12. Исследование функций с помощью производной
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Поиск точек экстремума у элементарных функций
(blacktriangleright) Простейшие элементарные функции (ПЭФ) и их производные: [begin{array}{|r|c|c|}
hline & text{Функция } f(x) & text{Производная } f'(x)\
hline
textbf{1} & c & 0\&&\
textbf{2} & x^a & acdot x^{a-1}\&&\
textbf{3} & ln x & dfrac1x\&&\
textbf{4} & log_ax & dfrac1{xcdot ln a}\&&\
textbf{5} & e^x & e^x\&&\
textbf{6} & a^x & a^xcdot ln a\&&\
textbf{7} & sin x & cos x\&&\
textbf{8} & cos x & -sin x\[1ex]
hline
end{array} quad quad quad quad
begin{array}{|r|c|c|}
hline & text{Функция } f(x) & text{Производная } f'(x)\
hline
textbf{9} & mathrm{tg}, x & dfrac1{cos^2 x}\&&\
textbf{10} & mathrm{ctg}, x & -,dfrac1{sin^2 x}\&&\
textbf{11} & arcsin x & dfrac1{sqrt{1-x^2}}\&&\
textbf{12} & arccos x & -,dfrac1{sqrt{1-x^2}}\&&\
textbf{13} & mathrm{arctg}, x & dfrac1{1+x^2}\&&\
textbf{14} & mathrm{arcctg}, x & -,dfrac1{1+x^2}\[0.5ex]
hline
end{array}]
(blacktriangleright) Элементарные функции (ЭФ) — любые линейные комбинации простейших элементарных функций (то есть их сумма, разность, умножение на число).
Пример: (f(x)=4cos x +dfrac{x^3}2)
(blacktriangleright) Основные формулы поиска производной ((f=f(x), g=g(x)) – функции):
1. Умножение функции на число: [(ccdot f)’=ccdot f’]
2. Сумма или разность двух функций: [(fpm g)’=f’pm
g’]
(blacktriangleright) Хитрости, упрощающие поиск производной:
I. Т.к. (sqrt[n]{x^m}=x^{frac mn}), то производную этой функции можно искать по формуле (2).
Частный случай: (sqrt x =x^{frac12}): [(sqrt x)’=dfrac1{2sqrt x}]
II. Т.к. (dfrac1{x^a}=x^{-a}), то производную этой функции можно также искать по формуле (2): [left(dfrac1{x^a}right)’=-dfrac a{x^{a+1}}]
(blacktriangleright) Для того, чтобы найти точки экстремума, необходимо схематично изобразить график функции.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания ((f’>0)) и убывания ((f'<0)) функции, критические точки (где (f’=0) или (f’) не существует).
Задание
1
#2390
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Найдите точку максимума функции (y = -x^2).
ОДЗ: (x) – произвольный.
1) [y’ = -2x]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует): [-2x = 0qquadLeftrightarrowqquad x = 0,.] Производная существует при любом (x).
2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):
3) Эскиз графика:
Таким образом, (x = 0) – точка максимума функции (y).
Ответ: 0
Задание
2
#2391
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Найдите точку минимума функции (y = x^2 + 2x + 2) на отрезке ([-2; 2]).
ОДЗ: (x) – произвольный.
1) [y’ = 2x + 2]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует): [2x + 2 = 0qquadLeftrightarrowqquad x = -1,.] Производная существует при любом (x).
2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):
3) Найдём промежутки знакопостоянства (y’) на рассматриваемом отрезке ([-2; 2]):
4) Эскиз графика на отрезке ([-2; 2]):
Таким образом, (x = -1) – точка минимума функции (y) на ([-2; 2]).
Ответ: -1
Задание
3
#2392
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Найдите точку минимума функции (y = 3x^2 — 6x + pi) на отрезке ([-3; 3]).
ОДЗ: (x) – произвольный.
1) [y’ = 6x — 6]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует): [6x — 6 = 0qquadLeftrightarrowqquad x = 1,.] Производная существует при любом (x).
2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):
3) Найдём промежутки знакопостоянства (y’) на рассматриваемом отрезке ([-3; 3]):
4) Эскиз графика на отрезке ([-3; 3]):
Таким образом, (x = 1) – точка минимума функции (y) на ([-3; 3]).
Ответ: 1
Задание
4
#2691
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите точку локального минимума функции (y = x^3 — 3x).
ОДЗ: (x) – произвольный.
1) [y’ = 3x^2 — 3]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует): [3x^2 — 3 = 0qquadLeftrightarrowqquad x = pm 1,.] Производная существует при любом (x).
2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):
3) Эскиз графика (y):
Таким образом, (x = 1) – точка локального минимума функции (y).
Ответ: 1
Задание
5
#2710
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите точку локального максимума функции
(y = x^3 — 15x^2 + 48x + e).
1) (y’ = 3x^2 — 30x + 48 = 3(x^2 — 10x + 16)).
