Сочинение евклида начала

«Начала» (греч. Στοιχεῖα, лат. Elementa) — главный труд Евклида, написанный около 300 г. до н. э. и посвящённый систематическому построению геометрии. «Начала» — вершина античной геометрии и античной математики вообще, итог её 300-летнего развития и основа для последующих исследований. «Начала», наряду с двумя трудами Автолика из Питаны — древнейшее из дошедших до нас античных математических сочинений; все труды предшественников Евклида известны нам только по упоминаниям и цитатам позднейших комментаторов.

Прокл сообщает (ссылаясь на Евдема), что подобные сочинения создавались и до Евклида: «Начала» были написаны Гиппократом Хиосским, а также платониками Леонтом и Февдием. Но эти сочинения, по-видимому, были утрачены ещё в античности.

Текст «Начал» на протяжении веков были предметом дискуссий, к ним написаны многочисленные комментарии. Из античных комментариев до нас дошёл комментарий, написанный Проклом^[1]. Этот текст является важнейшим источником по истории и методологии греческой математики. Прокл дает краткое изложение истории греческой математики (т. н. Евдемов каталог геометров), обсуждает взаимосвязь метода Евклида и логики Аристотеля, роль воображения в доказательствах.

Из древних комментаторов следует упомянуть Паппа, из новых — Пьера Рамуса^[2], Федериго Коммандино^[3], Христофа Шлюсселя (Клавиуса)^[4] и Савилия.

«Начала» оказали огромное влияние на развитие математики вплоть до Новейшего времени. Книга переведена на множество языков мира. По количеству переизданий «Начала» не имеют себе равных среди светских книг.

Альберт Эйнштейн так оценивал «Начала»: «Это удивительнейшее произведение мысли дало человеческому разуму ту уверенность в себе, которая была необходима для его последующей деятельности. Тот не рождён для теоретических исследований, кто в молодости не восхищался этим творением»^[5].

Краткий обзор содержания

В «Началах» излагаются планиметрия, стереометрия, арифметика, отношения по Евдоксу. В классической реконструкции Гейберга весь труд состоит из 13 книг. К ним традиционно присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках, приписываемые Гипсиклу Александрийскому и школе Исидора Милетского.

Изложение в «Началах» ведётся строго дедуктивно. Каждая книга начинается с определений. В первой книге за определениями идут аксиомы и постулаты. Затем следуют предложения, которые делятся на задачи (в которых нужно что-то построить) и теоремы (в которых нужно что-то доказать). Определения, аксиомы, постулаты и предложения пронумерованы, например, I def. 2 — второе определение первой книги.

Первая книга

Первая книга начинается определениями, из которых первые семь (I def. 1-7) гласят:

1. Точка есть то, что не имеет частей. (Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν — букв. «Точка есть то, часть чего ничто»)
2. Линия — длина без ширины.
3. Края же линии — точки.
4. Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках. (Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ’ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται)
5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
6. Края же поверхности — линии.
7. Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях.

Комментаторы эпохи Возрождения предпочитали говорить, что точка есть место без протяжения. Современные авторы, напротив, признают невозможность определения основных понятий, и Давид Гильберт начинает «Основания геометрии»^[6] так:

Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем

За определениями Евклид приводит постулаты (I post. 1-5):

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Наиболее интересен в аксиоматике Евклида последний, знаменитый пятый постулат. Среди других, интуитивно очевидных постулатов, он нарочито чужероден, его громоздкая формулировка закономерно вызывает некоторое чувство протеста и желание отыскать для него доказательство. Такие доказательства уже в древности пытались построить Птолемей и Прокл; а в Новое время из этих попыток развилась неевклидова геометрия. Следует отметить, что первые 28 теорем I книги относятся к абсолютной геометрии, то есть не опираются на V постулат.

За постулатами следуют аксиомы (I ax. 1-9), которые имеют характер общих утверждений, относящихся в равной мере как к числам, так и к непрерывным величинам:

1. Равные одному и тому же равны и между собой.
2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. (И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.)
5. (И удвоенные одного и того же равны между собой.)
6. (И половины одного и того же равны между собой.)
7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
8. И целое больше части.
9. (И две прямые не содержат пространства.)

В скобки взяты аксиомы, принадлежность которых Евклиду Гейберг, автор классической реконструкции текста «Начал», счёл сомнительной. I post. 4 и 5 в ряде списков выступают как I ax. 10 и 11 соответственно.

За аксиомами следуют три теоремы, представляющие собой задачи на построение, давно вызывающие споры. Так I prop. 2 предлагает «от данной точки отложить прямую, равную данной прямой». Нетривиальность этой задачи состоит в том, что Евклид не переносит отрезок на прямую соответствующим раствором циркуля, полагая такую операцию недозволенной, и использует I post. 3 в неожиданно узком смысле.

При доказательстве I prop. 4, выражающего признак равенства треугольников, Евклид использует метод наложения, никак не описанный в постулатах и аксиомах. Все комментаторы отмечали эту лакуну, Гильберт не нашел ничего лучшего, как сделать признак равенства треугольников по трём сторонам (I prop. аксиомой III-5 в своей системе. С другой стороны, постулат I post. 4 теперь принято доказывать, как это сделал впервые Хр. Вольф^[7], у Гильберта это утверждение выводится из аксиом конгруэнтности^[8].

Затем рассматриваются различные случаи равенства и неравенства треугольников; теоремы о параллельных прямых и параллелограммах; так называемые «местные» теоремы о равенстве площадей треугольников и параллелограммов на одном основании и под одной высотой. Заканчивается I книга теоремой Пифагора.

Обзор содержания книг II—XIII

II книга — теоремы так называемой «геометрической алгебры».

III книга — предложения об окружностях, их касательных и хордах, центральных и вписанных углах.

IV книга — предложения о вписанных и описанных многоугольниках, о построении правильных многоугольников.

V книга — общая теория отношений, разработанная Евдоксом Книдским.

VI книга — учение о подобии геометрических фигур. Эта книга завершает евклидову планиметрию.

VII, VIII и IX книги посвящены теоретической арифметике. Евклид в качестве чисел рассматривает исключительно натуральные числа; для него «Число есть совокупность единиц». Здесь излагаются теория делимости и пропорций, доказывается бесконечность множества простых чисел, приводится алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, строятся чётные совершенные числа. Евклид доказывает также формулу для суммы геометрической прогрессии.

X книга — классификация несоизмеримых величин. Это самая объёмная из книг «Начал».

XI книга — начала стереометрии: теоремы о взаимном расположении прямых и плоскостей; теоремы о телесных углах, объём параллелепипеда и призмы, теоремы о равенстве и подобии параллелепипедов.

XII книга — теоремы о пирамидах и конусах, доказываемые с помощью метода исчерпывания. Здесь доказывается, например, теорема о том, что объём конуса составляет одну треть от объёма цилиндра с теми же основанием и высотой.

XIII книга — построение правильных многогранников; доказательство того, что существует ровно пять правильных многогранников.

Евклид нигде в книге не ссылается на других греческих математиков, хотя несомненно опирается на их результаты. Историки науки^[9][10] показали, что прототипом для труда Евклида послужили более ранние сочинения античных математиков:

• Книги I—IV и XI — «Начала» Гиппократа Хиосского.
• Книги V—VI и XII — Евдокс Книдский.
• Книги VII—IX — сочинения Архита Тарентского и других пифагорейцев. По мнению Ван дер Вардена, это самая древняя по содержанию часть «Начал», восходящая к V веку до н. э.
• Книги X и XIII — Теэтет Афинский.

В целом содержание «Начал» покрывает значительную часть античной теоретической математики. Однако некоторая часть известного древнегреческим математикам материала осталась вне этого труда — например, конические сечения (Евклид посвятил им отдельный труд, который не сохранился), длина окружности, теория приближённых вычислений.

