В каких заданиях егэ встречается тригонометрия

Привет! На связи методический отдел федеральной сети курсов ЕГЭ и ОГЭ Lancman School («Ланцман скул»). Сегодня мы расскажем о том, как готовиться к ЕГЭ по профильной математике 2022 года.

Нелюбовь к тригонометрии в 10-11 классах может побить разве что страх перед стереометрией. Обычно опасение вызывают бесконечные столбцы формул и таблицы, которые заставляют учить для работы с тригонометрическими выражениями.

Но в ЕГЭ с тригонометрией всё достаточно просто. В первую очередь потому, что наизусть учить формул нужно даже меньше, чем для логарифмов. Вот популярный сборник формул для алгебры 10-11 класса. В нем мы выделили красным то, что нужно реально учить для экзамена.

Видно, что номинально объем по тригонометрии в 2 раза превосходит всю остальную алгебру (в этом сборнике нет разве что производной). А вот почему на деле так мало нужно учить наизусть – мы и расскажем ниже.

1. Справочные материалы

Во-первых, несколько формул дадут прямо на самом экзамене (речь про профильный ЕГЭ по математике), вместе с КИМами. Вот они:

2. Где и какая тригонометрия встречается на ЕГЭ

Формулы из третьего, самого правого столбца в большом сборнике формул либо уже есть среди этой пятерки выше, либо попросту не встречаются при решении ЕГЭшных задач. В крайнем случае что-то можно за несколько секунд вывести из этих пяти формул. Например,

Давайте тут же разберемся, где вообще можно встретить тригонометрию в профильной математике – чтоб вы понимали, стоит ли вся игра свеч.

А вообще-то стоит. Тригонометрия может попасться в целых 4 из 18 заданий ЕГЭ.

1) Задание 4. Преобразование выражений. Пример:

2) Задание 7. Практическая работа с формулами. Пример:

3) Задание 12. Уравнения, письменная часть. Пример:

4) Задание 17. Выражение с параметром, письменная часть. Пример:

В Задании 17, пожалуй, совсем редко встречается тригонометрия, но в остальных точно нужно быть к ней готовым. При этом самое большое разнообразие задач бывает в Задании 4.

Получается, нужно сфокусироваться на среднем столбце из большого сборника формул. И тут начинается самое интересное.

3. Большинство формул выводится

В самом деле, посмотрите на обведенные формулы в среднем столбце. Их очень мало, верно? Давайте разбираться по порядку с этим сборником, пойдем по его разделам.

1) Основные тождества

Из этих тождеств в ЕГЭ используется определение тангенса и котангенса (слева), это и правда надо выучить. А все остальное – либо следует или выводится из этих определений (попробуйте, например, перемножить дроби у тангенса и котангенса), либо уже дано в справочных материалах.

2) Тригонометрические уравнения

Вместо заучивания кучи этих формул лучше заняться изучением тригонометрической окружности. Все равно для более уверенного решения №12 – особенно пункта б) – потребуется в ней хорошо ориентироваться. Возможно, на изучение окружности потребуется примерно столько же времени, что и на заучивание соответственных формул. Но, во-первых, в отличие от механически выученного материала – практический навык не пропадет из памяти из-за волнения и стресса на экзамене. Во-вторых, именно работа с окружностью поможет сориентироваться в более сложных и непривычных ситуациях.

3) Значения тригонометрических функций от разных углов

В таблице предлагается выучить в сумме значений больше в 5 раз, чем предлагаем мы (обведено красным). И это еще не самая обширная таблица.

4) Формулы приведения

Как раз в виде формул заучивать эту тему – крайне неблагодарное дело. Приглядитесь: с учетом различных знаков из таблицы ниже придется извлечь и выучить 36 формул, едва отличающихся друг от друга!

Первый столбец вообще объясняется четностью-нечетностью функций и легко показывается (и вспоминается) через окружность. Другие формулы лучше не заучивать, а запомнить простой алгоритм в 2 шага. Сейчас мы им поделимся.

Шаг 2. Если исходная функция при исходном угле положительна, то знак перед выражением после «отбрасывания» не меняется. Если отрицательная – меняется на противоположный (или, можно сказать, происходит домножение на –1). В какой четверти какая функция положительна/отрицательна лучше не заучивать (см. рисунок ниже), а ориентироваться на оси.