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует):
[3(x^2 — 10x + 16) = 0qquadLeftrightarrowqquad x^2 — 10x + 16 = 0,] откуда находим (x_1 = 2, x_2 = 
. Таким образом, [y’ = 3(x — 2)(x — 8).] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):
3) Эскиз графика (y):
Таким образом, (x = 2) – точка локального максимума функции (y).
Ответ: 2
Задание
6
#869
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите точку локального максимума функции (y = dfrac{1}{3}x^3 — 8x^2 + 55x + 11).
1) (y’ = x^2 — 16x + 55).
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует):
(x^2 — 16x + 55 = 0), откуда находим корни (x_1 = 5, x_2 = 11). Таким образом, [y’ = (x-5)(x-11).] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):
3) Эскиз графика (y):
Таким образом, (x = 5) – точка локального максимума функции (y).
Ответ: 5
Задание
7
#868
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите точку локального минимума функции (y = dfrac{1}{3}x^3 — 3x^2 + 8x + 2).
1) (y’ = x^2 — 6x + .
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует):
(x^2 — 6x + 8 = 0), откуда находим корни (x_1 = 2, x_2 = 4). Таким образом, [y’ = (x-2)(x-4).] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):
3) Эскиз графика (y):
Таким образом, (x = 4) – точка локального минимума функции (y).
Ответ: 4
Задачи, при выполнении которых требуется найти точки экстремума у элементарных функций, в ЕГЭ по математике включаются каждый год. Уметь справляться с ними должны школьники, сдающие как базовый уровень экзамена, так и профильный. Научившись безошибочно находить максимум и минимум элементарной функции в задачах ЕГЭ, выпускники смогут выполнить задание и получить конкурентные баллы.
Восполнить пробелы в знаниях и лучше усвоить информацию вам поможет образовательный проект «Школково». Чтобы учащимся было легче справляться с задачами ЕГЭ, в которых необходимо найти минимум и максимум элементарной функции, мы предлагаем прежде всего повторить определения и основные правила. Эту информацию мы разместили в разделе «Теоретическая справка». Здесь собран материал, подготовленный нашими специалистами для выпускников средних школ.
Чтобы закрепить усвоенную информацию и научиться справляться с задачами в ЕГЭ, выполните упражнения, в которых требуется найти точки экстремума у элементарных функций. Богатая подборка задач представлена в разделе «Каталог». Задания здесь регулярно обновляются и дополняются. Выполнить упражнения на нахождение точек экстремума у элементарных функций, которые встречаются в ЕГЭ, можно в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России.
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
30 марта 2012
Все задачи B15, которые встречаются в ЕГЭ по математике, делятся на два типа:
- Задачи на поиск максимального или минимального значения функции на отрезке. Иногда отрезок не задан — в этом случае работаем на всей числовой прямой;
- Задачи на точку максимума/минимума. Решаются чуть проще, зато функции здесь намного разнообразнее.
У каждого из них свои алгоритмы решения, которые будут рассмотрены ниже. Но в любом случае, чтобы решить задачу B15, учитесь считать производную — см. «Производная». Без производных здесь делать нечего.
Задачи на максимальное/минимальное значение
Если в задаче B15 требуется найти максимальное или минимальное значение функции f (x) на отрезке [a; b], выполняем следующие действия:
- Найти производную функции: f ’(x);
- Решить уравнение f ’(x) = 0. Если корней нет, пропускаем третий шаг и переходим сразу к четвертому;
- Из полученного набора корней вычеркнуть все, что лежит за пределами отрезка [a; b]. Оставшиеся числа обозначим x1, x2, …, xn — их, как правило, будет немного;
- Подставим концы отрезка [a; b] и точки x1, x2, …, xn в исходную функцию. Получим набор чисел f (a), f (b), f (x1), f (x2), …, f (xn), из которого выбираем наибольше или наименьшее значение — это и будет ответ.
Небольшое пояснение по поводу вычеркивания корней, когда они совпадают с концами отрезка. Такое вполне может встретиться на настоящем экзамене. Эти точки можно вычеркнуть, поскольку на четвертом шаге концы отрезка все равно подставляются в функцию — даже если уравнение f ’(x) = 0 не имело решений.
Также следует внимательно читать условие задачи. Когда требуется найти значение функции (максимальное или минимальное), концы отрезка и точки x1, x2, …, xn подставляются именно в функцию, а не в ее производную.
Задача. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−5; 0]:
y = x3 + 3x2 − 9x − 7
Для начала найдем производную:
y’ = (x3 + 3x2 − 9x − 7)’ = 3x2 + 6x − 9
Затем приравняем ее к нулю:
y’ = 0;
3x2 + 6x − 9 = 0;
…
x1 = −3; x2 = 1.