Манускрипты и издания «Начал»

Греческий текст «Начал»

При раскопках античных городов найдено несколько папирусов, содержащих небольшие фрагменты «Начал» Евклида. Самый известный был найден в «городе папирусов» Оксиринхе в 1896—1897 и содержит формулировку II prop. 5 с рисунком.^[11]

Греческий текст «Начал» Евклида известен по византийским манускриптам, из них самые известные:

• MS D’Orville 301, Bodleian Library, Oxford
• MS Vaticano, numerato 190, 4to, в 2 томах (Ватиканский манускрипт)

На их основе, а также с учётом арабских переводов «Начал» (IX век и далее) оригинальный текст был реконструирован датским историком науки Гейбергом в конце XIX века, его методы подробно описаны Хизом (T. L. Heath).^[12]

Гейберг использовал в своей реконструкции 8 греческих манускриптов, датируемых сейчас IX—XI веками. Из этих манускриптов семь в своем заглавии имеют пометку «из издания Теона» или «из лекций Теона» и поэтому называются Теоновскими. Ватиканский манускрипт такой пометки не имеет и считается неподверженным редакции Теона. Теоновские манускрипты разнятся между собой, и общих признаков, отличающих их от ватиканского манускрипта, немного (наиболее существенный — концовка IV книги). На полях манускриптов имеются многочисленные комментарии, взятые частично из комментариев Прокла, которые вписывают «Начала» в контекст греческой культуры, напр., сообщается о том, что Пифагор, открыв свою теорему, принес в жертву быков.

История обретения византийских манускриптов темна. Вероятно, они попали в Европу ещё в XVI веке, но не были опубликованы. В первом издание греческого текста, осуществленном Йоханом Хервагеном (Johann Herwagen) между 1533 и 1558 под редакцией Симона Гринера (Simon Gryner, он же Grynaeus, профессор греческого в базельском университете), использованы манускрипты, которые, по мнению Гейберга, представляют собой весьма плохие копии XVI века. Лишь в 1808 Пейрар (F. Peyrard) во время наполеоновских экспроприаций нашел три манускрипта в Ватикане и среди них важнейший ватиканский.

Латинский текст «Начал»

В Европе «Начала» Евклида на латинском языке были хорошо известны и в Средние века, и в эпоху Возрождения, однако далеко не в привычном теперь виде. Средневековые латинские трактаты, содержащие фрагменты «Начал» Евклида, каталогизированы мюнхенским учёным М.  Фолькертсом^[13]. В этом каталоге манускрипты разделены на след. группы:

1. Так называемая «Геометрия Боэция» (в действительности трактат Боэцию не принадлежит). Трактаты этой группы начинаются словами «Incipit Geometriae Boetii», имеют ряд общих признаков, хотя их тексты значительно расходятся. Текст занимает пять-шесть рукописных листов. Доказательства предложений отсутствуют, однако имеются иллюстрации с дополнительными построениями. Иногда доказательствами снабжаются только первые три теоремы. Первым определением предшествует утверждение о том, что основа геометрии в измерении длин, высот и ширин, после этого евклидовы определения приобретают другой смысл, напр., линия — объект, длину которого измеряют, а ширину нет и т. д. Язык не испытал влияния арабского, поэтому считается, что геометрия Боэция — прямой перевод с греческого на латинский. Опубликован манускрипт из Люнибурга
2. Геометрия Аделарда (Adelard) составляет большой класс манускриптов, написанных разными авторами в разное время. Наибольшая подгруппа, названная как Adelard II, содержит все 15 книг «Начал» Евклида, впрочем, сохранность манускриптов такова, что говорить об этом нужно с осторожностью. Характерная черта — наличие доказательств, причем в лучших манускриптах доказательства предшествуют изложению (enucatio); некоторые доказательства даны подробно, другие лишь намечены. Некоторые изложения (enunciatio) в Adelard II буквально воспроизводят Боэция, другие имеют иную формулировку часто с арабскими эквивалентами вместо латинских терминов. Текст значительно разнится от манускрипта к манускрипту (в книгах VII—IX и XI—XIII доказательства особенно разнятся), так, что в средние века не было канонического текста для Adelard II, который все время дополнялся и улучшался. Стоит подчеркнуть, что доказательства отличаются способом выражения, но не математической сутью. В течение всего XII века шла работа по улучшению доказательств.
3. Геометрия Кампано (Campanus) — комплекс рукописей 13-15 вв. В этой версии «Начала» весьма схожи с византийскими манускриптами и вполне могут рассматриваться как довольно точный перевод, в котором, однако присутствуют арабские термины (напр., параллелепипед назван belmaui). Это издание представляет собой 15 книг, формулировки предложений близки к Adelard II, но доказательства следует за изложением. В заглавии манускриптов обычно отождествлены Евклид, автор «Начал», и ученик Сократа философ Евклид Мегарский.

Печатные издания «Начал» Евклида каталогизированы Томасом-Стэнфордом^[14]. Первое печатное издание «Начал»^[15] было осуществлено Эрхардом Ратдольтом (Erhard Ratdolt) в Венеции в 1482 и оно воспроизводило «Начала» в обработке Кампано. Следующее издание, которое не копируют первое, было осуществлено Бартоломео Замберти 1505. Из предисловия известно, что Замберти переводил греческий манускрипт, передающий «Начала» в обработке Теона, однако, Гейбергу не удалось его идентифицировать.

В XVI веке считалось, что Евклиду принадлежат лишь формулировки теорем, доказательства же были придуманы позже; были распространены издания «Начал» без доказательств и издания, сравнивающие доказательства Кампана и Замберти^[16]. Этот взгляд имел вполне твердую основу: в начале XVI века была издана геометрия Боэция^[17], которая тоже являлась переводом «Начал» Евклида, но доказательств в этом издании не содержалось. Считалось также, что использование в доказательствах буквенных обозначений подразумевает знакомство с буквенной алгеброй. Это мнение было отвергнуто в XVII веке.

Русские переводы

Первое издание «Начал» на русском языке произошло в 1739 году; книга вышла в Петербурге под названием «Евклидовы элементы из двенадцати нефтоновых книг выбранныя и в осьмь книг через профессора мафематики Андрея Фархварсона сокращенныя, с латинского на российский язык хирургусом Иваном Сатаровым преложенныя».^[18] Перевод выполнил И. П. Сатаров под руководством шотландского математика Генри Фарварсона (Henry Fargwarson).^[19] Имя Ньютона («Нефтона») в названии упомянуто, возможно, в рекламных целях, к содержанию книги он никакого отношения не имеет. Перевод был сделан с сокращённого французского издания «Начал» А. Такэ (A. Tacquet).^[18] Немного позднее вышли ещё 2 перевода, также сокращённые до 8 книг:

• 1769 год: перевод Н. Г. Курганова «Евклидовы Елементы Геометрии, то есть первыя основания науки о измерении протяжения».
• 1784 год: перевод П. И. Суворова и В. Н. Никитина «Евклидовых стихий осьмь книг, а именно: первая, вторая, третья, четвёртая, пятая, шестая, одиннадцатая и двенадцатая; к сим прилагаются книги тринадцатая и четырнадцатая. Переведены с греческого и поправлены. В Санкт-Петербурге, в типографии Морского шляхетного Кадетского Корпуса» (переизданы в 1789 году). Перевели преподаватели указанного корпуса, магистры Оксфордского университета В. Н. Никитин^[20] и П. И. Суворов^[21].

Практически полностью (кроме 10-й книги) «Начала» на русском языке вышли в переводе Ф. И. Петрушевского^[22]: книги 1-6 и 11-13 в 1819 году, книги 7-9 в 1835 году^[23]. В 1880 году вышел перевод М. Е. Ващенко-Захарченко (см. в Викитеке). Ещё один сокращённый перевод был издан в Кременчуге (1877 год) под названием «Восемь книг геометрии Эвклида»; перевод под руководством А. А. Соковича (1840—1886), директора местного реального училища, выполнили два воспитанника этого училища^[24].

