
3. Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразоват.
   учреждений под ред. С.А. Теляковского. М.:
   Просвещение, 2009.
4. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. Алгебра: элементы
   статистики и теории вероятностей: учебное
   пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразовательных
   учреждений. М. Просвещение, 2008.
5. Алгебра и начала анализа: учебник для 10 класса
   общеобразовательных учреждений: базовый и
   профильный уровни. C. М. Никольский, М.К. Потапов,
   Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. М.: Просвещение, 2010.

Содержание:

1. Случайные опыты и события
2. Элементарные события
3. Частота события
4. Формула классической вероятности
5. Комбинаторные методы решения вероятностных задач
6. Геометрическая вероятность
7. Операции над событиями
8. Несовместные события. Формула сложения вероятностей
9. Совместные события. Формула сложения вероятностей
10. Независимые события. Формула умножения вероятностей
11. Зависимые события. Формула умножения вероятностей
12. Сложение и умножение вероятностей
13. Повторение испытаний. Формула Бернулли

Элементы теории вероятности

Элементы теории вероятностей

Теория вероятностей (ТВ) — раздел математики, изучающий вероятности событий. ТВ разрабатывает методы, с помощью которых можно вычислить вероятности одних событий, зная вероятности других. ТВ изучает также случайные величины и их распределения.

Случайные опыты и события

То или иное событие может осуществиться только при определенных условиях.

Определение. Случайное событие -событие, которое может наступить в ходе некоторого опыта, а может не наступить.

Например, при бросании игральной кости невозможно предсказать, какая из шести граней выпадет.

Определение. Те условия и действия, при которых может осуществиться случайное событие, называют случайным опытом (экспериментом, испытанием).

Например, в опыте «подбрасывание симметричной монеты» возможно случайное событие «появление орла».

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теории вероятности:

Элементарные события

В каждом опыте можно выделить такие элементарные события, из которых состоят все остальные события.

Определение. События, которые нельзя разбить на более простые, называют элементарными событиями (исходами, случаями).

• Например, событие «выпало четное число очков» при бросании игральной кости состоит из трех элементарных событий: «выпало два очка», «выпало четыре очка», «выпало шесть очков».

Определение. Элементарные события, при которых наступает событие А, называют элементарными событиями, благоприятствующими (благоприятными) событию А.

Например, событию «сумма очков на обеих костях равна 7» при двойном бросании игральной кости благоприятствуют только шесть элементарных событий (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1).

Определение. Элементарные события, шансы наступления которых одинаковы, называют равновозможными событиями.

Примером может служить опыт, состоящий в бросании правильной игральной кости. В этом опыте шесть элементарных событий, и все они равновозможны.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Частота события

Пусть при проведении п случайных опытов событие А наступило к раз. Частотой события А называют отношение

Сумма частот всех элементарных событий случайного опыта равна единице.

Пример 10.

Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных детей 515 мальчиков. Найдите частоту рождения мальчика в такой серии наблюдений.

Решение:

Определим событие А -«рождение мальчика». Из условия задачи имеем . Тогда частота события А в данной серии наблюдений равна

Ответ: 0,515.

Формула классической вероятности

Вероятность — есть число, характеризующее возможность наступления события.

Определение. Вероятностью Р события А называют отношение числа т исходов, благоприятных этому событию, к общему числу л исходов

Сумма вероятностей всех элементарных событий случайного эксперимента равна 1.

Пример 11.

Из колоды в 36 карт одну за другой вытягивают две карты, не возвращая карту обратно. Какова вероятность того, что они одного цвета?

Решение:

Обозначим через А событие «обе карты одного цвета». Подсчитаем общее количество исходов, используя правило умножения « = 36-35 (для первой карты 36 вариантов, для второй — 35 вариантов). Количество благоприятствующих исходов m =36 17(для первой карты 36 вариантов, для второй — 17 вариантов). Искомая вероятность

Ответ:

Комбинаторные методы решения вероятностных задач

Умение находить число перестановок, размещений, сочетаний по формулам позволяет также решать задачи на вычисление вероятности.