Вычеркиваем корень x = 1, поскольку он не принадлежит отрезку [−5; 0]. Осталось вычислить значение функции на концах отрезка и в точке x = −3. Имеем:
y(−5) = (−5)3 + 3 · (−5)2 − 9 · (−5) − 7 = −12;
y(−3) = (−3)3 + 3 · (−3)2 − 9 · (−3) − 7 = 20;
y(0) = 03 + 3 · 02 − 9 · 0 − 7 = −7.
Очевидно, что наибольшее значение равно 20 — оно достигается в точке x = −3.
Задачи на точки максимума/минимума
Теперь рассмотрим случай, когда требуется найти точку максимума или минимума функции f (x) на отрезке [a; b]. Если отрезок не задан, функция рассматривается на своей области определения. В любом случае, схема решения такова:
- Найти производную функции: f ’(x);
- Решить уравнение f ’(x) = 0. Если производная — дробно-рациональная функция, дополнительно выясняем, когда ее знаменатель равен нулю. Полученные корни обозначим x1, x2, …, xn;
- Отметить x1, x2, …, xn на координатной прямой и расставить знаки, которые принимает производная между этими числами. Если задан отрезок [a; b], отмечаем его и вычеркиваем все, что лежит за его пределами;
- Среди оставшихся точек ищем ту, где знак производной меняется с минуса на плюс (это точка минимума) или с плюса на минус (точка максимума). Такая точка должна быть только одна — это и будет ответ.
В целом, задачи на точки максимума/минимума считаются даже проще, чем задачи на поиск наименьшего/наибольшего значения. Это происходит хотя бы из-за того, что здесь не надо считать значение функции в конкретных точках. Статистика свидетельствует, что именно на этом шаге ученики допускают больше всего ошибок.
Вдумчивый читатель наверняка заметит, что для некоторых функций этот алгоритм не работает. Действительно, существует целый класс функций, для которых нахождение точек экстремума требует более сложных выкладок. Однако такие функции в ЕГЭ по математике не встречаются.
Внимательно отнеситесь к расстановке знаков между точками x1, x2, …, xn. Помните: при переходе через корень четной кратности знак производной не меняется. Когда ищутся точки экстремума, знаки читают слева направо, т.е. по направлению числовой оси.
Задача. Найдите точку максимума функции на отрезке [−10; −1]:
Найдем производную:
Поскольку это дробно-рациональная функция, приравниваем к нулю числитель:
y’ = 0;
x2 − 25 = 0;
…
x1 = 5; x2 = −5.
Получили два корня. Теперь приравниваем к нулю знаменатель:
x2 = 0;
x = 0.
Получили x = 0 — корень второй кратности. При переходе через него знак производной не меняется. Осталось отметить точки x = −5; x = 0; x = 5 на координатной прямой, а затем расставить знаки и границы. Имеем:
Очевидно, что внутри отрезка останется лишь одна точка x = −5, в которой знак производной меняется с плюса на минус. Это и есть точка максимума.
Еще раз поясню, чем отличаются точка экстремума от самого экстремума. Точка экстремума — это значение переменной, при которой
функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Экстремум — это значение самой функции, максимальное или минимальное в некоторой окрестности.
Смотрите также:
- Задача B15 — исследование функции с помощью производной
- Задача B15: Решение сложных задач и производная частного
- Как сдать ЕГЭ по математике
- Как решать задачи B15 без производных
- Симметрия корней и оптимизация ответов в тригонометрии
- B4: счетчики на электричество
В (11) задании ЕГЭ нужно уметь находить точки минимума и максимума функции, определять наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
За правильное выполнение задания даётся (1) первичный балл.
Пример:
найди точку минимума функции
y=(x+5)2(x−1)+7
.
Алгоритм выполнения задания
1. Определи тип задания:
- найди точку максимума (минимума);
- найди точку максимума (минимума) на отрезке;
- найди максимальное (минимальное) значение функции;
- найди максимальное (минимальное) значение функции на отрезке.
2. Вычисли производную (f’(x)).
3. Реши уравнение (f’(x)=0).
4. Выполни действия в соответствии с типом задания, сделай вывод.
5. Запиши в ответе значение, которое требуется найти.
Как решить задание из примера?
1. В задании нужно найти точку максимума.
2. Производная функции:
y′=2(x+5)(x−1)+x+52=(x+5)(2x−2+x+5)=3(x+5)(x+1).
3. Приравняем производную к нулю и найдём корни уравнения:
4. Найдём промежутки возрастания и убывания функции (рис. (1)). В точке (-1) функция меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.
Рис. (1). Промежутки возрастания и убывания функции
5. Запишем ответ (непосредственно в самом задании — без точки в конце).
Ответ: (-1).
Обрати внимание!
В заданиях «Как на ЕГЭ» ответы записывай в виде целого числа или десятичной дроби без пробелов и точки в конце.
Если получилась обыкновенная дробь и её нельзя перевести в конечную десятичную дробь — ищи ошибку в решении!
Источники:
Рис. 1. Промежутки возрастания и убывания функции. © ЯКласс.