Последнее по времени полное академическое издание было опубликовано в 1949-1951 годах, перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовско́го.

Всемирное распространение

На китайском языке первые 6 книг «Начал» издал Маттео Риччи во время своей миссии в Китае (1583—1610). Полный перевод, выполненный А.Вайли, вышел с хвалебным предисловием Цзэн Гофаня, написанным в 1865 году.

Тексты «Начал»

В сети доступны следующие манускрипты и печатные издания «Начал»:

• Папирус из Oxyrhynchus.
• Византийский манускрипт D’Orville 301, Bodleian Library, Oxford на www.rarebookroom.org и www.claymath.org (с перев. на англ.).
• Geometria Boetii  (лат.) по изд.: M. Folkerts. Ein neuer Text des Euclides Latinus. Faksimiledruck der Handschrift Lüneburg D 4o 48, f.13-17v Hildesheim: Dr. H. A. Gerstenberg, 1970.
• Первое печатное издание «Начал» Евклида. Э. Ратдольт, 1482 г.  (лат.)
• Издание 1558, в котором сравниваются издания Ратдольда и Замберти  (лат.)
• Elementi Euclide. Traduzione di Niccolò Tartaglia  (итал.), 1543
• Euclid. Elements. Editions and translations: Greek (ed. J. L. Heiberg), English (ed. Th. L. Heath)
• Эвклидовых начал восемь книг в перев. Ф. Петрушевского. Книги 1-6, 11-12. (1819)
• Начала Евклида. Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при редакционном участии И. Н. Веселовского и М. Я. Выгодского. М.-Л.: ГТТИ, 1949-51.

• Книги I—VI на www.math.ru или на mccme.ru
• Книги VII—X на www.math.ru или на mccme.ru
• Книги XI—XIV на www.math.ru или на mccme.ru

См. также

	Евклид в Викицитатнике?
	Начала Евклида в Викитеке?
	Category:Elements of Euclid на Викискладе?

• Абсолютная геометрия
• Аксиома
• Алгоритм Евклида
• Евклидова геометрия
• Евклидово пространство
• Неевклидова геометрия
• Пятый постулат

Литература

• Башмакова И. Г. Арифметические книги «Начал» Евклида // Историко-математические исследования. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. — В. 1. — С. 296-328.
• Башмакова И. Г. Лекции по истории математики в Древней Греции // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1958. — № 11. — С. 351-363.
• Выгодский М. Я. «Начала» Евклида // Историко-математические исследования. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. — В. 1. — С. 217-295.
• История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
• Рыбников К. Русские издания «Начал» Евклида. Успехи математических наук, 1941, № 9, стр. 318—321.

Ссылки

• Thomas L. Heath The Thirteen Books of Euclid’s Elements, translated from the text of Heiberg, with introduction and commentary.
• Euclid’s Elements in the middle ages, by M. Folkerts. Каталог средневековых латинских манускриптов.
• Early editions of Euclid’s Elements, by Charles Thomas-Stanford. Каталог ранних изданий Евклида.

Примечания

Математика в Древней Греции
Математики	Анаксагор · Анфимий · Архит · Аристей · Аристарх · Аполлоний · Архимед · Автолик · Бион · Боэций · Брайсон · Каллипп · Карп · Хрисипп · Клеомед · Конон · Ктезибий · Демокрит · Дикеарх · Диокл · Диофант · Динострат · Дионисодор · Домнин · Эратосфен · Евдем · Евклид · Евдокс · Евтокий · Гемин · Герон · Гиппарх · Гиппас · Гиппий · Гиппократ · Гипатия · Гипсикл · Исидор · Лев Математик · Марин · Мелисса · Менехм · Менелай · Метродор · Никомах · Никомед · Энопид · Папп · Персей · Филолай · Филон · Порфирий · Посидоний · Прокл · Птолемей · Пифагор · Серен · Симпликий · Созиген · Фалес · Теэтет · Феано · Феодор · Феодосий · Теон Александрийский · Теон Смирнский · Ксенократ · Зенон Элейский · Зенон Сидонский · Зенодор
Трактаты	Альмагест · Арифметика · Исчисление песчинок · Начала · О движущейся сфере · Палимпсест Архимеда · Труд о конических сечениях
Влияние	Вавилонская математика · Древнеегипетская математика
Под влиянием	Европейская математика · Индийская математика · Средневековая исламская математика
Таблицы	Список греческих математиков
Проблемы	Задача Аполлония · Квадратура круга · Трисекция угла · Удвоение куба

У этого термина существуют и другие значения, см. Начала.

«Начала» (греч. Στοιχεῖα, лат. Elementa) — главный труд Евклида, написанный около 300 г. до н. э. и посвящённый систематическому построению геометрии и теории чисел. Считается вершиной античной математики, итогом её трёхсотлетнего развития и основой для последующих исследований. «Начала», наряду с двумя трудами Автолика из Питаны — древнейшее из дошедших до современности античных математических сочинений; все труды предшественников Евклида известны только по упоминаниям и цитатам позднейших комментаторов.

«Начала» оказали огромное влияние на развитие математики вплоть до Новейшего времени, высокий интеллектуальный уровень произведения и его фундаментальная значимость для науки в целом отмечается ключевыми учёными современности^[2]. Книга переведена на множество языков мира, по количеству переизданий «Начала» не имеют себе равных среди светских книг.

История

Прокл сообщает (ссылаясь на Евдема), что подобные сочинения создавались и до Евклида: «Начала» были написаны Гиппократом Хиосским, а также платониками Леонтом и Февдием. Но эти сочинения, по-видимому, были утрачены ещё в античности.

Текст «Начал» на протяжении веков были предметом дискуссий, к ним написаны многочисленные комментарии. Из античных комментариев сохранился текст Прокла^[3], являющийся важнейшим источником по истории и методологии греческой математики. В нём Прокл даёт краткое изложение истории греческой математики (так называемый «Евдемов каталог геометров»), обсуждает взаимосвязь метода Евклида и логики Аристотеля, роль воображения в доказательствах. Среди древних комментаторов — Теон Александрийский, Папп Александрийский; основные комментаторы эпохи Возрождения — Пьер де ла Рамэ^[4], Федериго Коммандино^[5], Христоф Шлюссель (Клавиус)^[6] и Генри Савиль.

Содержание

В «Началах» излагаются планиметрия, стереометрия, арифметика, теория чисел, отношения по Евдоксу. В классической реконструкции Гейберга весь труд состоит из 13 книг. К ним традиционно присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках, приписываемые Гипсиклу Александрийскому и школе Исидора Милетского.

Изложение в «Началах» ведётся строго дедуктивно. Каждая книга начинается с определений. В первой книге за определениями идут аксиомы и постулаты. Затем следуют предложения, которые делятся на задачи (в которых нужно что-то построить) и теоремы (в которых нужно что-то доказать). Определения, аксиомы, постулаты и предложения пронумерованы, например, ссылка «I, Определения, 2» — второе определение первой книги. Всего в 13 книгах «Начал» 130 определений, 5 постулатов, 5 (в части изданий — 9) аксиом, 16 лемм и 465 теорем (включая задачи на построение)^[7].

Первая книга

Первая книга начинается определениями, из которых первые семь (I, Определения, 1—7) гласят:

1. Точка есть то, что не имеет частей. (Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν — букв. «Точка есть то, часть чего ничто»)
2. Линия — длина без ширины.
3. Края же линии — точки.
4. Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках. (Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ’ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται)
5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
6. Края же поверхности — линии.
7. Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях.

Комментаторы эпохи Возрождения предпочитали говорить, что точка есть место без протяжения. Современные авторы, напротив, признают невозможность определения основных понятий, в частности, таков подход в «Основаниях геометрии» Гильберта^[8].