Пример 12.

В классе 7 мальчиков и 14 девочек. 1 сентября случайным образом определяют двух дежурных на 2 сентября, которые должны приготовить класс к занятиям. Найдите вероятность того, что будут дежурить два мальчика.

Решение:

Обозначим через А событие «будут дежурить два мальчика». Общее число исходов (число сочетаний из 21 по

2) Число благоприятных исходов (число сочетаний из 7 по

2) . Согласно определению вероятности имеем

Ответ: 0,1.

Геометрическая вероятность

Если число исходов некоторого опыта бесконечно, то классическое определение вероятности не может служить характеристикой степени возможности наступления того или иного события. В этом случае пользуются геометрическим подходом к определению вероятности. При этом вероятность события А есть отношение меры А (длины, площади, объема и т.д.) к мере О пространства элементарных событий.

Пример 13.

В круг радиуса R наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется внутри данного вписанного правильного треугольника.

Решение:

Искомая вероятность равна отношению площади треугольника к площади круга:

Ответ: =0,4137.

Операции над событиями

Действия над случайными событиями определяют по аналогии с действиями в теории множеств.

Определение. Суммой (объединением) событий А и В называют событие (обозначение ), состоящее в появлении либо только события А, либо только события В. либо и события А и события В одновременно.

Фразу «наступит или событие А или событие В или оба события А и В» обычно заменяют фразой «наступит хотя бы (по крайней мере) одно из данных событий».

Пример 14.

Если событие А — попадание в цель при первом выстреле, событие В — попадание в цель при втором выстреле, то событие С = А + В есть попадание в цель вообще (или только при первом выстреле, или только при втором выстреле, или при 1-м и при 2-м выстрелах).

Определение. Событием, противоположным событию А, называют событие (обозначение ), которому благоприятствуют все элементарные события, не благоприятствующие событию А.

Выпадение герба и выпадение решки при одном бросании монеты, попадание и промах при одном выстреле — события противоположные.

Определение. Произведением (пересечением) двух событий А и В называется событие (обозначение АВ или ), состоящее в совместном выполнении события А и события В .

Пример 15.

Если событие А — попадание в цель при первом выстреле, событие В — попадание в цель при втором выстреле, то событие С = АВ есть попадание при обоих выстрелах (и при первом выстреле и при втором выстрелах).

Несовместные события. Формула сложения вероятностей

Рассмотрим теоремы, при помощи которых по вероятностям одних случайных событий вычисляют вероятности других случайных событий.

Определение. События называют несовместными, если они не могут происходить одновременно в одном и том же испытании.

Например, выигрыш, ничейный исход и проигрыш одного игрока в одной партии в шахматы — три несовместных события.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В (появления хотя бы одного события) равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема обобщается на любое число попарно несовместных событий.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и равна 1:

Пример 16.

Зачет по стрельбе курсант сдаст, если получит оценку не ниже 4. Какова вероятность сдачи зачета, если известно, что курсант получает за стрельбу оценку 5 с вероятностью 0,3 и оценку 4 с вероятностью 0,6?

Решение:

Данный опыт состоит в том, что проведены стрельбы и по ним курсант получил оценку. В этом опыте обозначим через А событие «по стрельбе курсант получил оценку 5» и через В событие «по стрельбе курсант получил оценку 4». Эти события несовместны. Событие С «зачет сдан» является их суммой С = А + В . Из условия задачи следует, что вероятности и . По формуле сложения вероятностей несовместных событий имеем:

Ответ: 0,9.

Пример 17.

Наудачу берется трехзначное число. Какова вероятность того, что хотя бы две его цифры совпадают?