Да, почему ось Y – ось sin, а ось X – ось cos весьма легко понять, не заучивая этот факт. Вспомните определение, например, косинуса из геометрии: «прилежащий катет делить на гипотенузу». А теперь подставьте вместо прилежащего катета координату по оси X для треугольника, скажем, в 30° и вспомните, что в тригонометрической окружности r=1.

Вот и разобрались со всеми формулами. Ведь третий столбец в большом списке учить вообще не надо, как мы писали выше.

Конечно, ответ в этой статье получился сложнее, чем просто «учите вот этот и этот параграф наизусть», потому что изучать всегда сложнее, чем заучивать. Да еще и самостоятельно. Поэтому желаем вам найти преподавателя, который прислушается к вашим запросам и учтет индивидуальные особенности вашего стиля обучения. И – если у вас возникнут проблемы с запоминанием – сможет показать, как разобраться с любой сложной темой, не заучивая механически большие объемы материала наизусть.

Хочешь БЕСПЛАТНО разобрать с опытным преподавателем все детали новых усложнённых вариантов ЕГЭ по профильной математике 2022 года — приходи на пробное занятие в Lancman School. Мы 13 лет готовим к ЕГЭ на высокие баллы и знаем об экзаменах и поступлении в хорошие вузы буквально всё. Решишь продолжить готовиться к ЕГЭ вместе с нами весь год — дадим скидку после бесплатного пробного занятия. Любой вопрос смело пиши сюда.

Если ты живешь не в Москве, но хочешь заниматься с лучшими столичными репетиторами и сдать ЕГЭ на 80+ баллов, то регистрируйся на наши онлайн-курсы. В этом году мы включили в договор пункт, гарантирующий поступление на бюджет в любой вуз страны. Если ученик будет соблюдать все обговоренные условия, он обязательно поступит. В противном случае мы вернём деньги. Первое пробное занятие БЕСПЛАТНО.

Обложка поста: pixabay.com

Сайты, меню, вход, новости

СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ

Об экзамене

Каталог заданий

Варианты

Ученику

Учителю

Школа

Эксперту

Справочник

Карточки

Теория

Сказать спасибо

Вопрос — ответ

Чужой компьютер

Зарегистрироваться

Восстановить пароль

Войти через ВКонтакте

Играть в ЕГЭ-игрушку

Новости

10 марта

Как подготовиться к ЕГЭ и ОГЭ за 45 дней

6 марта

Изменения ВПР 2023

3 марта

Разместили утвержденное расписание ЕГЭ

27 января

Вариант экзамена блокадного Ленинграда

23 января

ДДОС-атака на Решу ЕГЭ. Шантаж.

6 января

Открываем новый сервис: «папки в избранном»

22 декабря

От­кры­ли но­вый пор­тал Ре­шу Олимп. Для под­го­тов­ки к пе­реч­не­вым олим­пи­а­дам!

4 ноября

Материалы для подготовки к итоговому сочинению 2022–2023

31 октября

Сертификаты для учителей о работе на Решу ЕГЭ, ОГЭ, ВПР

21 марта

Новый сервис: рисование

31 января

Внедрили тёмную тему!

НАШИ БОТЫ

Все новости

ЧУЖОЕ НЕ БРАТЬ!

Экзамер из Таганрога

10 апреля

Предприниматель Щеголихин скопировал сайт Решу ЕГЭ

Наша группа

Чуть больше 30% выпускников справляется с тригонометрией на ЕГЭ по математике. И неудивительно: для решения заданий из базы и профиля надо знать очень много формул, которые сложно освоить за 1-2 года. На самом деле, это миф! Чтобы решить задания по тригонометрии, нужно знать всего 5 формул — и просто уметь ими пользоваться.

Тригонометрия на ЕГЭ: основные проблемы темы

Чаще всего тригонометрию начинают изучать в 10 классе — но в некоторых школах оставляют до 11. В первом случае у учеников есть 2 года, чтобы освоить новую тему. А во втором, к сожалению, всего год. И это проблема. Дело в том, что в тригонометрии очень много формул, которые нужно знать, чтобы успешно решать задания. Если за 2 года их можно успеть выучить, то за год это будет сделать проблематично.

Ситуация осложняется ещё двумя факторами. Во-первых, в самой математике много формул, признаков, теорем и т.д. Во-вторых, кроме математики есть и другие экзамены, для которых нужно выучить большой объём информации.