За определениями Евклид приводит постулаты (I, Постулаты, 1—5):

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Последний постулат аксиоматики Евклида — знаменитый пятый постулат — среди других, интуитивно очевидных, постулатов, выглядит чужеродным. Его громоздкая формулировка вызывает некоторое чувство протеста, желание отыскать для него доказательство и исключить из числа аксиом. Такие доказательства уже в древности пытались построить Птолемей и Прокл; а в Новое время из этих попыток развилась неевклидова геометрия. Первые 28 теорем I книги относятся к абсолютной геометрии, то есть не опираются на V постулат.

За постулатами следуют аксиомы (I, Аксиомы, 1—9), которые имеют характер общих утверждений, относящихся в равной мере как к числам, так и к непрерывным величинам:

1. Равные одному и тому же равны и между собой.
2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. (И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.)
5. (И удвоенные одного и того же равны между собой.)
6. (И половины одного и того же равны между собой.)
7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
8. И целое больше части.
9. (И две прямые не содержат пространства.)

В скобки взяты аксиомы, принадлежность которых Евклиду Гейберг, автор классической реконструкции текста «Начал», счёл сомнительной. Постулаты 4—5 (I, Постулаты, 4—5) в ряде списков выступают как аксиомы (I, Аксиомы, 10—11).

За аксиомами следуют три теоремы, представляющие собой задачи на построение, давно вызывающие споры. Так, вторая из них (I, Предложения, 2) предлагается «от данной точки отложить прямую, равную данной прямой». Нетривиальность этой задачи состоит в том, что Евклид не переносит отрезок на прямую соответствующим раствором циркуля, полагая такую операцию недозволенной, и использует третий постулат (I, Постулаты, 3) в неожиданно узком смысле.

При доказательстве четвёртой теоремы (I, Предложения, 4), выражающей признак равенства треугольников, Евклид использует метод наложения, никак не описанный в постулатах и аксиомах. Все комментаторы отмечали эту лакуну, Гильберт не нашёл ничего лучшего, как сделать признак равенства треугольников по трём сторонам (I, Утверждения, 8) аксиомой III-5 в своей системе. С другой стороны, четвёртый постулат (I, Постулаты, 4) теперь принято доказывать, как это сделал впервые Христиан Вольф^[9], у Гильберта это утверждение выводится из аксиом конгруэнтности^[10].

Затем рассматриваются различные случаи равенства и неравенства треугольников; теоремы о параллельных прямых и параллелограммах; так называемые «местные» теоремы о равенстве площадей треугольников и параллелограммов на одном основании и под одной высотой. Заканчивается I книга теоремой Пифагора.

Книги II—XIII

II книга — теоремы так называемой «геометрической алгебры».

III книга — предложения об окружностях, их касательных и хордах, центральных и вписанных углах.

IV книга — предложения о вписанных и описанных многоугольниках, о построении правильных многоугольников.

V книга — общая теория отношений, разработанная Евдоксом Книдским.

VI книга — учение о подобии геометрических фигур. Эта книга завершает евклидову планиметрию.

VII, VIII и IX книги посвящены теоретической арифметике. Евклид в качестве чисел рассматривает исключительно натуральные числа; для него «Число есть совокупность единиц». Здесь излагаются теория делимости и пропорций, доказывается бесконечность множества простых чисел, приводится алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, строятся чётные совершенные числа. Евклид доказывает также формулу для суммы геометрической прогрессии.

X книга — классификация несоизмеримых величин. Это самая объёмная из книг «Начал».

XI книга — начала стереометрии: теоремы о взаимном расположении прямых и плоскостей; теоремы о телесных углах, объём параллелепипеда и призмы, теоремы о равенстве и подобии параллелепипедов.

XII книга — теоремы о пирамидах и конусах, доказываемые с помощью метода исчерпывания. Здесь доказывается, например, теорема о том, что объём конуса составляет одну треть от объёма цилиндра с теми же основанием и высотой.

XIII книга — построение правильных многогранников; доказательство того, что существует ровно пять правильных многогранников.

Евклид нигде в книге не ссылается на других греческих математиков, хотя несомненно опирается на их результаты. Историки науки^[11][12] показали, что прототипом для труда Евклида послужили более ранние сочинения античных математиков:

• Книги I—IV и XI — «Начала» Гиппократа Хиосского.
• Книги V—VI и XII — труды Евдокса Книдского.
• Книги VII—IX — сочинения Архита Тарентского и других пифагорейцев. По мнению Ван дер Вардена, это самая древняя по содержанию часть «Начал», восходящая к V веку до н. э.
• Книги X и XIII — труды Теэтета Афинского.

Вопрос о том, содержат ли «Начала» какие-либо результаты самого Евклида или автор занимался только систематизацией и унификацией накопленных знаний, является предметом дискуссий. Есть предположение, что алгоритм построения правильного пятнадцатиугольника разработан Евклидом; вероятно, он же произвёл отбор и окончательную формулировку аксиом и постулатов^[13].

В целом содержание «Начал» покрывает значительную часть античной теоретической математики. Однако некоторая часть известного древнегреческим математикам материала осталась вне этого труда — например, конические сечения (Евклид посвятил им отдельный труд, который не сохранился), длина окружности, теория приближённых вычислений.

Взаимозависимости книг

Критика

Для своего времени и вплоть до (примерно) XIX века «Начала» считались образцом логического изложения математической теории. Структура трудов Декарта, Ньютона и даже Спинозы строилась по образцу «Начал». Однако уже в античные времена были критически отмечены некоторые недостатки евклидовского труда — например, Архимед обосновал необходимость добавить «аксиому Архимеда» (которую сформулировал ещё Евдокс, живший до Евклида). Со временем число признанных недостатков постепенно увеличивалось. Современные взгляды на обоснование, содержание и методы как геометрии, так и арифметики существенно отличаются от античных^[14].

Прежде всего, сейчас прямая понимается как линия бесконечной длины. Античные учёные полностью избегали понятия актуальной бесконечности, у Евклида всюду используются только конечные отрезки прямой^[15]. Видимо, по этой причине постулат параллельности Евклида сформулирован довольно громоздко — зато он имеет локальный характер, то есть описывает событие на ограниченном участке плоскости, в то время как, например, аксиома Прокла («через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной») утверждает факт параллельности, который требует рассмотрения всей бесконечной прямой^[16]. Ещё одной архаичной особенностью «Начал» является ограничение только двумя видами кривых — прямыми и окружностями, которые греки считали единственно совершенными^[17], а также чрезмерно узкое понятие числа, которое не включало иррациональных чисел и поэтому вынудило античных математиков без особой нужды ввести параллельное с арифметикой исчисление «геометрических величин» («геометрическая алгебра», книга II «Начал»)^[18].

Многие комментаторы Евклида отмечали, что данные им определения геометрических понятий бессодержательны и создают не более чем наглядный образ — например, «линия есть длина без ширины». Фактически подобные «определения» нигде далее в тексте не используются, ни одна теорема на них не опирается^[14]. Излишним оказался, как уже говорилось выше, и IV постулат Евклида о равенстве всех прямых углов, его можно доказать как теорему^[19][20].

Далее, по замыслу все доказательства теорем должны вытекать из явно сформулированных аксиом. На самом деле многие факты у Евклида опираются на подразумеваемую или наглядную очевидность. Прежде всего это касается понятия движения, которое неявно используется во многих местах — например, при наложении треугольников для доказательства признаков их равенства. Уже Прокл отметил этот факт как существенный методический пробел. Аксиом движения Евклид не дал — возможно, чтобы не смешивать высокую геометрию с «низкой» механикой. Современные авторы аксиоматики предусматривают специальную группу «аксиом конгруэнтности» ^[21][22].