Решение:

Данный опыт состоит в том, что наудачу берется натуральное число из чисел от 100 до 999 и смотрят, есть ли в нем одинаковые цифры. Очевидно, что исходы «взяли наудачу трехзначное число» равновероятны, число этих исходов т = 900 . Введем событие А «у выбранного числа совпадают хотя бы две цифры». Проще подсчитать вероятность противоположного события А «у выбранного числа все цифры различны». Количество благоприятных событий равно .

Тогда и

Ответ: 0,28.

Совместные события. Формула сложения вероятностей

Рассмотрим формулу для вероятности суммы двух событий в общем случае (не обязательно несовместных).

Определение. События называют совместными, если они могут происходить одновременно. Например, при бросании двух монет выпадение решки на одной не исключает появления решки на другой монете.

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий А и В (появления хотя бы одного события) равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, то есть

Частным случаем приведенной формулы является формула сложения вероятностей для несовместных событий, так как их совместное наступление есть невозможное событие и Р(АВ) = 0.

Для случая трех совместных событий формула имеет вид:

Пример 18.

Прибор, состоящий из двух блоков, выходит из строя, если выходят из строя оба блока. Вероятность безотказной работы за определенный промежуток времени первого блока составляет 0,9, второго — 0,8, обоих блоков — 0,75. Найти вероятность безотказной работы прибора в течение указанного промежутка.

Решение:

Обозначим через А событие «первый блок работает безотказно в течение определенного промежутка времени», через В событие «второй блок работает безотказно в течение определенного промежутка времени», через АВ событие «оба блока работают безотказно в течение определенного промежутка времени». Событие С «прибор работает безотказно в течение определенного промежутка времени» является суммой событий А и В: С = А + В . Из условия задачи известны вероятности Р( А) = 0,9,

. По формуле сложения вероятностей имеем:

Ответ: 0,95.

Рассмотрим обратную задачу.

Пример 19.

Школьнику надо сдать зачет по математике. В каждом билете — по два вопроса. Всего 25 билетов. Из них 5 билетов школьник вообще не учил. В каждом из оставшихся 20 билетов он хотя бы один вопрос выучил, причем в 18 билетах школьник выучил первый вопрос и в 15 билетах — второй вопрос. Школьник может получить удовлетворительную оценку, если вытащит такой билет, оба вопроса которого он знает. Какова вероятность того, что школьник сдаст зачет, если он первый тянет билет?

Решение:

Обозначим через А событие «школьнику достанется билет, первый вопрос которого он знает», через В событие «школьнику достанется билет, второй вопрос которого он знает», тогда событие А + В означает, что «школьник знает хотя бы один вопрос из 20».

Надо определить Р(АВ), где событие АВ означает, что «школьник ответит на 2 вопроса билета». Событию АВ благоприятствуют 20 вопросов из 25, поэтому

Так как из условия задачи имеем вероятности , то из формулы сложения вероятностей получаем:

Ответ: 0,52.

Независимые события. Формула умножения вероятностей

Часто возникает вопрос о том, как влияет на возможность осуществления некоторого события В наступление некоторого другого события А.

Определение. Два случайных события называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события называют зависимыми.

Теорема. Вероятность произведения (совместного появления)двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Теорема обобщается на любое число попарно независимых событий.

Следствие. Вероятность появления хотя бы одного события из л попарно независимых событий равна разности между 1 и произведением вероятностей событий, противоположных данным, то есть

Пример 20.

Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0,04. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0,06. Чему равна вероятность того, что:

а) потребитель увидит обе рекламы;

б) потребитель увидит хотя бы одну рекламу?

Решение:

Обозначим через А событие «потребитель увидит рекламу продукта по телевидению», через В событие «потребитель увидит рекламу продукта на рекламном стенде». События А и В независимые.

а) Событие С «потребитель увидит обе

рекламы» является произведением событий . Из условия задачи известны вероятности и

По формуле умножения вероятностей независимых событий имеем:

б) Определим событие D «потребитель увидит хотя бы одну рекламу». Тогда получаем:

Ответ: а) 0,0024; б) 0,0976.