Именно поэтому я всегда советую своим ученикам не учить формулы для тригонометрии на ЕГЭ, а выводить! Но об этом мы поговорим чуть позже, а сейчас давайте обсудим, почему тригонометрия так важна и где в ЕГЭ ее можно встретить.

Задания по тригонометрии в базе и профиле на ЕГЭ

Так как ЕГЭ по математике делится на базовый и профильный, а тригонометрия встречается в обоих, то давайте рассмотрим оба уровня экзамена.

Тригонометрия в базе

Что касается Базового уровня, то в нём всего 3 задания, в которых можно столкнуться с тригонометрией:

В № 7 в виде простейшего выражения

Как правило, для успешного решения таких заданий достаточно воспользоваться формулами из справочного материала.

В № 8 в виде формулы прикладной задачи

Стоит отметить, что в базовом ЕГЭ в прикладных задачах тригонометрия попадается редко, но нужно быть готовыми.

В № 15 как тригонометрия в геометрии

В справочном материале есть вся необходимая информация для успешного решения данного задания, а именно определение всех тригофункций в прямоугольном треугольнике.

Тригонометрия в профиле

Базовый уровень мы рассмотрели, теперь перейдём к профильному. Здесь уже больше вариантов, в которых можно встретиться с тригонометрией. Давайте посмотрим на Части 1 и 2.

В № 3 как тригонометрия в геометрии (Часть 1)

То же самое задание, как в базовом ЕГЭ, вот только в справочном материале уже нет необходимой информации.

В № 4 в виде выражения (Часть 1)

То же самое задание, как в базовом ЕГЭ.

В № 7 в виде формулы прикладной задачи (Часть 1)

То же самое задание, как в базовом ЕГЭ. Для успешного решения подойдут базовые навыки работы с тригонометрией.

В № 11 как часть функции (Часть 1)

Функцию нужно проанализировать для поиска наибольшего/наименьшего значения или точек максимума/минимума.

Если с Частью 1 профиля всё более-менее очевидно, то во второй части бывают сюрпризы, о которых ученики даже не подозревают. Да-да, тригонометрия на ЕГЭ умеет прятаться и в Части 2. Давайте посмотрим на эти задания.

В № 12 (Часть 2)

Тут сюрпризов нет. Это уравнение второй части, в котором ученики как раз ожидают увидеть тригонометрию, хотя она там бывает не всегда!

В № 13 — стереометрия (Часть 2)

Да, тригонометрия может встретиться здесь в виде теоремы синусов или теоремы косинусов, а ещё в виде формул в методе координат (для любителей решать этим методом).

В № 16 — планиметрия (Часть 2)

Здесь всё аналогично стереометрии: есть геометрические формулы, в которых прячется тригонометрия. Ведь, как я и сказала выше, в геометрии она тоже бывает!

5 формул тригонометрии: теория для ЕГЭ

А теперь предлагаю перейти к самому интересному — а именно к формулам. К сожалению, их действительно много. А ещё они похожи, и если их просто учить (или бездумно зубрить), то велик риск перепутать «+» с «–» или забыть какую-нибудь единичку.

Именно поэтому я рекомендую не учить формулы, а выводить. Это очень удобно тем более, что в профильном ЕГЭ по математике весь справочный материал состоит из 5-ти формул тригонометрии, из которых очень легко выводятся все остальные.

Но прежде чем я расскажу вам, как выводятся тригонометрические формулы, пообещайте, что обязательно отработаете все правила выведения! Для этого нужно будет регулярно выводить формулы по указанным ниже схемам.

Вот формулы, которые будут у вас в справочном материале:

Формула № 1 и как она пригодится в поиске котангенса и тангенса

Первая формула — основное тригонометрическое тождество (ОТТ):

Обычно ученики знают ее очень хорошо. Она связывает синус и косинус и помогает найти одну функцию через другую.

С этой формулой косвенно связана другая (ее нет в справочном материале), которая тоже легко дается школьникам:

Эту формулу очень легко запомнить, если знать, как можно расписать тангенс и котангенс через синус и косинус:

Эти 2 формулы связывают по отдельности синус с косинусом и тангенс с котангенсом. Но иногда требуется, чтобы были связаны все 4 функции, и здесь на помощь приходят следствия из ОТТ (как раз та самая формула № 1).

Чтобы вывести следствия нужно всего лишь разделить ОТТ на sin² и cos²:

Теперь можно легко найти:

• котангенс, зная синус,
• или тангенс, зная косинус.