Уже в доказательстве самого первого предложения («на любом отрезке можно построить равносторонний треугольник») Евклид подразумевает, что две окружности радиуса R, чьи центры находятся на расстоянии R, пересекаются в двух точках. Ни из каких аксиом это не следует^[23]; для логической полноты следовало бы добавить аксиому непрерывности. Аналогичные упущения имеют место для пересечения прямой и окружности^[24], в употреблении неопределяемого понятия «находиться между» (для точек) и в ряде иных мест. Аксиоматика Евклида не позволяет, например, доказать, что не существует прямой, проходящей через все три стороны треугольника.

Многочисленные комментаторы Евклида делали неоднократные попытки исправить отмеченные недочёты — было увеличено число аксиом, уточнены формулировки и доказательства^[14]. Некоторые комментаторы (например, Теон Александрийский и Христофор Клавиус) при переиздании вносили свои поправки прямо в евклидовский текст. Пересмотренная и значительно дополненная версия аксиоматики, предложенная Пьером Эригоном в 1632 году, оказалась неудачной^[25]. Первым крупным достижением в этом направлении стала монография «Лекции по новой геометрии» немецкого математика Морица Паша (1882)^[26]. Завершением стала современная аксиоматика Гильберта для геометрии (1899 год). Она, а также различные её вариации логически полны и нигде не опираются на интуитивную очевидность^[27].

Одним из важнейших открытий XIX века стало обнаружение и исследование непротиворечивых неевклидовых геометрий; оно показало, что преимущественное использование на практике евклидовой геометрии не означает, что эта геометрия является единственно возможной.

Манускрипты и издания

Греческий текст «Начал»

При раскопках античных городов найдено несколько папирусов, содержащих небольшие фрагменты «Начал» Евклида. Самый известный был найден в «городе папирусов» Оксиринхе в 1896—1897 и содержит формулировку одного из утверждений второй книги с рисунком (II, Предложения, 5)^[28].

Греческий текст «Начал» Евклида известен по византийским манускриптам, два самых известных из них хранятся в Бодлианской библиотеке^[29] и Ватиканской апостольской библиотеке (двухтомный Ватиканский манускрипт)^[30].

На их основе, а также с учётом арабских переводов «Начал» (датируемых IX веком и позднее) оригинальный текст был реконструирован датским историком науки Гейбергом в конце XIX века, его методы подробно описаны Томасом Хитом^[31]. Гейберг использовал в своей реконструкции 8 греческих манускриптов, датируемых современными исследователями IX—XI веками. Из этих манускриптов семь в своём заглавии имеют пометку «из издания Теона» или «из лекций Теона» и поэтому называются Теоновскими. Ватиканский манускрипт такой пометки не имеет и считается неподверженным редакции Теона. Теоновские манускрипты разнятся между собой, и общих признаков, отличающих их от ватиканского манускрипта, немного (наиболее существенный — концовка IV книги). На полях манускриптов имеются многочисленные комментарии, взятые частично из комментариев Прокла, которые вписывают «Начала» в контекст греческой культуры, например, сообщается о том, что Пифагор, открыв свою теорему, принёс в жертву быков.

История обретения византийских манускриптов темна. Вероятно, они попали в Европу ещё в XVI веке, но не были опубликованы. В первом издание греческого текста, осуществлённом Йоханом Хервагеном (Johann Herwagen) между 1533 и 1558 годами под редакцией Симона Гринера (Simon Gryner, он же Grynaeus, профессор греческого языка в базельском университете), использованы манускрипты, которые, по мнению Гейберга, представляют собой весьма плохие копии XVI века. Лишь в 1808 году Пейрар^[fr] во время наполеоновских экспроприаций нашёл три манускрипта в Риме и среди них важнейший — двухтомный ватиканский манускрипт.

Латинский текст «Начал»

В Европе «Начала» Евклида на латинском языке были хорошо известны и в Средние века, и в эпоху Возрождения, однако далеко не в привычном теперь виде. Средневековые латинские трактаты, содержащие фрагменты «Начал» Евклида, каталогизированы мюнхенским учёным Фолькертсом^[de][32], разделившим манускрипты на следующие группы:

1. Так называемая «Геометрия Боэция» (в действительности трактат Боэцию не принадлежит). Трактаты этой группы начинаются словами «Incipit Geometriae Boetii», имеют ряд общих признаков, хотя их тексты значительно расходятся. Текст занимает пять-шесть рукописных листов. Доказательства предложений отсутствуют, однако имеются иллюстрации с дополнительными построениями. Иногда доказательствами снабжаются только первые три теоремы. Первым определением предшествует утверждение о том, что основа геометрии в измерении длин, высот и ширин, после этого евклидовы определения приобретают другой смысл, например, линия — объект, длину которого измеряют, а ширину нет и т. д. Язык не испытал влияния арабского, поэтому считается, что геометрия Боэция — прямой перевод с греческого на латинский. Опубликован манускрипт из Люнибурга^[33].
2. «Геометрия» Аделарда составляет большой класс манускриптов, написанных разными авторами в разное время. Наибольшая подгруппа, названная как «Adelard II», содержит все 15 книг «Начал» Евклида, впрочем, сохранность манускриптов такова, что говорить об этом нужно с осторожностью. Характерная черта — наличие доказательств, причём в лучших манускриптах доказательства предшествуют изложению (enunciatio); некоторые доказательства даны подробно, другие лишь намечены. Некоторые изложения (enunciatio) в Adelard II буквально воспроизводят Боэция, другие имеют иную формулировку часто с арабскими эквивалентами вместо латинских терминов. Текст значительно разнится от манускрипта к манускрипту (в книгах VII—IX и XI—XIII доказательства особенно разнятся), так, что в средние века не было канонического текста для Adelard II, который все время дополнялся и улучшался. Стоит подчеркнуть, что доказательства отличаются способом выражения, но не математической сутью. В течение всего XII века шла работа по улучшению доказательств.
3. «Геометрия» Кампануса — комплекс рукописей XIII—XV веков. В этой версии «Начала» весьма схожи с византийскими манускриптами и вполне могут рассматриваться как довольно точный перевод, в котором, однако присутствуют арабские термины (например, параллелепипед назван «belmaui»). Это издание представляет собой 15 книг, формулировки предложений близки к Adelard II, но доказательства следует за изложением. В заглавии манускриптов обычно отождествлены Евклид, автор «Начал», и ученик Сократа философ Евклид Мегарский.

Печатные издания «Начал» Евклида каталогизированы Томасом-Стэнфордом^[en][34]. Первое печатное издание «Начал»^[35] было осуществлено Эрхардом Ратдольтом в Венеции в 1482 году и воспроизводило «Начала» в обработке Кампано. Следующее издание не копировало первое, было осуществлено Бартоломео Дзамберти^[de] в 1505 году. Из предисловия известно, что Дзамберти переводил греческий манускрипт, передающий «Начала» в обработке Теона, однако, Гейбергу не удалось его идентифицировать.

В XVI веке считалось, что Евклиду принадлежат лишь формулировки теорем, доказательства же были придуманы позже; были распространены издания «Начал» без доказательств и издания, сравнивающие доказательства Кампана и Дзамберти^[36]. Этот взгляд имел вполне твёрдую основу: в начале XVI века была издана геометрия Боэция^[37], которая тоже являлась переводом «Начал» Евклида, но доказательств в этом издании не содержалось. Считалось также, что использование в доказательствах буквенных обозначений подразумевает знакомство с буквенной алгеброй. Это мнение было отвергнуто в XVII веке.