Зависимые события. Формула умножения вероятностей

В теории вероятностей характеристикой связи событий служит так называемая условная вероятность.

Определение. Условной вероятно-С7ль/о(обозначение ) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Теорема. Вероятность произведения (совместного появления) двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, то есть

Теорему умножения легко распространить на любое конечное число событий. Например, для трех событий формула имеет вид

Пример 21.

В урне 6 шаров — 2 белых и 4 черных. Без возвращения выбираем два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение:

Пусть событие Бх состоит в том, что первый шар белый, а событие Б₂ — второй шар белый. Из условия задачи имеем вероятность

После того, как мы вынули один шар и знаем, что он белый, мы имеем 5 шаров и среди них 1 белый. Тогда получаем . По теореме умножения зависимых событий находим

Ответ:

Рассмотрим обратную задачу.

Пример 22.

В рекламной фирме 21% работников получают высокую заработную плату. Известно также, что 40% работников фирмы — женщины, а 6,4% работников — женщины, получающие высокую заработную плату. Можно ли утверждать, что на фирме существует дискриминация женщин в оплате труда?

Решение:

Переформулируем задачу: какова вероятность того, что случайно выбранный работник будет женщиной, имеющей высокую заработную плату?

Определим событие А — «случайно выбранный работник — женщина», событие В — «случайно выбранный работник имеет высокую заработную плату».

Имеем

Так как 0,16 меньше, чем 0,21, то можно заключить, что женщины, работающие в этой рекламной фирме, имеют меньше шансов получить высокую заработную плату по сравнению с мужчинами.

Сложение и умножение вероятностей

Рассмотрим задачи, в которых используют обе теоремы: сложения вероятностей и умножения вероятностей.

Пример 23.

С первого станка на сборку поступает 40% , со второго — 30% и с

третьего — 30% всех деталей. Вероятности изготовления бракованной детали равны для каждого станка соответственно 0,01, 0,03 и 0,05. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь, поступившая на сборку, бракованная.

Решение:

Обозначим через события, состоящие в том, что деталь изготовлена соответственно на первом станке, втором станке и третьем станке. Пусть события означают, что деталь, изготовленная соответственно на первом станке, втором станке и третьем станке, бракованная. Из условия задачи следует, что вероятности . Событие «наудачу взятая деталь, поступившая на сборку, бракованная» является суммой трех несовместных событий

По формуле сложения вероятностей несовместных событий, а затем по формуле умножения вероятностей зависимых событий имеем:

Ответ: 0,028.

Повторение испытаний. Формула Бернулли

В одном опыте нас интересует один вопрос, произойдет или не произойдет некоторое событие. В серии опытов (испытаний) важен вопрос, сколько раз произойдет или не произойдет данное событие.

Например, игральный кубик бросили 10 раз подряд. Какова вероятность того, что «пятерка» выпадет ровно три раза?

Математик Я. Бернулли объединил такие примеры в единую вероятностную задачу (схему).

Рассматривают независимые повторения одного и того же испытания с двумя возможными исходами, которые условно называют «успех» и «неудача». Какова вероятность того, что при n таких повторениях произойдет ровно к «успехов»?

Эту вероятность можно найти по формуле Бернулли

где вероятность появления события А в одном опыте равна р, а его непоявления равна

Пример 24.

В части А Единого государственного экзамена по математике в 2005 году было 10 заданий с выбором ответа. К каждому из них предлагается 4 варианта ответа, из которых только один верный. Если ученик не знает предмет и отвечает наугад, то с вероятностью он выберет правильный ответ, а с вероятностью — ошибется. Для получения положительной оценки за экзамен необходимо правильно ответить минимум на 6 заданий. Какова вероятность того, что нерадивый ученик сдаст экзамен?

Решение:

Из условия задачи имеем

Тогда получаем по формуле Бернулли

Ответ: 0,016.