Формула № 2 и что из нее можно вывести

С тождествами разобрались, давайте перейдём к формулам двойного угла. Что касается синуса двойного угла (вторая формула в справочном материале):

Здесь всё просто, берёте и применяете формулу, если видите, что она нужна для задания.

Формула № 3 и что из нее можно вывести

А вот с косинусом двойного угла (третья формула в справочном материале) всё интереснее. Безусловно, косинус двойного угла:

в чистом виде встречается, и тогда вы делаете всё тоже самое, что с синусом. Но на самом деле есть ещё 2 формулы, которые очень просто вывести, используя ОТТ (формулу № 1). Для начала нужно выразить квадрат синуса и квадрат косинуса из ОТТ (Шаг 1):

А потом нужно подставить эти значения в формулу (6, или третья формула справочного материала) (Шаг 2):

Вот мы вывели ещё 2 формулы! А сейчас я покажу вам как практически ничего не делая получить ещё 2. Мы будем выводить формулы понижения степени из формул двойного угла. Смотрите, нужно всего лишь выразить одно из другого:

Формулы № 4 и 5 и что из них можно вывести

Давайте посмотрим на справочный материал, у нас там ещё целых 2 формулы, из которых мы получим конечно же ещё 2! Сейчас вообще ничего удивительного не будет. Вот формулы, которые уже даны:

Как вы заметили, они для суммы углов, а чтобы получить формулы для разности углов, нам нужно всего лишь поменять знаки в формуле на противоположные (разумеется, я говорю про «+» и «–»):

Вот так при помощи нехитрых преобразований из 5-ти формул справочного материала мы получили целых 14!

Все скриншоты взяты из открытого банка заданий ФИПИ или из демоверсий ЕГЭ по математике 2022.

Что еще пригодится вам для тригонометрии на ЕГЭ

Скажу по секрету, что это далеко не все формулы тригонометрии, которые существуют. Есть и другие:

• некоторые можно вывести из вышеуказанных,
• некоторые можно обобщить и вместо огромного количества формул использовать короткое правило.

Но мне кажется, что пока этого и так много!

А чтобы отрабатывать выведение было не так скучно, держите моего котика, который любезно согласился позировать в позе котангенса:

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите значение выражения .

3. Найдите , если  и .

4. Найдите значение выражения .

5. Найдите значение выражения .

6. Найдите значение выражения .

7. Найдите , если  и .

8. Найдите значение выражения .

9. Найдите значение выражения .

10. Найдите , если .

11. Найдите , если  и .

12. Найдите значение выражения .

13. Найдите значение выражения 

14. Найдите значение выражения .

15. Найдите значение выражения .

16. Найдите , если .

17. Найдите , если  и .

18. Найдите значение выражения .

19. Найдите значение выражения .

20. Найдите значение выражения , если .

21. Найдите , если  и .

22. Найдите , если  и .

23. Найдите , если  и .

24. Найдите значение выражения .

25. Найдите значение выражения .

26. Найдите значение выражения .

27. Найдите , если .

28. Найдите значение выражения .

29. Найдите , если 

30. Найдите значение выражения .

31. Найдите значение выражения .

32. Найдите значение выражения .

33. Найдите значение выражения .

34. Найдите значение выражения .

35. Найдите , если .

36. Найдите , если  и .

37. Найдите , если  и .

38. Найдите значение выражения .

39. Найдите значение выражения .

40. Найдите значение выражения .

41. Найдите значение выражения .

42. Найдите значение выражения 

43. Найдите значение выражения .

44. Найдите , если .

45. Найдите значение выражения .

46. Найдите значение выражения .

47. Найдите значение выражения .

48. Найдите значение выражения 

49. Найдите , если .

50 Найдите значение выражения .

51. Найдите значение выражения .

52. Найдите значение выражения .

53. Найдите значение выражения 

54. Найдите значение выражения 

55. Найдите , если .

56. Найдите , если .

57. Найдите , если 

58. Найдите , если .

59. Найдите , если  и 

60. Найдите значение выражения 

61. Найдите значение выражения .

62. Найдите значение выражения .

63. Найдите , если  и .

64. Найдите , если 

65. Найдите , если .

66. Найдите , если  и .

67. Найдите значение выражения .

68. Найдите значение выражения .

69. Найдите , если .

70. Найдите значение выражения .