Русские переводы

Первое издание «Начал» на русском языке издано в 1739 году; книга вышла в Петербурге под названием «Евклидовы элементы из двенадцати нефтоновых книг выбранныя и в осьмь книг через профессора мафематики Андрея Фархварсона сокращенныя, с латинского на российский язык хирургусом Иваном Сатаровым преложенныя»^[38]. Перевод выполнил Иван Сатаров под руководством шотландского математика Генри Фарварсона, служившего в это время при российском Морском корпусе^[39]. Имя Ньютона («Нефтона») в названии упомянуто то ли по недоразумению, то ли в рекламных целях, к содержанию книги он никакого отношения не имеет. Перевод был сделан с сокращённого и модернизированного французского издания «Начал» Андре Таке, куда переводчиками были добавлены ряд числовых примеров и критические комментарии^[38][40].

Немного позднее вышли ещё 2 перевода, также сокращённые до 8 книг:

• (1769) Перевод Н. Г. Курганова, преподавателя Морского кадетского корпуса: «Евклидовы Елементы Геометрии, то есть первыя основания науки о измерении протяжения»;
• (1784) Перевод Прохора Суворова и Василия Никитина «Евклидовых стихий осьмь книг, а именно: первая, вторая, третья, четвёртая, пятая, шестая, одиннадцатая и двенадцатая; к сим прилагаются книги тринадцатая и четырнадцатая. Переведены с греческого и поправлены. В Санкт-Петербурге, в типографии Морского шляхетного Кадетского Корпуса» (переизданы в 1789 году).

Практически полностью (кроме X книги) «Начала» на русском языке вышли в переводе Фомы Петрушевского^[41]: книги 1—6 и 11—13 в 1819 году, книги 7—9 в 1835 году^[42]. В 1880 году вышел перевод Ващенко-Захарченко^[43]. Ещё один сокращённый перевод был издан в Кременчуге (1877 год) под названием «Восемь книг геометрии Эвклида»; перевод под руководством А. А. Соковича (1840—1886), директора местного реального училища, выполнили два воспитанника этого училища^[44].

Последнее по времени полное академическое издание было опубликовано в 1949—1951 годах, перевод с греческого и комментарии — Дмитрия Мордухай-Болтовско́го.

Всемирное распространение

В IX—X веках учёные из багдадского Дома мудрости перевели «Начала» на арабский; эта книга стала знаменитой в странах ислама, многократно переиздавалась с комментариями крупных математиков, в том числе Иегуды Алхаризи и ибн Малика.

В XI веке Григор Магистрос перевёл с греческого на армянский «Начала»^[45].

В XI—XII веках в Европе появились первые латинские переводы Евклида. Первое печатное издание «Начал» было опубликовано вскоре после изобретения книгопечатания, в 1482 году.

На китайском языке первые 6 книг «Начал» издал Маттео Риччи во время своей миссии в Китае (1583—1610 годы). Полный перевод, выполненный британским миссионером Уайли^[en], вышел с хвалебным предисловием Цзэн Гофаня, написанным в 1865 году.

См. также

• Аксиома
• Алгоритм Евклида
• Евклидова геометрия
• Пятый постулат
• Элементарная геометрия (Киселёв)

Публикации текста «Начал»

• Начала Евклида. Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при редакционном участии И. Н. Веселовского и М. Я. Выгодского. М.-Л.: ГТТИ, 1949—1951.

• книги I—VI на www.math.ru или на mccme.ru;
• книги VII—X на www.math.ru или на mccme.ru;
• книги XI—XIV на www.math.ru или на mccme.ru.

• Папирус из Oxyrhynchus;
• Византийский манускрипт D’Orville 301, Bodleian Library, Oxford на www.rarebookroom.org и www.claymath.org (с переводом на англ.);
• Geometria Boetii (лат.) по изд.: M. Folkerts. Ein neuer Text des Euclides Latinus. Faksimiledruck der Handschrift Lüneburg D 4o 48, f.13-17v Hildesheim: Dr. H. A. Gerstenberg, 1970;
• первое печатное издание «Начал» Евклида. Э. Ратдольт, 1482 год (лат.);
• издание 1558 года (лат.), в котором сравниваются издания Ратдольда и Дзамберти;
• Elementi Euclide. Traduzione di Niccolò Tartaglia (итал.), 1543 год;
• Euclid. Elements. Editions and translations: Greek (ed. J. L. Heiberg), English (ed. Th. L. Heath);
• Эвклидовых начал восемь книг в переводе Ф. Петрушевского. Книги 1—6, 11—12. (1819 год);
• Thomas L. Heath. The Thirteen Books of Euclid’s Elements, translated from the text of Heiberg, with introduction and commentary.
• Euclid’s Elements in the middle ages, by M. Folkerts. Каталог средневековых латинских манускриптов.
• Early editions of Euclid’s Elements, by Charles Thomas-Stanford. Каталог ранних изданий Евклида.
• Оливер Бирн. Первые шесть книг Начал Евклида в которых используются цветные схемы и знаки вместо букв для большего удобства обучающихся / перевод с английского Сергея Слюсарева. — 2018. — 278 с.

Примечания

Литература

• Башмакова И. Г. Арифметические книги «Начал» Евклида // Историко-математические исследования. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1948. — Вып. 1. — С. 296—328.
• Башмакова И. Г. Лекции по истории математики в Древней Греции // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1958. — № 11. — С. 351—363.
• Выгодский М. Я. «Начала» Евклида // Историко-математические исследования. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1948. — Вып. 1. — С. 217—295.
• История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
• Мордухай-Болтовской Д. Д. Комментарии // Начала Евклида. — М.—Л.: ГТТИ, 1948. — Т. I. — (Классики естествознания).
• Рашевский П. К. «Основания геометрии» Гильберта и их место в историческом развитии вопроса // Гильберт Д. Основания геометрии. — Л.: ГИТТЛ, 1948. — С. 7—54.
• Рыбников К. А. Русские издания «Начал» Евклида. Успехи математических наук, 1941, № 9, стр. 318—321.
• Хосеп Пла-и-Каррера. Трёхмерный мир. Евклид. Геометрия // Наука. Величайшие теории. — М.: Де Агостини, 2015. — Вып. 14. — ISSN 2409-0069.

Эта страница в последний раз была отредактирована 30 января 2023 в 06:22.

Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.

К
концу III
в. до н.э. греки имели большой запас
геометрических фактов и обладали
методами их доказательств. В это время
возникла задача собрать этот геометрический
материал и расположить его в логическом
порядке. Такую задачу пытались решить
многие греческие авторы (Гиппократ,
Федий и др.), но их сочинения не дошли до
нашего времени и были забыты после
появления «Начал» Евклида.

1. Евклид,
   один из крупнейших геометров древности,
   воспитанник школы Платона, жил в период
   приблизительно от 330 до 275 г. до н.э. в
   Египте, в Александрии. Подробные
   достоверные биографические сведения
   о Евклиде до нас не дошли. Известно, что
   расцвет его деятельности приходится
   на первые годы III в. до
   н.э. Составленные им «Начала» дают
   систематическое изложение начал
   геометрии, выполненное с таким большим
   мастерством, что многие века преподавание
   геометрии велось по этому сочинению.

«Начала»
Евклида состоят из 13 книг (т.е. глав).
Первые 6 книг содержат изложения
планиметрии; в книгах I,
III,и
IV
даны известные нам из курса средней
школы свойства треугольников, теория
параллельных прямых, теорема Пифагора,
свойства окружностей и вписанных и
описанных многоугольников. В книге II
даны в геометрической форме алгебраические
тождества. В книге V
изложена теория по Евдоксу, а в книге
VI
— теория подобия фигур. Книги VII,
VIII
и IX
посвящены арифметике в геометрическом
изложении. В книге X
дана теория несоизмеримых величин.
Книги XI
– XIII
посвящены основаниям стереометрии,
причем вся XIII
книга посвящена учению а правильных
многогранниках.

Многое
из того, что было известно по геометрии
во времена Евклида (например, теория
конических сечений, кривые высших
порядков), не изложена в «Началах».