71. Найдите значение выражения .

72. Найдите значение выражения .

73. Найдите значение выражения , если .

74. Найдите значение выражения .

75. Найдите , если  и .

76. Найдите , если  и .

77. Найдите значение выражения .

78. Найдите значение выражения .

79. Найдите значение выражения .

80. Найдите значение выражения .

81. Найдите значение выражения .

82. Найдите значение выражения , если .

83. Найдите значение выражения .

84. Найдите значение выражения .

85 Найдите значение выражения .

86. Найдите значение выражения .

87. Найдите , если .

88. Найдите значение выражения .

89. Найдите значение выражения .

90. Найдите значение выражения .

91. Найдите значение выражения: 

92. Найдите , если .

93. Найдите , если  и .

94. Найдите значение выражения .

95. Найдите значение выражения .

96. Найдите значение выражения .

97. Найдите значение выражения .

98. Найдите значение выражения .

99. Найдите значение выражения .

100. Найдите значение выражения .

101. Найдите значение выражения .

102. Найдите значение выражения .

103. Найдите значение выражения: .

104. Найдите значение выражения: .

105. Найдите значение выражения .

106. Найдите значение выражения .

107. Найдите значение выражения .

109. Найдите корень уравнения . В ответе напишите наименьший положительный корень.

Тригонометрия (задания для подготовке к ЕГЭ)

В данной работе собраны задания, встречающиеся в открытом банке заданий ЕГЭ, в сборниках по подготовке к ЕГЭ предыдущих лет, а также на различных сайтах. Все задания можно использовать на уроках в 10 классе приизучении темы : «Тригонометрия».

Просмотр содержимого документа
«тригонометрия (задания для подготовке к ЕГЭ)»

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите значение выражения .

3. Найдите , если и .

4. Найдите значение выражения .

5. Найдите значение выражения .

6. Найдите значение выражения .

7. Найдите , если и .

8. Найдите значение выражения .

9. Найдите значение выражения .

10. Найдите , если .

11. Найдите , если и .

12. Найдите значение выражения .

13. Найдите значение выражения

14. Найдите значение выражения .

15. Найдите значение выражения .

16. Найдите , если .

17. Найдите , если и .

18. Найдите значение выражения .

19. Найдите значение выражения .

20. Найдите значение выражения , если .

21. Найдите , если и .

22. Найдите , если и .

23. Найдите , если и .

24. Найдите значение выражения .

25. Найдите значение выражения .

26. Найдите значение выражения .

27. Найдите , если .

28. Найдите значение выражения .

29. Найдите , если

30. Найдите значение выражения .

31. Найдите значение выражения .

32. Найдите значение выражения .

33. Найдите значение выражения .

34. Найдите значение выражения .

35. Найдите , если .

36. Найдите , если и .

37. Найдите , если и .

38. Найдите значение выражения .

39. Найдите значение выражения .

40. Найдите значение выражения .

41. Найдите значение выражения .

42. Найдите значение выражения

43. Найдите значение выражения .

44. Найдите , если .

45. Найдите значение выражения .

46. Найдите значение выражения .

47. Найдите значение выражения .

48. Найдите значение выражения

49. Найдите , если .

50 Найдите значение выражения .

51. Найдите значение выражения .

52. Найдите значение выражения .

53. Найдите значение выражения

54. Найдите значение выражения

55. Найдите , если .

56. Найдите , если .

57. Найдите , если

58. Найдите , если .

59. Найдите , если и

60. Найдите значение выражения

61. Найдите значение выражения .

62. Найдите значение выражения .

63. Найдите , если и .

64. Найдите , если

65. Найдите , если .

66. Найдите , если и .

67. Найдите значение выражения .

68. Найдите значение выражения .

69. Найдите , если .

70. Найдите значение выражения .

71. Найдите значение выражения .

72. Найдите значение выражения .

73. Найдите значение выражения , если .

74. Найдите значение выражения .

75. Найдите , если и .

76. Найдите , если и .

77. Найдите значение выражения .

78. Найдите значение выражения .

79. Найдите значение выражения .

80. Найдите значение выражения .

81. Найдите значение выражения .

82. Найдите значение выражения , если .

83. Найдите значение выражения .

84. Найдите значение выражения .

85 Найдите значение выражения .

86. Найдите значение выражения .

87. Найдите , если .

88. Найдите значение выражения .

89. Найдите значение выражения .

90. Найдите значение выражения .

91. Найдите значение выражения:

92. Найдите , если .

93. Найдите , если и .

94. Найдите значение выражения .

95. Найдите значение выражения .

96. Найдите значение выражения .

97. Найдите значение выражения .

98. Найдите значение выражения .

99. Найдите значение выражения .

100. Найдите значение выражения .

101. Найдите значение выражения .

102. Найдите значение выражения .

103. Найдите значение выражения: .

104. Найдите значение выражения: .

105. Найдите значение выражения .

106. Найдите значение выражения .

107. Найдите значение выражения .

109. Найдите корень уравнения . В ответе напишите наименьший положительный корень.

Тригонометрические уравнения и преобразования

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:

1. если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ ($<π>/<2>$ и $<3π>/<2>$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
2. чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.

Преобразовать $сos(90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.

Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому, перед $sinα$ нужен знак $-$.

$сos(90° + α)= — sinα$ — это конечный результат преобразования

Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$

Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$

Тригонометрические тождества

1. $tgα=/$
2. $ctgα=/$
3. $sin^2α+cos^2α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

Вычислить $sin t$, если $cos t = <5>/ <13>; t ∈(<3π>/<2>;2π)$

Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈(<3π>/<2>;2π)$ -это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус

Материал по подготовке к ЕГЭ по теме:»Тригонометрические уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Методический центр сектора дошкольного, общего и дополнительного образования

Муниципального бюджетного учреждения

«Городское управление народного образования»

МБОУ «Гимназия №2»

Данная работа может быть использована в качестве учебного материала при подготовке учащихся к экзамену. В данной работе рассмотрены решения простейших тригонометрических уравнений. Рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений, показаны способы отбора корней.

I . Важные моменты при решении тригонометрических уравнений.

При решении тригонометрических уравнений необходимо уметь вычислять значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Это возможно вычислять с помощью таблицы или единичной окружности.

Примеры использования единичной окружности.

arcsin = arccos = arctg = arcctg =

arctg (-1) = arcctg(-1) =

а rcsin(- ) =- arccos( )= arctg( )= — arcctg( ) =

а rcsin 0 = 0 arccos 0 = arctg 0 = 0

arcctg 0 = не существует

Тренировку по нахождению значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса можно провести, используя следующую таблицу.

Для успешного решения тригонометрических уравнений необходимо знать основные формулы.

При решении тригонометрических уравнений (для упрощения тригонометрических выражений) иногда приходится использовать формулы приведения.

Тренировку можно произвести с помощью следующей таблицы.

II . Решение простейших тригонометрических уравнений.

Для удобства запоминания формул можно использовать следующую таблицу.

Частные случаи решения тригонометрических уравнений.

Примеры решения простейших тригонометрических уравнений.

III . Методы решения тригонометрических уравнений.

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше ) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.

1.Приведение к квадратному уравнению.

2.Приведение к однородному уравнению.

Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно тангенса или котангенса.

3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 , разделим обе части уравнения на cos 2 x

tg 2 x +4 tgx +3=0, пусть tgx = t , тогда t 2 +4 t +3=0.

Корнями этого уравнения являются числа -1 и -3.

3. Разложение на множители.

4. Введение вспомогательного угла.

sinx + cosx =2 разделим обе части уравнения на 2, получим

так как cos = и sin =

IV . Отбор корней тригонометрического уравнения.

При выполнении задания С-1 необходимо найти те корни уравнения, которые принадлежат заданному промежутку. Это можно сделать с помощью перебора или решения неравенства.

1.Решить уравнение: 2,5sin2x = 7 cos 2 x – 1,

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку х .

В данном уравнении отбор корней проведем перебором.

Для решения уравнения воспользуемся основным тригонометрическим формулой двойного угла для синуса и основным тригонометрическим тождеством. Получим уравнение

5sinxcosx = 7cos 2 x – sin 2 x – cos 2 x, т . е . sin 2 x – 6cos 2 x+ 5sinxcosx = 0

Разделим обе части уравнения на cos 2 x. Получим tg 2 x+ 5tgx – 6 = 0.

Пусть tgx = t, тогда t 2 + 5t – 6 = 0, t = 1 или t = –6.

tgx = 1 или tg = –6;

Проведём отбор корней, принадлежащих отрезку .

Если n =0, то x=. Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.

Если n =1, то x=. Этот корень тоже принадлежит рассматриваемому промежутку.