Каждая
книга начинается с определения всех
тех понятий, которые в ней встречаются.
Так, в начале книги I
даны 23 определения. Приведем первые из
них.

1. Точка
   есть то, что не имеет частей.

2. Линия
   есть длина без ширины.

3. Границы
   линии суть точки.

4. Прямая
   есть такая линия, которая одинаково
   расположена по отношению ко всем своим
   точкам.

5. Поверхность
   ест то, что имеет только длину и ширину.

6. Границы
   поверхности суть линии.

7. Плоскость
   есть поверхность, которая одинаково
   расположена по отношению ко всем прямым,
   на ней лежащим.

Затем
Евклид приводит предложения, принимаемые
без доказательства, которые он разделяет
на постулаты и аксиомы.

Постулаты.

1. Требуется,
   чтобы от каждой точки ко всякой другой
   точке можно было провести прямую.

2. И
   чтобы каждую прямую можно было
   неопределенно продолжить.

3. И
   чтобы от любого центра можно провести
   окружность.

4. И
   чтобы все прямые углы были равны.

5. И
   чтобы всякий раз, когда прямая при
   пересечении с двумя другими прямыми
   образует с ними внутренние односторонние
   углы, сумма которых меньше двух прямых,
   эти прямые пересекались с той стороны,
   с которой эта сумма меньше двух прямых.

Аксиомы.

1. Равные
   порознь третьему равны между собой.

2. И
   если к равным прибавим равные, то получим
   равные.

3. И
   если от равных отнимем равные, то получим
   равные.

.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. И
   совмещающиеся равны.

В
чем заключается различие между постулатами
и аксиомами, остается неясным; на этот
счет существует много разных мнений,
ни одно из них не может быть признано
окончательно.

Только
Евклид излагает теоремы геометрии,
располагая их в такой последовательности,
чтобы каждую теорему можно было бы
доказать, используя только предыдущие
предложения, постулаты и аксиомы.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Сочинение: Евклид и его Начала

Реферат

На тему:

Евклид и его “начала”

Выполнил: Гордиенко Павел.

СШ №31

2002.

План.

1. Евклид и его начало.

2. Евклида алгоритм.

1. Евклид и его “Начала”

В течение двух тысяч лет геометрию узнавали либо из “Начал” Евклида, либо из учебников, написанных на основе этой книги. Лишь профессиональные математики обращались к трудам других великих греческих геометров: Архимеда, Аполлония и геометров более позднего времени. Классическую геометрию стали называть евклидовой в отличие от появившихся в XIX в “неевклидовой геометрий”.

Об этом поразительном человеке история сохранила настолько мало сведений, что не редко высказываются сомнения в самом его существовании. Что же дошло до нас? Каталог греческих геометров Прокла Диадоха Византийского, жившего в V в н.э., -первый серьёзный источник сведений о греческой геометрии. Из каталога следует, что Евклид был современником царя Птолемея I, который царствовал с 306-283г.до н.э.

Евклид должен быть старше Архимеда, который ссылался на “Начало”. До наших времён дошли сведения, что он преподавал в Александрии, столица Птолемея I, начинавший превращаться в один из центров научной жизни. Евклид был последователем древнегреческого философа Платона, и преподавал он, вероятно, четыре науки, которые, по мнению Платона, должны предшествовать занятиям философией: арифметику, геометрию, теорию гармонии, астрономию. Кроме “Начал” до нас дошли книги Евклида, посвящённые гармонии и астрономии.

Что касается места Евклида в науке, то оно определяется не столько собственными его научными исследованиями, сколько педагогическими заслугами. Евклиду приписывается несколько теорем и новых доказательств, но их значение не может быть сравнимо с достижениями великих греческих геометров: Фалеса и Пифагора(VI век до н. э.), Евдокса и Теэтета (IV век до н.э.). Величайшая заслуга Евклида в том, что он подвёл итог построению геометрии и придал изложению столь совершенную форму, что на 2000 лет “Начала” стали энциклопедией геометрии.

Евклид с величайшим искусством расположил материал по 13 книгам так, чтобы трудности не возникали преждевременно. Позже греческие математики включили в “Начало” ещё две книги-XIV- и XV-ю, написанные другими авторами.

Первая книга Евклида начинается с 23”определений”, среди них такие: точка есть то, что не имеет частей; линяя есть длина без ширины; линия ограничена точками; прямая есть линия, одинакова расположенная относительно всех своих точек; наконец, две прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они, сколь угодно продолжены, не встречаются. Это скорее наглядные представления об основных объектах и слово “определение” в современном понимании не точно передаёт смысл греческого слова “хорой”, которым пользовался Евклид.

В книге Iрассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов, сравниваются их площади. Здесь появляется теорема о сумме углов треугольника. Затем следует пять геометрических постулатов: через две точки можно провести одну прямую; каждая прямая может быть сколь угодно продолжена; данным радиусом из данной точки можно провести окружность; все прямые углы равны; если две прямые проведены к третьей под углами, составляющими в сумме меньше двух прямых, то они встречаются с той же стороны от этой прямой. Все эти постулаты, кроме одного, вошли в современные курсы основной геометрии. За постулатами приводятся общие предположения, или аксиомы,- 8 общематематических утверждений о равенствах и неравенствах. Книга заканчивается теоремой Пифагора.

В книге II излагается геометрическая алгебра, с помощью геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Алгебраической символики тогда не существовало.

В книге III рассматриваются свойства круга, свойства касательных и хорд, в книге IV-правильные многоугольники, появляются основы учения о подобии. В книгах VII-IX изложены начала теорий чисел, а основанной на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя, приводится алгоритм Евклида, сюда входит теория делимости и теорема о бесконечности множества простых чисел.

Последние книги посвящены стереометрии. В книге XI излагаются начала стереометрии, в XII с помощью метода исчерпания определяются отношения площадей двух кругов и отношение объёмов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Вершина стереометрии у Евклида – теория правильных многогранников. В “Начало” не попало одно из величайших достижений греческих геометров – теория конических сечений. О них Евклид написал отдельную книгу “Начала конических сечений”, не дошедшую до нас, но её цитировал в своих сочинениях Архимед.

“Начало” Евклида не дошли до нас в подлиннике. Двенадцать столетий отделяют от Евклида самые старые известные списки, семь столетий – сколь- нибудь подробные сведения о “Началах”. В средневековую эпоху интерес к математике был утрачен, некоторые книги “Начал” пропали и потом с трудом восстанавливались по латинским и арабским переводам. А к тому времени тексты обросли “улучшениями” позднейших комментаторов.

В период возрождения европейской математике (XVIв.) “Начала” изучали и воссоздавали заново. Логическое построение “Начала”, аксиоматика Евклида воспринимались математиками как безупречное вплоть до XIX в., когда начался период критического отношения к достигнутому, который закончился новой аксиоматикой евклидовой геометрии – аксиоматикой Д. Гильберта. Изложение геометрии в “Началах” считалось образцом, которому стремились следовать учёные и за пределами математики.

2. Евклида Алгоритм.

Алгоритм Евклида – это способ нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, а также наибольшей общей меры двух соизмеримых отрезков.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух целых положительных чисел, нужно сначала большее число разделить на меньшее, затем второе число разделить на остаток от первого деления, потом первый остаток — на второй и т.д. Последний ненулёвой положительный остаток в этом процессе и будет наибольшим общим делителем данных чисел.

Обозначив исходные числа через а и б, положительные остатки, получающиеся в результате делений, через r 1 ,r2…, rn, а неполные частные через q1, q2, можно записать алгоритм Евклида в виде цепочки равенств:

a=bq1 +r1 ,

b=r1q2 +r2

……… .

rn-2=rn-1qn+rn

rn-1=rnqn+1.

Приведём пример. Пусть а=777, b=629. Тогда 777=629*1+148, 629=148*4+37, 148=37*4.