Если n =2, то x =. Ясно, что данный корень не принадлежит промежутку.

Если n = –1, то x = – не принадлежит промежутку .

Если k =0, то x= arctg (-6), x =- arctg 6 – не принадлежит промежутку .

Если k =1, то x= arctg (-6)+. Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.

Аналогично предыдущему случаю убедимся, что при k = 0 и k = 2, а, следовательно, при k = –1, –2,… k = 3,4,… мы получим корни, не принадлежащие промежутку .

2. Решить уравнение sin 2 x -2 cos 2 x =2 и указать корни, принадлежащие промежутку .

Используя формулу двойного угла косинуса и основное тригонометрическое тождеств. Получим уравнение sin 2 x =1.

Проведём отбор корней, принадлежащих отрезку .

Составим и решим неравенства:

целых значений m удовлетворяющих неравенству нет.

n =1 удовлетворяет неравенству.

3.Необходимо обратить внимание на уравнения, содержащие деление.

Решите уравнение: а) . б) Найдите все корни этого уравнения принадлежащие отрезку .

б ) Если k =0, то х =. Данный корень не принадлежит промежутку.

Если k =-1, то х =. Данный корень не принадлежит промежутку.

Если k =-2, то х =. Данный корень принадлежит промежутку.

Если k =-3, то х =. Данный корень принадлежит промежутку.

Краткое описание документа:

Данная работа может быть использована в качестве учебного материала при подготовке учащихся к экзамену. В данной работе рассмотрены решения простейших тригонометрических уравнений. Рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений, показаны способы отбора корней. Представлены тренажёры по определению арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса. показана работа с единичной окружностью

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 569 242 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

§ 36. Решение тригонометрических уравнений

Другие материалы

• 23.05.2018
• 334
• 5

• 23.05.2018
• 508
• 7

• 22.05.2018
• 7026
• 133

• 10.05.2018
• 510
• 5

• 06.05.2018
• 2466
• 91

• 03.05.2018
• 568
• 4

• 03.05.2018
• 4333
• 249

• 30.04.2018
• 905
• 19

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 14.06.2018 3443
• DOCX 2.6 мбайт
• 74 скачивания
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Колобова Светлана Айратовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года и 2 месяца
• Подписчики: 3
• Всего просмотров: 13603
• Всего материалов: 15

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

В России могут объявить Десятилетие науки и технологий

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Демешкина Татьяна Дмитриевна

Тригонометрия в заданиях ЕГЭ

Тригонометрическая окружность

y

x

Заполните таблицу значений тригонометрических функций

α

sin α

cos α

tg α

Заполните таблицу значений тригонометрических функций

α

sin α

cos α

tg α

Формулы приведения

+

+

+

—

+

Пусть . Упростите:

Заполните таблицу

Решение заданий части 1 ЕГЭ

• № 5,№9
• Каждая задача части 1 оценивается одним первичным баллом
• Вычисление значений тригонометрических выражений
• Решение уравнений

1.

Найдите

если ,

.

Решение:

2.

Найдите значение выражения

,

если .

Решение:

3.

• Вычислить ,

• Если .
• Решение:
• Ответ: -9

4. Вычислите

5.

• Вычислить
• Ответ:5

6.

Найдите корень уравнения:

В ответ запишите наименьший

положительный корень.

Решение

При к=0 х=1 или х=0

Ответ: 1

Задания 2 части ЕГЭ

• 13
• Задача 1 3 оценивается в 2 первичных балла. Два балла начисляются за полное , обоснованное решение; один балл, если решение приведено, но не произведен отбор корней или допущены ошибки в отборе.

7.

а) Решите уравнение:

б) Найдите все корни этого

уравнения, принадлежащие

промежутку .

Решение:

21

Найдем корни, принадлежащие промежутку

1 способ

Найдем корни, принадлежащие промежутку

Найдем корни, принадлежащие промежутку

3 способ

у

1

х

Найдем корни, принадлежащие промежутку

4 способ

у

y=sinx

х

8. Уравнения с исследованием ОДЗ

б)Найти корни , принадлежащие

9. Разложение на множители

Совет

• На экзамене не следует особенно беспокоиться, каким путем вы придете к ответу.
• Времени на экзамене вполне достаточно для того, чтобы получить ответ именно разными способами. Тем самым вы обеспечите проверку своего решения и исключите потерю баллов.