Последний ненулевой остаток 37 есть наибольший общий делитель чисел 777 и 629.

Для нахождения наибольшей общей меры двух отрезков поступают аналогично. Операцию деления с остатком заменяют его геометрическим аналогом: меньше отрезок откладывают на большим столько раз, сколько возможно: оставшуюся часть большего отрезка (принимаемую за остаток отделения) откладывают на меньшем отрезке и т.д.если отрезки a и b соизмеримы, то последний не нулевой остаток даст наибольшую общую меру этих отрезков. В случае несоизмеримых отрезков получаемая последовательность не нулевых остатков будет бесконечной.

Рассмотрим пример. Возьмём в качестве исходных отрезков сторону AB и AC равнобедренного треугольника ABC, у которого A=C = 72°, B= 36°. В качестве первого остатка мы получим отрезок AD (CD-биссектриса угла C), и, как легко видеть, последовательность и нулевых остатков будет бесконечной. Значит, отрезки ABи AC не соизмеримы .

Алгоритм Евклида известен издавна. Ему уже более 2000 лет. Этот алгоритм сформулирован в “Началах” Евклида, где из него выводятся свойства простых чисел, наименьшего общего кратного и т.д. Как способ нахождения наибольшей общей меры двух отрезков алгоритм Евклида (иногда называемый методом попеременного вычитания) был известен ещё пифагорейцам. К середине XVI в. алгоритм Евклида был распространён на многочлены, от одного переменного в дальнейшем удалось определить алгоритм Евклида и для некоторых других алгебраических объектах.

Алгоритм Евклида имеет много применений. Равенства, определяющие его, дают возможность представить наибольший делитель d чисел a и b в виде d=ax+by (x;y- целые числа), а это позволяет находить решение Диофантовых уравнений 1-й степени с двумя неизвестными. Алгоритм Евклида является средством для представления рационального числа в виде цепной дроби. Он часто используется в программах для электронных вычислительных машин.

Использованная литература.

Энциклопедический словарь юного математика.

В предыдущей статье описан алгоритм
нахождения наибольшего общего делителя (НОД)
двух неотрицательных целых чисел, разработанный
древнегреческим математиком Евклидом. Кто же
этот ученый? К сожалению, о его жизни почти ничего
не известно. До нас дошли только отдельные
легенды о нем. По Проклу, “этот ученый муж” жил в
эпоху царствования Птолемея I (306–283 гг. до н.э.).
Некоторые биографические данные сохранились на
страницах арабской рукописи XII века: “Евклид, сын
Наукрата, известный под именем “Геометра”,
ученый старого времени, по своему происхождению
грек, по местожительству сириец, родом из Тира”.
Одна из легенд рассказывает, что царь Птолемей
решил изучить геометрию. Но оказалось, что
сделать это не так-то просто. Тогда он призвал
Евклида и попросил указать ему легкий путь к
математике. “К геометрии нет царской дороги”, —
ответил ему ученый. Так в виде легенды дошло до
нас это ставшее крылатым выражение.

Расцвет деятельности Евклида — около
300 г. до н.э. Царь Птолемей I, чтобы возвеличить
свое государство, привлекал в страну ученых и
поэтов, создав для них храм муз — Мусейон. Здесь
были залы для занятий, ботанический и
зоологический сады, астрономический кабинет,
астрономическая башня, комнаты для уединенной
работы и главное — великолепная библиотека. В
числе приглашенных ученых оказался и Евклид,
который основал в Александрии — столице Египта
— математическую школу и написал для ее учеников
свой фундаментальный труд, объединенный под
общим названием “Начала” (по-гречески “Elementa” — “Elementa”) — главный
труд своей жизни. Сочинения под названием
“Начала” появлялись еще до Евклида. Так, мы
знаем о существовании “Начал” Гиппократа
Хиосского (около 430–400 гг. до н.э.) и некоторых
других авторов, но “Начала” Евклида превзошли
сочинения его предшественников и на протяжении
более двух тысячелетий оставались основным
трудом по элементарной математике. В 13 частях,
или книгах, “Начал” содержится бо?льшая часть
знаний по геометрии и арифметике эпохи Евклида.
Его личный вклад сводился к такому расположению
материала, при котором каждая теорема логически
следовала бы из предыдущих. Книга I начинается с
определений, недоказываемых постулатов и “общих
понятий”, а заканчивается теоремой Пифагора и
обратной ей теоремой. Со времен античности и до XIX
века неоднократно предпринимались попытки
доказать так называемый “пятый постулат”
(“Постулат параллельности”). Лишь в XIX веке было
окончательно признано, что Евклид был прав,
полагая, что этот постулат невозможно вывести из
четырех других постулатов. Отрицание пятого
постулата лежит в основе так называемых
“неевклидовых геометрий” — эллиптической и
гиперболической (в первой из них отрицается не
только пятый, но и второй постулат). Книга II
содержит геометрические теоремы, эквивалентные
некоторым алгебраическим формулам, в том числе и
построение корней квадратных уравнений. Книги III
и IV посвящены окружности (при работе над ними
Евклид мог воспользоваться сочинением
Гиппократа). В книгах V и VI излагается теория
пропорций Эвдокса и ее приложения, в книгах VII, VIII
и IX — теория чисел, в т.ч. формула для
“совершенных” чисел, алгоритм Евклида
нахождения наибольшего общего делителя и
доказательство несуществования наибольшего
простого числа (см. ниже). По мнению многих, книга X
— наиболее красивая часть “Начал”. Она
посвящена несоизмеримым величинам (парам
величин одинаковой размерности, не представимых
в виде отношения целых чисел). Последние три
книги “Начал” посвящены стереометрии и
завершаются доказательством того, что
существуют пять и только пять правильных
многогранников.

Текст “Начал” сохранился в шести
греческих рукописях, датируемых IX–XII вв. Имеются
и арабские рукописи того же периода, но они столь
же фрагментарны, как и более древние греческие
рукописи. Две из ранних греческих рукописей
содержат также менее крупные сочинения Евклида
— “Оптику” (геометрические теоремы о
прямолинейном распространении света) и
“Феномены” (об астрономии и сферической
геометрии). Сохранились еще два сочинения
Евклида, одно на древнегреческом, другое только в
арабском переводе. В первом из них (“Данные”)
рассматривается вопрос о том, что необходимо
знать, чтобы задать фигуру, во втором (“О делении
фигур”) решается задача о разбиении данной
фигуры на другие с требуемыми свойствами формы и
площади.

Пять дошедших до нас сочинений Евклида
составляют лишь малую часть его наследия.
Названия многих его утерянных сочинений
известны со слов древнегреческих комментаторов:
“Псевдария” (о логических ошибках), “Поризмы”
(об условиях, определяющих кривые), “Конические
сечения”, “Геометрические места на
поверхностях” (по-видимому, о конусах, сферах и
цилиндрах или о кривых на этих поверхностях),
“Начала музыки” (возможно, с изложением
пифагорейской теории гармонии) и “Катоптрика”
(о свойствах зеркал). Арабские авторы приписывают
Евклиду и различные трактаты по механике, в том
числе сочинения о весах и об определении
удельного веса.

Вот такой человек жил более двух тысяч
лет назад…

1. Осипенко И.Н. “Начала”
Евклида. М., 1994.

2. Глебкин В.В. Наука в контексте
культуры. М., 1994.

3. http://www.krugosvet.ru/articles/27/1002759/1002759a1.htm

Суть доказательства состоит в
следующем. Предположим, что мы нашли самое
большое простое число. Перемножим все известные
простые числа и прибавим к произведению 1.
Полученное число будет простым, так как при
делении на любое число результат не будет целым,
в остатке всегда будет 1. Это означает, что
получено простое число, большее того, которое мы
считали самым большим. Если применить те же
рассуждения к полученному числу, можно получить
еще большее новое простое число и т.д. Не правда
ли — изящно?